用v-t圖巧解傳送帶的痕跡等困難問題

朱孟亮

(江蘇省六合高級中學,江蘇 南京 211500)

傳送帶問題對于初學者來說是個難點,其中摩擦力方向及其突變是分析的關鍵.傳送帶中的相對位移、痕跡、熱量等問題更讓很多學生感到焦頭爛額、無從下手.有時即使求解出來,其過程也冗長繁雜,需要學生要有較強分析問題能力和想象力.這些問題如果巧借v-t圖,就會如借神力、迎刃而解.筆者以下面這道改編題為例來分析說明.

例1.如圖1所示,傾角θ=37°的傳動帶以10 m/s的恒定速率沿逆時針方向運行,傳送帶的上、下兩端相距L=16 m.t=0時,將質量m=1 kg的物塊(可視為質點)輕放在傳送帶上端,物塊與傳送帶之間的動摩擦因數μ=0.5,以沿傳送帶向下為正,(設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,g=10 m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8).則以下說法正確的是

圖1

(A) 物塊相對于傳送帶的位移為6 m.

(B) 摩擦力對物塊做的總功為24 J.

(C) 若物塊為煤塊,則在傳送帶上留下的痕跡為6 m.

(D) 物塊在傳送帶上運動的過程中產生的熱量為24 J.

由上面的分析可見,該過程較為繁雜.如果借助v-t圖,分析過程就既清晰又簡單.以沿傳送帶向下為正,傳送帶和物塊的v-t圖如圖2所示.另外還須注意以下幾個原則: ① 在傳送帶和物塊的v-t圖線之間的面積即為物塊相對于傳送帶的相對位移,而且在傳送帶v-t圖線以下的面積為負(該段時間內物塊相對于傳送帶的速度為負)、傳送帶v-t圖線以上的面積為正(該段時間內物塊相對于傳送帶的速度為正).② 全過程物塊相對于傳送帶的位移為這些面積的代數和.③ 全過程物塊相對于傳送帶的路程為這些面積的絕對值之和.④ 痕跡問題略微復雜一些,若兩v-t圖線之間的面積全在傳送帶v-t圖線的一側,則這些面積的絕對值之和即為痕跡長度.若兩v-t圖線之間的面積在傳送帶v-t圖線的兩側且以某一時間點為分界,則面積的絕對值之和較大的那一側面積的絕對值之和為痕跡長度.若兩v-t圖線之間的面積時而在傳送帶v-t圖線以上、時而在傳送帶v-t圖線以下,則要還原一下相對運動過程才能確定痕跡的長度.當物塊受到人為外力F或傳送速度變化時,以上規律仍然適用.

圖2

例3.一足夠長的水平傳送帶左端放置質量為m=2 kg小煤塊,煤塊與傳送帶之間動摩擦因數為μ=0.2.現讓傳送帶從靜止開始以恒定的加速度a=4 m/s2順時針勻加速運動,當其速度達到v=12 m/s時,立即以相同大小的加速度做勻減速運動直至靜止.經過一段時間后,小煤塊也靜止了.求:(1) 煤塊在傳送帶上留下痕跡的長度;(2) 整個過程中小煤塊和傳送帶間因摩擦產生的熱量.

圖4

例4.一與水平方向成θ=37°夾角、足夠長的傾斜傳送帶以v0=2 m/s的恒定速率順時針運行,質量為m=1 kg的小煤塊(可視為質點)位于傳送帶底端,在沿傳送帶向上的拉力F=12 N作用下,煤塊由靜止開始向上運動,經過時間t0=1 s后,立即撤去拉力F.已知小煤塊與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.5,sin37°=0.6,cos37°=0.8,重力加速度g=10 m/s2.求煤塊向上運動時在傳送帶上留下痕跡的長度.

圖5

由上面的幾道題可見,此方法適用于所有的傳送帶物塊問題,而且借助傳送帶和物塊的v-t圖,結合總結出的規律,傳送帶的相對位移、痕跡、熱量等問題都可以輕松解決.當然受力分析和運動分析還是必須的,特別是傳送帶和物塊運動轉折點的速度和時間還是要求出來的,以便繪制v-t圖和求面積.