設備負載對輪系嚙合剛度及嚙合力的影響研究

陳亞輝　王澤鵬　陳田田　華君

摘要：設備在運轉過程中會產生波動負載，導致軸系中輪系的嚙合剛度及嚙合力產生變化。根據能量法構建直齒輪時變嚙合剛度計算模型，并建立考慮負載耦合影響的嚙合剛度修正模型。在平行軸彎－扭耦合齒輪傳動系統下，采用Newmark時域算法計算，對比無波動負載和考慮波動負載影響下的齒輪時變嚙合剛度差異，并分析設備負載對平行軸齒輪嚙合剛度及嚙合力的影響。同時，通過行星輪系相位調諧公式的推導，分析設備負載對行星輪系嚙合力的影響。結果表明，設備的波動負載會對齒輪嚙合力產生邊頻調制影響；對于均布型行星輪系，當中心輪受到傳動軸系的設備波動負載影響時，相位調諧模型將失去其調諧規律。

關鍵詞：設備負載；輪系；嚙合；相位調諧

中圖分類號：TH132.41 文獻標志碼：A doi：10.3969/j.issn.1006-0316.2023.03.009

文章編號：1006-0316 （2023） 03-0055-08

The Effect of Equipment Load on Meshing Stiffness and Meshing Force of the Gear Train

CHEN Yahui，WANG Zepeng，CHEN Tiantian，HUA Jun

（ Wuxi Branch of Harbin Marine Boiler and Turbine Research Institute， Wuxi 214000， China ）

Abstract：The device generates fluctuation load during operation， which leads to the changes in meshing stiffness and meshing force of the gear system. In this paper， the spur gear time-varying meshing stiffness calculation model based on the energy method and a meshing stiffness correction model considering the load-coupling effect are established. Under the transverse-torsional coupling gear transmission system， the Newmark time domain algorithm is used to compare the differences of meshing stiffness under no fluctuate load and fluctuate load and analyze the effect of equipment load on meshing stiffness and meshing force of the parallel shaft gear. At the same time， the impact of equipment load on meshing force of planetary gears is further analyzed through the derivation of the planetary phasing formulas. The results indicate that the fluctuant load of the device will generate boundary modulation effect on the gear meshing force， and in terms of the equally spaced planetary gear set， when the center gear is affected by the fluctuant equipment load， the tuning law of the phasing model will no longer work.

Key words：equipment load；gear system；meshing；phasing theory

齒輪系在嚙合運轉時往往受到設備負載波動的影響，這使得輪系振動與嚙合狀態相互耦合，導致齒輪嚙合剛度、嚙合力等嚙合參數發生改變，齒輪的嚙合狀態變得復雜。

目前關于設備負載對輪系嚙合剛度、嚙合力影響的研究相對匱乏。Xinghui等[1]研究了齒輪扭轉振動系統的參數穩定性與齒輪剛度調頻的聯系。Kim等[2]研究了齒輪橫振系統響應與輪系時變嚙合參數的關系。袁運博等[3]研究了在外部波動負載下，同時計入橫振和扭振響應對平行軸齒輪嚙合剛度和系統響應的影響。

行星齒輪系傳動憑借其結構緊湊、傳動比大、承載能力強、傳動效率高等優點，近年來越發受到傳動機械的青睞，被廣泛應用在汽車、船舶、風電等工程技術領域[4]。行星齒輪傳動多采用行星輪均布型結構，以達到較好的減振降噪工程目的[5]，學者們總結出行星齒輪相位調諧理論來解釋該工程現象。

行星齒輪相位調諧理論是一種有效的行星齒輪傳動系統降噪措施，最早由Schlegel等[6]通過實驗研究發現，他們在直齒行星齒輪傳動系統上實現了11 dB的降噪效果。Palmer等[7]利用實驗研究也驗證了利用相位調諧來實現行星齒輪傳動降噪的可行性及有效性。Platt[8]則通過實驗研究進一步驗證了相位調諧在斜齒行星齒輪傳動上的降噪效果。

在相位調諧理論研究方面，Seager[9]利用靜態傳遞誤差動態激勵模型，以直齒行星齒輪傳動為研究對象，揭示了中心輪齒數、行星輪個數與系統振動模式間的映射關系。Kahraman[10]和Blankenship[11]也利用靜態傳遞誤差動態激勵模型，忽略嚙合剛度的時變性，以斜齒行星齒輪傳動為研究對象，研究了構件所受激勵力的相位特征與構件振動模式之間的映射關系，提出了相應的相位調諧理論。Parker[12-13]直接從嚙合力出發，提出了基于具體的行星齒輪動力學模型的研究思路，將嚙合力表示為傅里葉級數展開形式，推導各個中心輪的受力情況，給出了行星輪個數、中心構件齒數和諧次階數與中心構件受力特征之間的映射關系。

但相位調諧理論是在輪系理想嚙合的條件下建立的，當考慮外部設備負載的振動影響時，相位調諧理論的機理是否依然成立，尚待研究。

針對上述問題，建立含設備負載耦合影響的齒輪嚙合剛度修正模型，在平行軸齒輪彎扭耦合系統下，研究設備負載對齒輪嚙合剛度、嚙合力的影響。然后結合經典均布行星輪系相位調諧理論，分析解釋負載波動對行星輪系相位調諧理論的影響。

1 平行軸輪系動態嚙合模型的建立

1.1 外嚙合齒輪嚙合剛度模型

式中： 為齒輪因赫茲接觸效應產生的剛度，N/m； 、 、 為直齒輪因彎曲、剪切、壓縮效應，根據能量法推導所產生的剛度，N/m；E為齒輪彈性模量，Pa；L為齒輪的有效齒寬，mm；ν為齒輪泊松比； 為嚙合分力與合力的接觸變化角，rad； 為基圓半齒角，rad； 為齒輪的瞬時嚙合角，rad； 為理論壓力角，（°）； 、 為驅動輪和從動輪的齒數； 為驅動輪圓頻率，rad/s；t為時間，s； 、 為驅動輪和從動輪的齒頂圓半徑，mm； 、 為驅動輪和從動輪的基圓半徑，mm； 為理想安裝中心距，mm； 為理論齒頂壓力角，（°）； 和 分別為驅動輪和從動輪的接觸變化角因子，rad。

可見齒輪的嚙合剛度模型中，中心距、瞬時嚙合角、重合度、驅動輪接觸變化角因子與橫向振動產生了耦合；嚙合分力與合力的接觸變化角、嚙合周期與扭轉振動產生了耦合。

2 負載對平行軸輪系模型的影響

采用經典齒輪彎扭耦合模型[15]，研究負載對平行軸輪系動力學模型的影響。齒輪副建立彎扭耦合模型，驅動電機及負載建立扭轉模型。

齒輪齒寬16 mm、模數2.117 mm、壓力角20°、重合度1.6456、楊氏模量2.07×1011 Pa、泊松比0.254，其余參數如表1所示。

設負載形式為周期性波動負載，將其表示為傅里葉級數形式：

式中： 為設備負載的直流恒定分量； 為負載諧波幅值； 為負載的諧波頻率； 為負載諧波相位；l為諧次； 為大于等于1的自然數。

設負載激勵為單頻波動負載，研究在單頻負載激勵下，齒輪的嚙合激勵變化規律。

采用Newmark時域法，計算無波動負載和考慮波動負載（單頻波動負載）影響下的齒輪時變嚙合剛度，如圖2所示。

圖2（a）的長周期嚙合剛度曲線顯示，波動負載對嚙合剛度的幅值進行了調制，且曲線呈現周期性波動。這是由于在橫振作用下，齒輪的中心距、嚙合角、重合度發生變化，進一步影響了嚙合剛度積分公式的求解。圖2（b）的短周期嚙合剛度曲線顯示，波動負載對嚙合剛度的頻率進行了調制。這是由于在扭轉振動作用下，每個齒的嚙合周期發生了改變，進而產生調頻現象。

負載影響下的齒輪嚙合剛度頻域對比如圖3所示。可以看出，在齒輪嚙合基頻（1000 Hz）及其倍頻（2000 Hz、3000 Hz）附近產生了調頻調幅譜線（±13 Hz），調制幅度圍繞中心頻率依次遞減。相比于無波動負載，有波動負載情況下的嚙合剛度曲線中心頻率幅值下降，能量分散至邊頻調制帶。

負載影響下的齒輪嚙合力頻域對比如圖4所示。可以看出，齒輪嚙合力基頻（1000 Hz）及其倍頻（2000 Hz、3000 Hz）附近同樣產生了調頻調幅譜線（±13 Hz），調制幅度圍繞中心頻率依次遞減。有波動負載情況下的嚙合力曲線中心頻率幅值下降，能量分散至邊頻調制帶。該規律與嚙合剛度調制規律一致。

可知，在設備負載影響下，平行軸齒輪系的嚙合會產生調制現象，頻譜特征變得復雜。基于該理論基礎，對考慮負載影響下的行星輪系相位調諧模型進行研究。

3 負載對行星輪系相位調諧模型的影響

3.1 經典相位調諧理論

對于均布行星輪系，中心輪的受力頻譜特征在某種條件下可以實現理論上局部諧次的力平衡，以達到較好的減振降噪工程目的[12]。

對行星輪系中的中心輪進行受力分析，如圖5所示。

中心輪嚙合力在橫向、縱向、扭轉方向上的表達式為：

式中： 和 分別為中心輪受到的嚙合力在橫向和縱向的投影，N； 為嚙合扭矩，Nm；? 為驅動輪半徑，m。

忽略嚙合力的直流分量，將 表示為傅里葉級數展開形式：

行星輪系嚙合力頻譜分析如圖6所示。橫向嚙合力頻譜成分為基頻、3倍頻和5倍頻，2倍頻及4倍頻被抑制消失。這是由于相位調諧因子k≠1且N－1時，抑制嚙合力，k＝1或N－1時，激起嚙合力，該結論與經典相位調諧理論一致。

行星輪系嚙合扭矩頻譜分析如圖7所示。嚙合扭矩頻譜成分為嚙合4倍頻，1、2、3倍頻被抑制消失。調諧因子k≠0時抑制嚙合扭矩，k＝0時激起嚙合扭矩，該結論與經典相位調諧理論一致。

3.2 負載對行星輪系相位調諧理論的影響

由第2節可知，負載會引起平行軸軸系橫向及扭轉振動，進而影響輪系的中心距、嚙合角、重合度、嚙合周期等嚙合信息，導致齒輪的嚙合剛度、嚙合力頻譜出現調頻調幅特性，調制頻率為設備的波動負載頻率。

對于行星輪系，在設備波動負載的影響下，齒輪的嚙合力可寫為：

式中： 為嚙合力的調幅函數； 為嚙合力的調頻函數。

當中心輪受到傳動軸系的設備負載影響時，受力如圖8所示。

中心輪與各行星輪之間會產生嚙合力的調幅函數和調頻函數，導致邊頻調制現象，使得中心輪的受力無法再進行合并同類項化簡式（18）。相位調諧理論將不再遵循表2中的規律，失去相應的調諧規律。

4 結論

根據能量法建立外嚙合齒輪時變嚙合剛度計算模型，并建立考慮設備負載耦合影響的齒輪剛度修正模型，分析負載對齒輪嚙合剛度、嚙合力的影響。結合經典均布齒輪相位調諧模型，分析設備負載對均布行星輪系調諧模型的影響，并得出如下結論。

（1）設備負載影響下，平行軸齒輪副的中心距、嚙合角、重合度、嚙合周期等嚙合特征產生變化，嚙合剛度及嚙合力頻譜在齒輪嚙合基頻及其倍頻附近產生了調頻調幅譜線，調制頻率為設備負載頻率，調制幅值圍繞中心頻率依次遞減。

（2）相比無波動負載的嚙合剛度曲線，考慮波動負載影響情況下的嚙合剛度及嚙合力曲線中心頻率幅值下降，能量分散至邊頻調制帶。

（3）當中心輪受到傳動軸系的設備負載影響時，中心輪受力無法再進行合并同類項的公式化簡。相位調諧理論將失去相應的調諧規律。

參考文獻：

[1]Xinghui，Qiu，Qinkai，et al. Analytical investigation on unstable vibrations of single-mesh gear systems with velocity-modulated time-varying stiffness[J]. Journal of Sound and Vibration，2014，333（20）：5130-5140.

[2]Kim W，Hong H Y，Chung J. Dynamic analysis for a pair of spur gears with translational motion due to bearing deformation[J]. Journal of Sound and Vibration，2010，329（21）：4409-4421.

[3]袁運博，劉震，何濤，等. 波動負載對齒輪系統振動特性及邊頻調制影響研究[J]. 振動工程學報，2019，32（3）：526-533.

[4]邱星輝，韓勤鍇，褚福磊. 風力機行星齒輪傳動系統動力學研究綜述[J]. 機械工程學報，2014，50（11）：3-36.

[5]Inalpolat M，Kahraman A. A theoretical and experimental investigation of modulation sidebands of planetary gear sets[J]. Journal of Sound and Vibration，2009，323（3）：677-696.

[6]Schlegel R G，Mard K C. Transmission noise control approaches in helicopter design[C]. ASME Design Engineering Conference，New York，1967：DE-58.

[7]Palmer W E，Fuehrer R R. Noise control in planetary transmissions[J]. Earthmoving Industry Conference，Peori，1977：SAE paper 770561.

[8]Platt R L，Leopold R D. A study on helical gearplanetary phasing effects on transmission noise[J]. VDI Berichte，1996，1230：793-807.

[9]Seager D L. Conditions for the neutralization of excitation by the teeth in Epicyclic Gearing[J]. Journal of Mechanical Engineering Science，1975，17（5）：293-298.

[10]Kahraman A. Planetary gear train dynamics[J]. Journal of Mechanical Design，1994，116（3）：713-720.

[11]Kahraman A，Blankenship G W. Planet mesh phasing in epicyclic gear sets[C]. UK：Proceedings of International Gearing Conference Newcastle，1994：99-104.

[12]Parker R G. A physical explanation for the effectiveness of planet phasing to suppress planetary gear vibration[J]. Journal of Sound and Vibration，2000，236（4）：561-573.

[13]Parker R G. Suppression of Planet Mode Response in Planetary Gear Dynamics Through Mesh Phasing[J]. Journal of Vibration and Acoustics，2006，128（2）：134-142.

[14]Xihui，Liang，Ming，et al. Evaluating the time-varying mesh stiffness of a planetary gear set using the potential energy method[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers Part C Journal of Mechanical Engineering Science，2014，228（3）：535-547.

[15]BartelmusW. Mathematical modelling and computer simulations as an aid to gearbox diagnostics[J]. Mechanical Systems & Signal Processing，2001，15（5）：855-871.

收稿日期：2022-04-22

作者簡介：陳亞輝（1995－），男，江蘇無錫人，碩士，助理工程師，主要研究方向為機械傳動及振動特性，E-mail：664912295@163.com。