非球面磨削拋光機床插補原理解析與速度尋優算法研究

胡月，秦芳，王紅

(河北民族師范學院物理與電子工程學院，河北承德 067000)

0 前言

光學非球面元件相比于球面元件具有無法比擬的優越性，使得其在光學領域得到廣泛的應用。但是，光學非球面元件在加工成形時，由于其結構特征導致非球面輪廓曲線各點曲率均不相同，無論采用當前何種加工成形方法，都會在其表面殘留不同頻率的環帶波紋誤差，從而制約了光學非球面元件的快速發展。

光學非球面元件表面殘留的環帶波紋誤差是影響其應用性能的主要因素，也是當前非球面加工制造領域的研究熱點問題。針對當前光學非球面元件成形過程中殘留的環帶波紋問題[1-3]，課題組提出了全新的非球面切線回轉成形原理[4-6]，可以有效解決光學非球面元件加工成形的環帶波紋殘留問題。

1 切線回轉成形非球面原理

如圖1所示，圖中磨輪m為端面平直的平行磨輪，曲線L為被加工非球面面型曲線，設想非球面成形過程中，磨輪磨削點Pi沿非球面面型曲線做橫、縱向運動的同時也進行回轉擺動，則可以保證磨輪始終相切于被加工面型曲線，從而使相鄰節點的運動軌跡近似為理想的連續光滑曲線，可實現切線回轉成形非球面，且能夠得到準確、連續、光滑、沒有理論波紋誤差的非球面面型曲線。

圖1 切線回轉成形非球面原理

2 速度插補數學解析

為驗證切線回轉成形非球面原理的先進性，實驗室自主研發的原理樣機“非球面磨削拋光機床”(Aspherical Grinding Polish Machine，AGPM)三維結構示意如圖2所示，實物如圖3所示。

圖2 三維結構示意

圖3 AGPM實物

AGPM采用速度插補形式成形非球面[7-8]，即：對加工曲線Y方向進行節點等分，應用非球面曲線公式求解節點坐標及相對量，利用速度、位移及加速度數學關系求解X、Y兩運動方向運控參量，使速度保持單調，實現精密擬合。

2.1 問題論證

以實際光學非球面元被加工樣件為例，具體參數如表1所示。面型曲線方程如式(1)所示。

表1 加工樣件參數

(1)

假設設置20分段數，求解運控參數如表2所示。

表2 運控參數

利用上述參數對給定曲線進行擬合，可得X、Y方向進給速度曲線如圖4所示。分析知：X方向速度不具備單調特性，Y方向起始點與后續運行速度也不具備單調性，所以，X、Y軸實際運行速度不單調，與切線回轉成形的速度插補方式產生矛盾。

圖4 調整前、后X、Y方向進給速度曲線

非單調運行X、Y方向聯動擬合曲線如圖5所示，可知：回轉中心點G0擬合軌跡呈波浪形式，而非連續光滑，從而使磨輪磨削點也以波浪形式運行。因此，當前求解的運控參數無法匹配連續光滑的切線回轉成形。

圖5 調整前、后點G0與磨削點的軌跡對比

2.2 問題解析

由于在AGPM結構設計時，選擇伸長距離為166 mm的磨輪主軸，使得機床回轉中心G0與實際加工中心有較大距離偏差，從而導致分割段內X方向的位移量Δxi呈線性變化，如表2所示。

用位移、時間、速度、加速度公式解析，針對曲線第一分割段，機床回轉中心G0運行速度與X方向位移量為

(2)

針對曲線第二分割段，機床回轉中心G0運行速度與X方向位移量為

(3)

由表2知Δx1≈Δx2，聯立式(2)(3)，可得a2與a1存在如下關系：

(4)

由給定運行參數和求解控制參數知U0=0，Δt2>Δt1>0，則可得出：

(5)

所以a2與a1符號相反，即在Δx1、Δx2內，點G0在X方向運動一定是加速、減速兩種形式，因此在Δx1和Δx2內運行速度非單調。

針對曲線第三分割段，機床回轉中心G0運行速度與X方向位移量為

(6)

由表2知Δx2≈Δx3，則聯立算式(2)(3)(6)，可得a3與a2存在如下算式關系：

a3=

(7)

2Δt1·Δt3+2Δt2·Δt3)]>0

(8)

所以a3與a2的符號相反，即在Δx2、Δx3內，機床回轉中心G0運動為先減速、后加速，所以在相鄰第二、第三分割段內，運行速度非單調。

同理，可證a4、…、ai、…、an大小為：a4<0，a5>0，…，a2i<0，a2i+1>0，…，a2n<0，所以得證，機床回轉中心G0在相鄰第Δx2i、第Δx2i+1分割段內運行速度均非單調，該分析即為圖5回轉中心點G0擬合軌跡呈波浪曲線的根本原因。

2.3 解決方案

對點G0進給加速度進行分析，將式(5)進行變換得：

(9)

U0·Δt1-(U0-a1·Δt1)(2Δt2-Δt1)>0

(10)

分析式(10)，由表1知Δt2>Δt1，所以得到：

2Δt2-Δt1>Δt1

(11)

聯立算式(10)(11)可以推出如下算式：

|U0-a1·Δt1|

(12)

U0>a1·Δt1/2

(13)

分析式(13)，設置X方向運行初速度U0≠0，且U0>a1·Δt1/2，可使a2>0，即：設置一個滿足不等式關系的初速度U0，可實現在相鄰第一、第二分割段內，運行速度單調。

(14)

同理，分析ai，針對相鄰第i-1、第i分割段內，機床回轉中心G0運行速度與X方向位移量可構建式(15)、(16)：

(15)

(16)

由表2知Δxi-1≈Δxi，綜合式(15)(16)，聯立運算可得ai與U0存在如下算式關系：

(17)

因此知，通過設置最優初速度U0，使a2、a3、a4、…、ai、…、an均大于0，即：設置一個滿足不等式算式關系的初速度U0，可實現在全運動過程中運行速度單調。

因此，依據不等式(18)，通過合理設置運控參數ai、ti、Δxi極限值，基于遺傳學智能尋優算法，可實現最適初速度U0的優選。

3 基于遺傳學的尋優算法

基于遺傳學理論的尋優算法主要包括3個關鍵環節：(1)適應度計算；(2)算法邊界設定；(3)算法運行參數[7-8]。

3.1 適應度值計算

通過已知曲線方程，可求解AGPM運控參數。假設存在某個U′0值，使成形過程中X運動方向速度保持單調，即任意分割段內加速度均大于0。a′1、a′2、…、a′n和U′1、U′2、…、U′n分別為對應U′0值的加速度與速度，則應存在如下算式關系：

a′i=

(19)

若要求解最優U′0值，該速度尋優算法的入口函數應設置為式(19)。

3.2 邊界設定

由式(13)知，若使a′2>0，則此時U′0應存在如下算式關系：

(20)

同理，由式(20)知，若使a′i>0，則此時U′0應存在如下算式關系：

(21)

聯立式(20)(21)，整理得：

(22)

在式(22)中，U′0值的不等式算式關系，即為最優U′0極限值的邊界條件。

3.3 運行參數

根據速度尋優算法解析要求，設定算法運行參數如表3所示。

表3 算法運行參數

3.4 運算流程

圖6所示為算法運算流程，應用MATLAB數學解析工具進行算法性能解析。

圖6 運算流程

4 應用性能分析及實驗論證

以前文應用的非球光學面元件為例，分別以分段數20、100、500、2 000，回轉速度ω=0.3 rad/s，進行實驗驗證，算法解析的U′0和a′i數值如表4所示。

表4 解算得到最適初速度U′0值

以分段數20為例，用擬合曲線對比分析算法應用效果，如圖4所示。對比U′0與U0分析，當U′0=0.867 1 mm/s時，X方向運行速度單調遞增、連續光滑；Y方向運行速度，需使vy(0)=vy(1)，可實現Y方向運行速度單調，從而使整個加工過程速度保持單調。

為進一步驗證算法實用效果，擬合加工軌跡如圖5所示，機床回轉中心G0和磨削點均為連續光滑曲線，因此，可以得證當前運控參數可以使進給速度單調，且匹配連續光滑的切線回轉成形。

圖7所示為應用AGPM在無誤差補償情況下加工得到非球面光學元件，經檢測得到圖8所示檢測數據：(1)面型精度為14.130 0 μm；(2)表面粗糙度為3.330 2 μm。

圖7 無誤差補償的加工零件

圖8 非球面元件檢測數據

通過檢測數據可以得證：切線回轉成形非球面軌跡精度達到了機械加工微米級別，對于普通數控機床來說是一種質的提升，進一步印證研究內容的有效性。

5 結論

(1)用數學方法解析了非球面磨削拋光機床應用速度插補原理存在的關鍵問題“進給速度非單調”，用實驗運控參量闡述了問題產生的根本原因是“初速度不匹配致使相鄰分段加速度符號相反”。

(2)基于遺傳學理論提出了解決“進給速度非單調”的具體方案，細化了速度尋優算法的運算流程和實施步驟，主要包括：適應度值計算公式、算法邊界設計和算法運行參數設置。

(3)用實證數據及擬合仿真曲線進行論證，證明了速度尋優算法解決“進給速度非單調”問題的有效性，并可以快速匹配任意分段的最優初速度，且使加工進程中進給速度始終保持單調，保證了非球面磨削拋光機床的加工精度。