巧用例子，讓概念教學彰顯數學本質
——以“倒數的認識”為例

江蘇南京市棲霞區靖安小學（210057） 李子豪

數學概念是數學知識的重要組成部分，對數學概念的掌握程度直接影響著后續數學知識的學習。近些年概念教學越來越受到重視，越來越多的研究者開始研究影響概念學習的因素。例子在這些因素當中占有一個很重要的地位。從狹義的角度來說，概念教學中的例子主要是正例和反例；從廣義的角度來說，在教學中所使用的每一道例題都屬于例子。概念教學以明確概念的內涵和外延作為主要目標，這就意味著在概念教學中需要使用一定數量的例子。心理學的研究也表明，學習者傾向于把例子作為獲得信息的主要來源。那么，如何在概念教學中合理地使用例子成為一個亟須解決的問題。本文以“倒數的認識”一課為例進行探索。

表1呈現了三個版本教材關于“倒數”的編排。

表1 三個版本教材中的“倒數”

從表1 可以看出，為了給分數除法做鋪墊，“倒數”都被編排在分數乘法和分數除法之間，只有北師大版教材把“倒數”編排在五年級。從呈現方式的來看，人教版教材和北師大版教材均采用相同的呈現方式，即直接利用乘積是1 的例子來引入，而蘇教版教材雖然沒有這樣做，但是指向性也非常明確。這些引入方式固然有開門見山的好處，但是否在概念引入的環節顯得太過“著急”和“直接”了？怎樣使用這些例子才能更好地讓學生經歷概念的發生和發展過程？

【教學片段一】巧用生成的例子引入概念

師（出示一些分數，略）：這里有一些分數，現在，請你們每次從這些分數中選2 個并算出它們的乘積，我說停的時候就停，看看誰寫得多。開始！

（學生開始計算）

師（出示三位學生寫的算式，略）：請觀察這些算式，哪些比較特殊？為什么？

師：數學家也覺得這樣的算式比較特殊，對乘積是1 的兩個數給出了名稱——乘積是1 的兩個數互為倒數。怎樣理解“互為”這兩個字？能結合這個例子來說一說嗎？

師：很好。如果甲、乙兩個數滿足“甲×乙=1”，那我們就說甲的倒數是乙，反過來也可以說乙的倒數是甲。現在，誰來照樣子說一說和這兩道算式中哪些數互為倒數？

教師對教材的引入方式做了一點改變，沒有直接讓學生去尋找乘積是1 的兩個數，而是讓學生在一定的時間里自由計算，這樣做的目的有兩個。

其一是讓學生經歷概念的發生和發展過程。直接點明乘積是1 固然有直入主題的好處，但是從數學史的角度來說，倒數概念的產生源于分數除法的需要，也就是說，倒數源于運算，是在運算過程中產生的。而在有限的時間里，學生為了能寫出更多的算式自然會發現一些“好算”的算式，這樣不僅能夠復習前面所學的分數乘法，還能夠讓學生經歷倒數概念產生的原始活動，從而對倒數概念有初步的認識，同時，學生自主生成的這些例子也成為概念教學的重要資源。

其二是讓學生經歷概念分類的過程。認知心理學認為，概念是分類的產物，是分類活動在學習者頭腦中的表征，學習者學習概念就是希望通過一定的規則對具有明顯特征的事物進行分類。在上述教學片段中，當教師詢問學生“請觀察這些算式，哪些比較特殊”的時候就是讓學生經歷分類的活動，通過這樣的分類活動，學生容易從整體上把握概念，對概念的內涵有一個初步的認識，有利于提升學生的概括能力。

【教學片段二】選用合適的正反例明確概念

“倒數”概念具有兩個本質屬性——乘積是1和兩個數，也存在一個無關屬性——數的類別。而“互為”體現了兩個數之間的一種關系，這種關系在說法上就需要注意。心理學研究表明，概念的正例所傳遞的信息最有利于概括，而概念的反例所傳遞的信息最有利于辨別。迄今為止，有大量的理論和實踐研究表明概念的正反例在概念的建立和辨別階段具有不可替代的作用，正反例在概念教學中的作用被一致認可。那么，如何在概念教學中選用合適的正反例呢？

筆者認為，在概念教學中所使用的正反例應該“互相匹配”，這里“互相匹配”的意思是所選用的正例和反例應該僅僅在概念的某一個本質屬性上發生變化，而在其他的本質屬性和無關屬性上保持一致。變易理論認為，如果人們要識別出事物的某個屬性，那么這個事物就必須在保持其他屬性不變的前提下讓那個屬性在某個維度上發生變異，這樣那個屬性才能被識別出來。比如，第1 題的三個選項在數的類別、運算結果和參與運算的數的數量上保持一致，僅僅在運算的類別上發生了變化，通過這道選擇題，學生馬上就能識別出倒數概念的一個本質屬性，即乘積是1。第2 題的三個選項在運算類別、運算結果和數的類別上均保持一致，僅僅是參與運算的數的數量不一樣，這道選擇題再一次讓學生識別出倒數概念的另一個本質屬性，即倒數是兩個數之間的關系。這三道選擇題起到了明確概念的內涵和及時評價的作用。

【教學片段三】利用有梯度的例子深化概念

師：你是怎么找到它們的倒數的？

生1：交換它們分子和分母的位置。

師：大家同意生1的說法嗎？

生（齊）：同意。

生2：我是把它作為一種檢驗的手段，看看它們倆的乘積是不是1。

師：一個真分數或者假分數，交換它的分子和分母的位置，再跟原來的數相乘，結果怎樣？

生（齊）：肯定是1。

師：真分數和假分數的倒數可以怎么找？

生3：直接交換分子和分母的位置。

師：有沒有疑問或補充的？

生5：帶分數的分數部分不能是假分數，得是真分數。

師：還有嗎？

師：那正確的答案是什么？

這個階段不僅是讓學生掌握找倒數的技能，也是在幫助學生厘清概念的外延、深化對概念的理解。教師首先讓學生嘗試找真分數或假分數的倒數，在解決這個問題之后才讓學生嘗試找整數、帶分數和小數的倒數。從知識的難度上，體現了由易到難的順序；從例子的呈現方式上，先呈現概念最中心的正例，即原型，再逐漸由里往外，出示一些變式后的例子。真分數和假分數是倒數概念的原型，概念的原型具有該概念最多、最典型的特征，能讓學生在短時間內最大限度地表征概念，所以先呈現真分數和假分數能讓學生對于“找倒數”迅速地形成一定的認識。但是原型攜帶的概念特征會誤導學生，這在找帶分數的倒數中就體現了出來，有學生受負遷移影響，直接把帶分數的分子和分母交換了位置，這就需要及時糾正。

在概念教學中用例子幫助學生形成觀念時，要緊緊圍繞概念的定義。上述教學片段中，無論是真分數、假分數，還是帶分數，學生檢驗自己找的倒數對不對都是用概念的定義去驗證，這與教學目標是相符的：我們希望學生在判斷一個刺激物是否屬于該概念時使用的是概念的定義，而不是拿它與概念的原型做對比后觀察相似程度，因為后者往往會得到錯誤的答案。

在概念教學中還要明確所使用的每一個例子的目的，如上述的真分數和假分數，使用它們的目的不僅是讓學生學會找倒數的方法，還需要通過對比讓學生掌握相應的寫法。

【教學片段四】搭配綜合性的例子應用概念

師：請同學們在做這四組題的時候一邊找倒數一邊思考有沒有什么規律。

生1：第（1）組，真分數的倒數是假分數；第（2）組，假分數的倒數是真分數；第（3）組，幾分之一的倒數是幾；第（4）組，幾的倒數是幾分之一。

師：你們同意嗎？

生（齊）：同意！

師：他說“假分數的倒數是真分數”，大家同意嗎？

生2：我不同意。

師：為什么？

師：其實，關于倒數的規律不止于此，比如在同號情況下，一個數越大，它的倒數越小；一個數越小，它的倒數越大。

萊什和蘭多認為：評價學生對于概念的理解，要從四個方面著手，即感知、表征、聯結和應用。也就是說，教師選用的例子不僅要包含多個有聯系的知識點，還要有一定的推理層次，能綜合考查學生對于相應概念的理解。

總之，教師在概念教學的過程中不能濫用例子，在概念引入、概念明確、概念深化和概念運用的環節都要積極地使用例子，但要遵循一定的原則和邏輯，只有會用例子、善用例子，數學課堂才會因“例”而精彩！