圖解：讓數學解題思維可視
2023-08-11 11:19:01周炎
中學數學雜志(高中版) 2023年4期
【摘 要】 ?對2022年新高考Ⅰ卷部分試題的解題思路進行研究，借助圖示逐步呈現解題思路，讓思維可視．既使得教師的解題教學看得見、摸得著，又為學生后續解題提供良好的解題范式，促進師生解題能力的共同提高．
【關鍵詞】 ?高考試題；圖解；思維可視
1 ??引言
在日常教學中，經常聽到老師們抱怨：“這樣的題型講過好幾遍了，學生遇到還是不會做，該怎樣講，他們才能掌握解題思路、找到最為合理的解題路徑呢？”其實，不僅僅老師抱怨，學生聽完一節數學課后也在想：“老師今天講了幾個例題，聽是聽懂了，但下次遇到新的題目，我怎么做，才能像老師那樣找到解題思路呢？”究其原因，我們的高中教師經過多年的解題磨煉，對絕大部分題目的解決思路了然于胸，在給學生講解時有些想當然，未能有效地將審題、析題的路徑清晰地呈現給學生；而學生則是第一次遇到這樣的題型，或者說也沒遇到幾次，對學生來說是全新的內容，要想很快掌握，確實有些勉為其難．
美國數學家波利亞在其專著《數學的發現》中強調：中學數學的主要任務就是加強解題訓練［1］.但加強解題訓練并不意味著搞題海戰術，對此，羅增儒教授提出：“分析典型例題的解題過程是學會解題的有效途徑．”［2］那么，分析典型例題的解題過程的有效途徑又是什么呢？筆者認為可以用流程圖、樹形圖等可視化工具，將教師的思維路徑呈現給學生，使學生看得見、摸得著，潛移默化中成為學生分析問題的方法．本文嘗試借助圖形對2022年新高考全國Ⅰ卷部分試題進行剖析，以期拋磚引玉．
2 ??典例呈現 2.1 按圖索“跡”審核心
典例1 ?（2022年全國新高考Ⅰ卷第18題）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知 cosA 1+sinA = sin2B 1+cos2B ．
（1）若C= 2π 3 ，求B；
（2）求 a2+b2 c2 的最小值．
關鍵點擊 ?解決本題的關鍵：（1）明晰已知條件的化簡方向，能熟練運用倍角公式及兩角和差公式化簡；（2）理解本題中角的關系是已知條件，能把第二小問中關于邊的式子用正弦定理轉化為關于角的式子，構造關于角的正弦或余弦的目標函數再研究最值．
圖示解讀 ?首先審明已知條件與目標的差別，明晰條件與結論轉化的方向，以建立兩者之間的聯系．對于第（1）小問，目標是求單角B，故很明顯應將倍角轉化為單角，再將代數式化為整式，觀察等式特征知可運用兩角和差公式化得cos（A+B），由角C已知，進而求得角B；對于第（2）小問，從問題出發，研究的是邊有關的最值，聯系已知條件，明晰應將邊化為角，此時還含有三個角，故借助第（1）問的化簡結果探尋三個角之間的關系以達到消元的目地，最終轉化為僅含一個未知量的目標函數最值問題． ?感悟 ?三角函數解答題是歷年高考必考題型，一般位于解答題的前兩題位置，其難度適中，正常來說是屬于大部分學生都能得高分的題型．但從學生答題情況統計結果來看，對于第二個問題作答情況很不理想，學生普遍反映解題時目標不夠明確，未能有效轉化求解．數學解題時首先要培養學生的目標意識，對此可借助流程圖來幫助學生聯系已知條件與所求目標，根據流程圖逐步剖析題中信息，領會命題人的意圖，找到解題路徑，進而不斷提升學生數學審題能力． ??典例2 ?（2022年全國新高考Ⅰ卷第22題）已知函數f（x）=ex－ax和g（x）=ax－lnx有相同的最小值.（1）求a；（2）證明：存在y=b直線，其與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列．
關鍵點擊 ?解決本題第（2）問的關鍵：（1）善于將研究目標細化分解，逐個突破；（2）能熟練運用導數研究中常見的切線放縮、構造同構函數等技巧．
圖示解讀 ?首先對要研究的目標進行分解，細分為3個小目標，從而使得問題的研究更具體，易操作；其次對3個小目標的研究可通過構造函數，轉化為研究三個函數的零點問題來實現，其中涉及分類討論，進而明確了確實存在b，有x2=x3；再次結合指對代數式的結構特點，構造同構函數研究出單調性，明確x1與x2、x2與x4的關系；最后根據b建立x1，x2，x4的聯系，實現問題的證明． 感悟 ?導數綜合問題一直以來作為高考的壓軸大題出現，是有效區分學生能力高低的關鍵題型．本題題干看似簡潔明了，但很多考生讀題之后，感覺無從下手直接產生了放棄的想法，僅有少數優秀的學生能繼續下去．其實，一個數學問題往往是多個小問題的綜合，我們可以采取如上樹形圖的方式引導學生將綜合問題分解為若干個小問題，逐個擊破．這樣的解題訓練，有利于學生在考試中得到更多的分數，有利于學生增強解題自信心；這樣的圖析方法，既為學生后續解題提供了借鑒的模板，又有助于學生分析、判斷問題能力的提高．
2.2 借圖把脈明路徑 典例3 ?（2022年全國新高考Ⅰ卷第7題）設a=0.1e0.1，b= 1 9 ，c=－ln0.9，則（ ?）.
A．a 關鍵點擊 ?解決本題的關鍵：（1）構建a，b，c之間的聯系；（2）熟悉導數問題研究中常見的切線放縮、構造函數等方法． 圖示解讀 ?先比較a，b，將a=0.1e0.1變形，小數化為分數，鑒于b= 1 9 ，故構造出分數 1 9 ，利用指對數運算性質將a化為 1 9 e 1 10 +ln 9 10 ，則問題轉化為研究 1 10 +ln 9 10 與0的大小，再將 1 10 +ln 9 10 化為1－ 9 10 +ln 9 10 ，則可構造函數研究單調性或借助熟悉的切線放縮不等式lnx 感悟 ?比較大小問題是全國高考?？碱}型，難度有增大的趨勢，對考生的能力要求愈發提高．該題型雖短小精干，但內涵豐富，需要考生深刻挖掘兩兩或三者之間的潛在關聯，既可以孤立的進行大小的比較，又可聯系地深層分析繼而整體研究確定大小關系．在試題講解時，把兩種路徑清晰呈現，不僅能清晰地展示教師的思維歷程，更能促使學生學會選擇、推理、評價與監控． 典例4 ??（2022年全國新高考Ⅰ卷第21題）已知點A（2，1）在雙曲線C： x2 a2 － y2 a2－1 =1（a>1）上，直線l交C于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為0． （1）求l的斜率； （2）若tan∠PAQ=2 2 ，求△PAQ的面積． 關鍵點擊 ?解決本題的關鍵：（1）借助直線AP，AQ的斜率之和為0合理構建關聯知識；（2）借助圖形對tan∠PAQ=2 2 進行直觀分析，實施轉化；（3）對運算過程的整體把控． 圖示解讀 ?對于路徑①，首先對目標分析知直線的斜率可用P，Q兩點坐標來表示，故設出直線AP斜率為k，寫出其點斜式方程，與雙曲線方程聯立，解出點P坐標．由直線AP，AQ的斜率之和為0，知僅需將P點坐標中的k替換為-k即得Q點坐標，據此實現直線l的斜率的求解．在此基礎上結合∠PAQ對圖形直觀分析，發現直線AP的傾斜角為 π 2 － ∠PAQ 2 ，更進一步求出AP的斜率，代入第一問P，Q坐標中，從而求出AP，AQ長及∠PAQ的正弦達成面積的求解．對于路徑②，由條件直線AP，AQ的斜率之和為0出發，用坐標表示，顯露出兩根之和、積的特征，故設出直線l的斜截式方程，運用設而不求、整體代入的思想構造出關于k，m的表達式f（k，m）=0，確定k的值．第二問的做法同路徑①． 感悟 ?本題在第一問就涉及較為復雜的運算，一改以往的風格，雖是常規題型，卻使得考生極不適應．考生在解題時又缺乏對運算路徑的有效研判，導致運算過程繁瑣，障礙重重，同時鑒于考試時間有限，只能被迫放棄．解析幾何問題的求解實際上是一個不斷優化運算路徑的過程，在平時教學中應引導學生畫出思維導圖，深入分析運算條件，厘清運算路徑，明析運算障礙，根據算理實施化簡．學生明析每個路徑的運算量、熟悉程度等，最終選擇自己認為最有把握、最高效的路徑．不必擔心這樣的分析會影響解題時間、進程，當學生習慣了這種方式，其數學理解能力和思維能力會得到很大提升，正所謂“磨刀不誤砍柴功”；當學生習慣了這種方式，必然會“內化于心，外化于行”，從而形成屬于自己的一套科學、嚴謹的解題模式． 2.3 以圖升格拓思維一道數學試題的完整求解不能僅以思維的剖析、答題過程的呈現為最終目的，還應通過該題的求解領悟其背后所蘊含的數學思想方法、思維方式，從而做到舉一反三、觸類旁通，以兌現典型例題的教學價值．因此，還可借“圖”對解題中所用的數學方法、思想進行梳理、提煉． 譬如對于典例2的提煉，如下圖： 對于典例4的提煉如下圖： 感悟 ?艾賓浩斯遺忘曲線揭示，信息輸入大腦遺忘就隨之開始，特別是在剛剛識記的短時間里遺忘最快．在此借助框圖來提煉，可充分發揮其獨特的“圖像記憶”功能，促成學生記住、記牢知識與方法，并逐步建立與完善知識體系，夯實對知識的理解，擢升對方法的運用． 3 ??總結 解題就像開車，去一個陌生的地方，從起點到終點，人們常常借助導航系統．導航系統往往會提供幾條路徑供選擇，有的路徑會顯示某段道路較堵，有的路徑會顯示紅綠燈較多，有的路徑會顯示路程較遠等．當選擇某條路徑行駛到中途，遇到前方擁堵或事故，導航會提示，并給出備選路徑供選擇．因此，解題時我們亦可借助思維導圖，對解題路徑“模擬導航”，將每條路徑中存在的困難及困難的處理方法清晰呈現．以其直觀性，使得學生對題的分析有直覺認識；以其思維性，使得學生明晰解題的思維過程；以其可讀性，使得學生明確解題路徑方向；以其實用性，豐富解題教學功能；以其指導性，提升學生解題能力． 參考文獻 ［1］ ?[美]G·波利亞.數學的發現［M］.劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯. 北京：科學出版社. ［2］ ?羅增儒.數學解題學引論（第二版）［M］.陜西： 陜西師范大學出版社，2001：1. 作者簡介 ?周炎（1980—），男，江蘇南通人，中學高級教師；江蘇省南通市高中數學學科帶頭人，江蘇省南通市優秀教育工作者，曾獲江蘇省高中數學優秀課評比一等獎；主要從事高中數學教學研究；發表論文15篇.
