機床主軸精度特性的彈性冗余空間機構參數研究

摘要：闡述零件表面幾何特征隨靜、動聯接面的彈性映射與運動映射規律，將多零件幾何誤差轉換為旋轉軸芯的誤差運動，并以懸浮凸輪復演軸芯誤差運動為準則構造等效凸輪輪廓；建立機構結構、凸輪輪廓、構件彈性等與機床主軸結構、零件表面幾何特征以及零件彈性之間的等效關系，將機床主軸精度隨各影響因素的變化關系分析問題轉換為機構輸出運動隨機構幾何與彈性參數的變化關系分析問題，并以典型機床主軸為例進行計算等效和試驗驗證。

關鍵詞：機構；精度特性；機床主軸；誤差傳遞

車床主軸精度是衡量主軸性能的重要指標，通常以主軸的位置誤差和軸芯運動軌跡誤差描述，即實際旋轉軸與理想旋轉軸之間的位置、形狀與運動的差異，這種差異隨零件幾何特征與物理性能、載荷、運動等因素的變化規律形成了車床主軸的精度特性。目前關于車床主軸精度及其關鍵部件精度（軸承）的研究較多，包含了零件幾何誤差、裝配誤差、靜態特性、動態特性、熱特性等方面[1-6]。為此，在文獻[7]中提出回轉副精度特性的彈性冗余空間機構模型與分析方法，將機床主軸精度特性分析轉化為等效機構的位移、運動與力分析，為實際工況下的機床主軸精度特性分析提供模型與方法。

本文以簡化的典型機床主軸為例，闡述彈性冗余空間機構模型中幾何與物理參數的意義、等效過程以及計算方法，為各種車床主軸結構提供參考。

一、彈性冗余空間機構基本方程與參數

以圖1所示的簡化典型機床主軸為對象，其旋轉軸兩端各由一個深溝球軸承（型號6312）支承，右端端蓋與力傳感器相連，以便在試驗中調節并測試軸承預緊力。以OP1截面作為機床主軸旋轉精度的測量面（輸出截面），OP2截面作為加載截面（輸入截面），與機構等效相關的機床主軸及軸承基本結構參數見表1。

圖1中機床主軸屬于對稱雙支點單向固定滾動軸承結構，其等效彈性冗余空間機構模型為兩端共10個凸輪從動件對應10個凸輪輪廓。

（一）凸輪輪廓方程

（1）

當V=Z時，i=1、j=2或i=2、j=1。上式展開共10個方程，包含如下2組參數：①表示凸輪i在坐標系（OXYZ）f中的位置和姿態參數，是機構基本方程的待求變量。②為凸輪坐標系（OXYZ）i下的凸輪輪廓方程，是機構的幾何參數，由機床主軸零件的表面幾何特征等效計算。

（二）機構位移方程

（2）

（3）

（4）

上述展開共10個位移方程，包含如下5組參數：①ri（V=X，Y，Z）為凸輪i在坐標系（OXYZ）f中的位置矢量，是機構基本方程的待求變量。②riVj （V=X，Y，Z）為凸輪矢徑，即凸輪中心到凸輪從動件接觸點的矢量，是計算中間變量，由凸輪輪廓方程與從動件軸線方程聯立求解。③ LiVj （V=X，Y，Z）為凸輪從動件長度矢量，是機構的幾何參數，由機床主軸零件的結構參數等效得到。④ δiVj? ?（V=X，Y，Z）為從動件位移矢量，是機構基本方程的待求變量。⑤LDi、LBi、LS為等效機構的幾何結構參數，由機床主軸的結構參數等效確定。

（三）靜力平衡方程

（5）

（6）

上述展開共10個靜力平衡方程，包含如下3類參數：①FPk、MPk、rPk分別為旋轉軸的外載荷、外力矩及其位置，是機構的已知輸入參數。②FiVj （V=X，Y，Z）中為凸輪從動件對凸輪的作用力，是機構基本方程的待求變量。③riVj f? （V=X，Y，Z）為凸輪上載荷作用點的位置矢量，即機架坐標原點到凸輪從動件接觸點的矢量，是計算中間變量，由凸輪輪廓方程與從動件軸線方程聯立求解。

（四）機構物性方程

（7）

（8）

上述展開共16個位移方程，含如下5組參數：

①FiVj K為從動件支承彈簧的載荷，為計算中間變量，與公式（5）、（6）中的載荷FiVj 存在如下關系：

（9）

②kiVj 為從動件支承彈簧剛度，是機構的彈性參數。

③ε12為兩端凸輪之間的相對位移與轉角，是機構基本方程的待求變量。

④CSn為凸輪連接軸柔度，是機構的彈性參數。

⑤Pn=[FPn，MPn]T為凸輪軸上的等效載荷，是機構的已知輸入參數。

綜上所述，機構基本方程中的參數分類見表2。

二、彈性冗余空間機構的幾何參數等效

（一）機構結構參數等效

機構結構參數（LiVj 、LDi、LBi、LS）取決于機床主軸的結構與尺度。機構兩端凸輪截面間距LS =395mm對應軸承兩端軸承跨距，機構徑向從動件機架所在圓的直徑LDi= 117.233mm（i=1，2）對應軸承外圈滾道底徑，機構軸向從動件機架到端面凸輪距離LBi=15.5mm（i=1，2）及軸向從動件的初始長度= 15.5mm（i=1， j=2或i=2， j=1）對應軸承中間截面到軸向定位面的距離，機構徑向從動件初始長度=22.225mm、=22.225mm（i， j=1，2）對應軸承內圈溝道底徑到外圈溝道底徑的距離。

建立基準坐標系（OXYZ）f取左端軸承座與基座的配合面，按機床主軸裝配關系建立誤差鏈，可得坐標系（OXYZ）fi的位姿參數εfi。

（二）凸輪輪廓等效

凸輪輪廓方程取決于機床主軸各零件表面幾何特征及其隨靜態與動態連接面的映射。

1.零件幾何特征簡化與表述

零件回轉表面的幾何特征可簡化為若干截面測量，對軸承外圈外圓面與內圈內孔面與的測試輪廓分別進行測試，采用測試截面間隔1mm，每個截面測量3600個等分點的輪廓數據。

采用傅立葉級數對各截面的實測輪廓進行擬合并簡化，以各截面的擬合輪廓數據為基礎，為將表達式簡化，在此以柱坐標系下曲面的一般方程表示：

S：r? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （10）

式中表示零件理想表面，表示零件表面幾何誤差。

2.零件幾何特征的彈性映射

圖1中軸承座-基座配合面距軸承座內孔面較遠且軸承座剛度大，軸承座內孔面上幾何誤差的彈性映射量小，而軸承座-軸承外圈配合面為過渡配合，零件彈性變形小，故此處僅計算軸-內圈配合面的彈性映射。

根據軸承內圈與軸之間靜聯接的彈性映射關系，以偏移節點法[8]使各零件表面形狀按擬合的幾何誤差分布。根據左右兩端軸承內圈與軸聯接的計算位移云圖，如圖2所示，a1為內圈內孔面形狀誤差、a2為軸表面形狀誤差（含過盈）、a3為內圈內孔面與軸表面形狀誤差之和，a4為內圈滾道上的節點位移，近似公式為：

（11）

三、彈性冗余空間機構的彈性參數等效

（一）凸輪從動件支承彈簧剛度計算

分別建立左右兩端軸承支承結構的有限元模型，計算等效軸承約束的剛度。對于案例中的機床主軸結構，除軸承外其他零件彈性變形與載荷呈線性，該部分剛度記為kiSj V，計算結果如表3所示。其中，支承約束剛度可按彈簧串聯的剛度公式計算。

四、彈性冗余空間機構模型求解

（一）機構基本方程求解與參數意義

由于等效凸輪輪廓方程較復雜，且從動件支承彈簧剛度為非線性，機構基本方程需采用數值方法迭代求解，過程如下。

（1）迭代變量與初始值：以機架坐標系（OXYZ）fi中的Ri為迭代變量，其值取為Ri0=（0，0，0，0，0，0）；凸輪矢量ri=（xi，yi，zi），由Ri確定。

（2）凸輪輪廓方程：RiVjf =（xiVjf yiVjf ，ziVjf ），并計算點RiVjf 處凸輪曲面法向量niVj f 、從動件軸線夾角αiVjf 、凸輪矢徑riVj? ?=（xiVjf -xi，yiVjf -yi，ziVjf -zi）。

（3）機構位移方程：將ri、riVj代入機構位移方程，求得從動件位移δiVj? 。

（4）物性方程：將δiVj? ? ? 代入從動件物性方程，求得彈簧回復力FiVj? k，進而由公式（9）計算從動件對凸輪的支反力FiVj ；由選擇軸物性方程求解兩端凸輪相對位移ε。

（5）靜力平衡方程：將FiVj代入靜力平衡方程，由于Ri為假設值，方程左端不一定為零，進而得到凸輪的位置變化量εiF。

（6）迭代求解：命令R1=R1+ε1F、R2=R2 +ε2F +ε12返回第（1）步進行迭代求解。

按步驟（1）～（6），可求解軸在任意轉角與載荷時機構基本方程變量。如軸轉角、輸入載荷FPY2 =3000N時，兩端凸輪位姿參數Ri分別為R1 = [1.99， -10.92， 36.59， -1.30×10-4， 1.92×10-5， 0]，R2 = [-0.54， -10.85， -394963.41， 1.28×10-4， 1.92×10-5， 0），表示機床主軸兩端軸承支承截面軸芯實際姿位與理想姿位的偏差；ε12=[0，5.09，0，2.58×10-4，0，0]，表示旋轉軸的彈性變形；從動件位移δiVj? 及載荷FiVj? k（或FiVj? ?），表示機床主軸支承截面處的彈性位移與支承載荷（見表4）。

（二）機床主軸精度特性分析

以機床主軸在輸出截面（OXYZ）P1處的旋轉誤差的Y向分量作為考察對象，軸低速旋轉、輸入載荷為FPY2 =3000N，進行計算，如圖3所示。

僅考慮零件幾何誤差：以等效凸輪輪廓形狀體現，令軸剛度和彈簧剛度為無窮大，如曲線a1。

僅考慮軸承約束剛度：以從動件彈簧剛度體現，令軸剛度無窮大且凸輪為理想圓r0和理想平面z0，如曲線a2。

僅考慮旋轉軸剛度：以凸輪聯接軸剛度體現，令從動件彈簧剛度無窮大且凸輪為理想圓r0和理想平面z0，計算結果為曲線a3。

幾何誤差、軸承剛度、軸剛度三種因素均取實際參數，綜合結果為曲線a4。

在算例計算條件下，軸變形與軸承支承結構變形方向相反，零件幾何誤差在不同相位時對機床主軸精度影響不同，即零件幾何誤差、軸承約束剛度、旋轉軸剛度對機床主軸精度的影響各異，且與機床主軸運動與載荷相關。

五、結束語

①彈性冗余空間機構的幾何參數由機構結構參數與凸輪輪廓參數構成，其中機構結構參數與機床主軸結構參數對應，凸輪輪廓參數由零件表面幾何特征及其隨靜、動聯接面的彈性映射與運動映射等效。②彈性參數包括從動件支承彈簧剛度與凸輪聯接軸柔度，支承彈簧剛度由機床主軸軸承支承結構的約束剛度等效，凸輪連接軸柔度由機床主軸旋轉軸柔度等效。③通過分析機構輸出位移與機構幾何與彈性參數之間的關系，可求解機床主軸精度與各影響因素之間的聯系。

作者單位：紀英男 洛陽電光設備研究所

參? 考? 文? 獻

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