圓錐曲線中的一組統一性質

【摘 要】 ?借助《幾何畫板》對文［1］進行了更加深入的分析和研究，發現了圓錐曲線中的一組統一性質并加以證明，現與大家分享，以期為教師的教學和研究提供參考 .

【關鍵詞】 ?圓錐曲線；法線；焦半徑

性質1 ?若拋物線y2=2px（p>0）上某點P的法線與x軸交于點G，過點G作焦半徑PF的垂線l，垂足為L，過點P作x軸的垂線，垂足為N，則 GL = PN .

證明 ?如圖1，設P（x0，y0）（x0≠0），易知F ?p 2 ，0 ，則過點P的法線方程為p（y－y0）=y0（x0－x）.當y=0時，x=x0+p，即G（x0+p，0）.

又直線PF的斜率為kPF= y0－0 x0－ p 2 ?= 2y0 2x0－p ［1］，則直線PF的方程為y= 2y0 2x0－p ?x－ p 2 ?，整理得2y0x+（p－2x0）y－py0=0.

于是 GL = ?2y0（x0+p）－py0 ??（2y0）2+（p－2x0）2 ?= ?2x0y0+py0 ??4y20+（p－2x0）2 ?.

而y20=2px0，代入上式得

GL = ?y0 ?2x0+p ??8px0+（p－2x0）2 ?= ?y0 ?2x0+p ??（2x0+p）2 ?= y0 = PN .

性質2 ?若橢圓 x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）上某點P的法線與x軸交于點G. F1，F2分別是橢圓的左、右焦點，過點G作焦半徑PF1的垂線l，垂足為L，過點P作x軸的垂線，垂足為N，則 GL =e PN .

證明 ?如圖2，設P（x0，y0）（x0≠±a），易知F1（－c，0）、F2（c，0），則過點P的法線方程為：a2y0x－b2x0y－（a2－b2）x0y0=0. ???圖2

當y=0時，x=e2x0 ， 即G（e2x0，0）.

又直線PF1的斜率為kPF1= y0 x0+c ［1］ ，

則直線PF1的方程為y= y0 x0+c （x+c），整理得y0x－（x0+c）y+y0c=0.

于是 GL = ?e2x0y0+y0c ??y20+（x0+c）2 ?= ?y0 ?e2x0+c ??y20+（x0+c）2 ?，

而由 x20 a2 + y20 b2 =1 ， 即 y20=b2－ b2 a2 x20 代入上式得：

GL = ?y0 ?e2x0+c ??b2－ b2 a2 x20+（x0+c）2 ?= ?y0 ?e2x0+c ???1－ b2 a2 ?x20+2cx0+b2+c2 ?= ?y0 ?e2x0+c ???c2 a2 x20+2cx0+a2 ?= e y0 ?ex0+a ????c a x0+a 2 ?=e PN .

性質3 ?若雙曲線 x2 a2 － y2 b2 =1（a>0，b>0）上某點P的法線與x軸交于點G. F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，過點G作焦半徑PF1的垂線l，垂足為L，過點P作x軸的垂線，垂足為N，則 GL =e PN .

證明 ?如圖3，設P（x0，y0）（x0≠±a），易知F1（－c，0）、F2（c，0），則過點P的法線方程為：

a2y0x+b2x0y－（a2+b2）x0y0=0.當y=0時，x=e2x0，即G（e2x0，0）.

又直線PF1的斜率為kPF1= y0 x0+c ［1］ ，

則直線PF1的方程為y= y0 x0+c （x+c），整理得：y0x－（x0+c）y+y0c=0.

于是 GL = ?e2x0y0+y0c ??y20+（x0+c）2 ?= ?y0 ?e2x0+c ??y20+（x0+c）2

，而由 x20 a2 － y20 b2 =1 ， 即 y20= b2 a2 x20－b2 代入上式得：

GL = ?y0 ?e2x0+c ???b2 a2 x20－b2+（x0+c）2 ?= ??y0 ?e2x0+c ???1+ b2 a2 ?x20+2cx0+c2－b2 ?= ?y0 ?e2x0+c ???c2 a2 x20+2cx0+a2 ?= e y0 ?ex0+a ????c a x0+a 2 ?=e PN .

綜合性質1，2，3可得： 統一性質 ?若圓錐曲線E上某點P的法線與對稱軸（拋物線指對稱軸，雙曲線指實軸，橢圓指長軸）交于點G，過點G作焦半徑的垂線l，垂足為L，過點P作對稱軸的垂線，垂足為N，則 GL =e PN .

參考文獻

［1］ ?劉立偉.圓錐曲線中一組漂亮的統一性質[J].數學通訊，2012（09）（下半月）：20-21.

作者簡介 ?劉立偉（1980—）， 吉林樺甸市人，中學一級教師；輔導學生多人次獲得數學競賽一等獎；主要研究數學競賽中的平面幾何內容以及平面解析幾何內容；發表論文10余篇.