用數學的歷史 講數學的道理

浙江余姚市江南新城小學（315400） 顧 遨

小學生擁有旺盛的好奇心，喜歡刨根問底。對于一些問題，教師需要借助與之相關的數學史才能把道理說清。同時，教師借助數學史還可以把數學道理講得深入淺出、生動易懂，幫助學生降低學習的難度，促進學生理解其中蘊含的數學本質。

一、知典明理——說清歷史典故

在數學教學中，教師經常會遇到各種各樣的“為什么”。例如，對于“分數的初步認識”，教材就編排了如圖1所示的內容。

圖1

教學了該內容后，教師還可以出示史料：在我國，分數概念產生于商代，西周時出現了分數的專用量名。戰國時期，銅器銘文上出現了“半斗”“四分”等符號。而分數的記法在晚周青銅器銘文中的形式為“母”數，次“分”字，次“子”數，這已經與現代的分數記敘法相近了。公元前五世紀《孫子兵法》中的“則三分之二至”（《謀攻篇》）和“殺士三分之一而城不拔”（《軍爭篇》）等，非常接近現在的“幾分之幾”的記敘形式。

在探索歷史的過程中，學生不但明白了分子、分母名稱的由來，以及分數是怎么產生的，而且開闊了視野，對分數有了進一步的認識。

二、溯史尋理——道明來因去果

概念與定義的教學是數學課程中的重要一環。一種觀念是怎樣形成的？一個定義是怎樣得出的？教材對于某些觀念和定義的講解只是給出一個結果。然而，數學史中蘊涵著豐富的內容，對這些知識脈絡進行梳理可以把道理講得更加清晰。

例如，教學“質數與合數”時，有學生提問：“為什么質數基本上是奇數，偶數基本上是合數，只有2既是質數又是偶數呢？”其他學生各抒己見。

有學生說：“這個是古代數學家們定好的，我們只要記住就行！”

也有學生說：“這只是湊巧而已，不需要去理解它。”

還有學生說：“因為2 是最小的偶數，因數只有1 和它本身，而其他偶數除了1 和它本身還有其他因數，所以只有2這個偶數是質數。”

這是一個向學生展示數學史的絕佳機會。教師可以引入質數和合數的由來：“在古希臘時期，開始只有整數，而整數都可以用點來計數，點又可以擺成各種圖案，聰明的古希臘數學家就發現用整數點可以擺成直線和方形（如圖2）。也就是說，數字1不能擺成直線和方形，它只是一個點，所以1既不是質數，也不是合數；像2，3，5，7 這樣的數，只能擺成一條直線，叫作質數；其他數，如6、21 等，既可擺成直線，又可擺成方形（正方形和長方形），叫作合數。

圖2

學生聽后紛紛表示：“原來是這樣，這太有趣了！”“我們對質數和合數又有了進一步的理解。”

三、研史得理——論述方法技巧

教材中公式的推導方法和定理的證明方法，真的只有一種嗎？翻開歷史畫卷，可以看到精彩紛呈的思想方法。對教師而言，這些思想方法既是教學內容，也是講解道理的輔證材料。孤證不立，多種方法指向同一個結果，才能讓人更加信服。比如圓的面積公式的推導需要學生理解極限思想，而讓學生理解這背后的道理極為不易。僅僅依靠教材中的講解是不夠的，教師可以結合歷史上的各種方法（見表1），讓學生在豐富多樣的方法里體會“化圓為方”的道理。

正確數學認知的形成，需要不斷的積累，學生需要不斷在應用中理解道理，從而將極限思想滲透進頭腦中。

四、觀史悟理——闡釋思想脈絡

中醫有云：“通則不痛，痛則不通。”數學學習也是這個道理，只有梳理好知識發生的脈絡，才能把道理講通。美國數學家M.克萊因也指出，數學史是教學的指南，學生遇到的學習障礙，也是歷史上數學家遇到的困難。當數學歷史的脈絡與教材上的數學知識脈絡同頻時，學生對數學道理的理解才會水到渠成。

例如，學生在五年級學習“正方體和長方體”后，要到六年級才學習“圓柱的體積”。這一時間跨度比較大，學生在學習圓柱體積的過程中可能會遇到一些學習障礙：“為什么可以用底面積乘以高來計算圓柱體積呢？”其實從歷史的脈絡來看，教學缺少了對一類直柱體體積的探索。因此，在這個過程中，教師可以安排一組練習，以彌合這兩個知識之間的斷層。

筆者先引導學生回顧推導三角形面積公式的過程，也就是割補法（如圖3），再讓學生了解數學家劉徽對于“塹堵”的探索后親身探究直三棱柱的體積計算方法。

圖3

劉徽之術，因以出入相補。出入相補者，割而補之，以為眾所周知之形，而廣大不易也。劉徽之術，因以立體（將“出入相補”原理推廣到立體圖形，如長方體），斜分兩柱（斜分成兩個直三棱柱），為直角三隅，古謂之“塹堵”。

（1）請你用所學知識，嘗試推導直三棱柱（塹堵）的體積計算方法。

（2）如圖4-1 所示，把長方體容器平放于桌面，在容器中裝滿水，然后如圖4-2 所示那樣斜放，水流出1350 mL，這時AB的長度是多少？

圖4-1

圖4-2

其實，對小學生來說，直柱體體積公式的推導并不是特別困難。在掌握長方體體積計算方法后，只要教師一點撥，大部分學生都能夠推導出直柱體的體積公式，這也為后面學習圓柱的體積埋下了伏筆。

這樣，數學史自然地融入教學內容中，達到有機融合、潤物無聲的效果。

五、學史拓理——趣讀數學文化

數學繪本、數學家的傳記、數學實驗等數學課外讀物是數學史的優質載體。通過閱讀，學生能感悟數學的真諦，體驗有歷史的數學，感受有文化的數學，進而形成理性精神。

如教學“三角形”后，教師可以讓學生閱讀帕斯卡三角（楊輝三角）的相關材料，還可以讓學生閱讀下面的材料：

很久以前，一種動物常常吊掛在呈三角狀的樹杈上，引發了人們的思考：這種動物為何不選擇其他形狀的樹杈，而是選擇三角形的呢？經過重重檢驗，人們終于發現：三角形比菱形、方形等形狀的物體穩定性更強。后來，一位數學家路過這里，聽了這個探索過程，就將其記入隨身攜帶的筆記本中。于是，三角形具有穩定性的性質便在世界范圍內傳播開來。

這樣的閱讀能潤澤學生的認知體系，讓學生不但能完善認知結構，而且能感悟數學中的道理。

數學是一個復雜的系統，學習數學要“知其然，更要知其所以然”，除了了解露出海面的冰山（數學知識），還要了解冰山下巨大的根基（數學史）。