來自“三體”的一些思考
——拉格朗日點(diǎn)中的三星穩(wěn)定體系

龍海文

(深圳市福田區(qū)教科院,廣東 深圳 518000)

在每個(gè)圍繞恒星運(yùn)動(dòng)的行星中,或者圍繞行星的衛(wèi)星體系中,都存在5個(gè)特殊的點(diǎn),例如在日地系統(tǒng)中的5個(gè)特殊的點(diǎn),衛(wèi)星處于這些點(diǎn)上在受太陽、地球兩大天體引力的作用下,能三者保持相對(duì)靜止,我們把這些點(diǎn)叫拉格朗日點(diǎn).如圖1所示,這5個(gè)點(diǎn)上的衛(wèi)星擁有的特點(diǎn)和穩(wěn)定性也有不同,這5個(gè)點(diǎn)是怎么推算出來的?它們的穩(wěn)定性如何?下面具體分析.

圖1

1 在L1(L2、L3)點(diǎn)上的穩(wěn)定性

1.1 衛(wèi)星在L1點(diǎn)上位置關(guān)系

如圖2所示,以M1表示太陽的質(zhì)量,M2表示地球的質(zhì)量,m表示衛(wèi)星質(zhì)量,r表示日地間距,ω表示地球公轉(zhuǎn)的角速度.若衛(wèi)星在離地球距離為x處的L1點(diǎn)繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng),且衛(wèi)星的周期和地球的公轉(zhuǎn)周期相等,據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律,對(duì)衛(wèi)星分析,有

圖2

(1)

對(duì)地球分析,有

(2)

由式(1)(2)得

1.2 衛(wèi)星在L1點(diǎn)上穩(wěn)定性

下面分析該軌道的穩(wěn)定性.設(shè)衛(wèi)星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道半徑略減Δx(Δx→0),此時(shí)衛(wèi)星的合力為

在略移軌道運(yùn)動(dòng)所需的向心力為

比較兩者有

故衛(wèi)星將在萬有引力作用下繼續(xù)遠(yuǎn)離原來軌道,該軌道不穩(wěn)定.

當(dāng)衛(wèi)星處于圖1中L3位置時(shí),由于M1?M2,地球?qū)πl(wèi)星的引力遠(yuǎn)小于太陽對(duì)衛(wèi)星的引力,衛(wèi)星基本在地球公轉(zhuǎn)軌道上繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng).如此衛(wèi)星繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道半徑略減Δx,此衛(wèi)星在萬有引力的作用下將不再回到原來軌道,故此衛(wèi)星是不穩(wěn)定的.

上面分析可知,L1、L2、L3都不穩(wěn)定,下面分析L4、L5點(diǎn)的穩(wěn)定性.

2 在L4(L5)點(diǎn)上的穩(wěn)定性

從孤立系統(tǒng)動(dòng)量守恒蘊(yùn)含的質(zhì)心平衡態(tài)來考慮一般三星的情況.

孤立系統(tǒng)在絕對(duì)均勻的空間中可以利用變分法得到系統(tǒng)的一個(gè)運(yùn)動(dòng)積分,以常矢量的形式存在,我們定義其為系統(tǒng)的總動(dòng)量

(3)

對(duì)于空間中任意相對(duì)原參考系以v速度運(yùn)動(dòng)的慣性參考系,系統(tǒng)的動(dòng)量為

(4)

可以斷言,一定存在某個(gè)慣性系使得P′=0,其相對(duì)原參考系的速度為

(5)

可以看到

(6)

可以自然地定義R為系統(tǒng)質(zhì)心徑矢,v為質(zhì)心的速度,而孤立系統(tǒng)動(dòng)量守恒蘊(yùn)含了該關(guān)系的質(zhì)心處于平衡狀態(tài).

2.1 確定三星圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為系統(tǒng)質(zhì)心

宇宙中孤立的三星系統(tǒng)中一類是以不共線的質(zhì)量分別為m1、m2、m3三顆星的形式存在的,理想化的模型是平面上繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的3個(gè)質(zhì)點(diǎn).明晰系統(tǒng)質(zhì)心必定處于平衡態(tài),且質(zhì)心本身的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)于問題而言無關(guān)緊要,故認(rèn)定質(zhì)心靜止,那么空間各向同性蘊(yùn)含三星圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的圓心必須是系統(tǒng)的質(zhì)心.

2.2 確定以三星為頂點(diǎn)的三角形為正三角形

為了證明這個(gè)問題,如圖3所示,以m1為原點(diǎn),由m1指向m2、m3的單位矢量分別為s0、l0,且令三星之間的距離分別為r1、r2、r3,從而系統(tǒng)質(zhì)心的矢徑為

圖3

(7)

其中M=m1+m2+m3.同時(shí)m2、m3對(duì)m1的合力為

(8)

合力必定指向質(zhì)心,得出R和F共線,進(jìn)而得出

r2=r3.

(9)

由對(duì)稱性可知r2=r1,r3=r1,從而得出r1=r2=r3,意味著質(zhì)量不同的三星為頂點(diǎn)的三角形是正三角形,即使偏離軌道,萬有引力的合力會(huì)將衛(wèi)星拉回原來的軌道.故衛(wèi)星在L4、L5點(diǎn)上的軌道是穩(wěn)定的.

2.3 確定三星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況

問題第3步是只對(duì)m1列動(dòng)力學(xué)方程有

(10)

其中任意(s0、l0)夾角為60°,從式(7)和式(8)中可得出R、F的范數(shù)R、F為

(11)

(12)

而r1=r2=r3,令r1=r2=r3=L,L是表征三星問題的唯一幾何度量,并由三星系統(tǒng)所含能量唯一確定,從而有

(13)

(14)

將式(13)(14)代回式(10)得到

(15)

啟示:這個(gè)完美的答案可以視為是雙星問題的自然推廣,但多星問題有驚人的任意性.這個(gè)簡(jiǎn)潔的結(jié)果不適合四星體系,因?yàn)樗男窍到y(tǒng)(非線性形式)的頂點(diǎn)多面形而無法如三星系統(tǒng)一般能確定為正多邊形,平面的維數(shù)為2,即僅僅兩個(gè)線性無關(guān)矢量得以形成,而四星系統(tǒng)中有3個(gè)矢量,以“合力指向質(zhì)心”所得到的線性方程組會(huì)有無窮組解.小說《三體》中的“蝴蝶效應(yīng)”其實(shí)和此問題有關(guān).