從“相對誤差”談收尾速度的合理性設問

華星亮 曾長興

摘 ? 要：針對一道電磁感應中導體棒切割磁感線平動時的收尾速度題目出現的科學性錯誤，給出了用相對誤差在解決數據不自洽時的修改建議，為科學命制此類試題提供參考。

關鍵詞：電磁感應；導體棒；收尾速度；相對誤差

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ?文章編號：1003-6148（2023）7-0056-4

電磁感應在高中物理中占有非常重要的地位，其中導體棒切割磁感線平動的收尾速度問題更為常見。該類問題常涉及以下兩種情境：一是在恒定外力作用下，導體棒切割磁感線平動并逐漸加速，最終勻速運動；另一種是在安培力和其他阻力作用下，導體棒切割磁感線平動并逐漸減速，最終速度為零。由于所用知識超出高中物理范疇，命題者在設計具體數據時，某些數據可能不自洽，從而導致試題已知條件和結論存在多處矛盾。

在物理實驗中，相對誤差等于測量值與真實值之差的百分比，可表示為

在沒有其他阻力時，導體棒切割磁感線達到收尾速度的理論時間和理論位移都是無窮大。考慮實際應用的需要，設單棒初速度為v0，收尾速度為vm，t時刻的速度為vt，借用相對誤差的概念，設k=，用k描述t時刻單棒速度vt接近收尾速度vm的程度，vt越接近vm，則k值越小。本文借助高等數學工具，結合k值對該類情境中出現的自洽性問題進行較為深入的定量分析，并對已知條件進行剖析與修正。

1 ? ?恒定外力作用下導體棒變加速問題

1.1 ? ?題型示例

例1 如圖1所示，足夠長、電阻不計的光滑平行金屬導軌MN、PQ豎直放置，其寬度L=1 m，勻強磁場垂直穿過導軌平面，導軌的上端M與P之間連接阻值R=0.40 Ω的電阻，質量m=0.01 kg、電阻r=0.30 Ω的金屬棒ab緊貼在導軌上。現使金屬棒ab由靜止開始下滑，下滑過程中ab始終保持水平，且與導軌接觸良好，其下滑距離x與時間t的關系如圖2所示，圖中的OA段為曲線，AB段為直線，導軌電阻不計，g取10 m/s2（忽略ab棒運動過程中對原磁場的影響）。求：

（1）判斷金屬棒兩端a，b的電勢高低；

（2）磁感應強度B的大小；

（3）在金屬棒ab從開始運動的1.5 s內，內阻R上產生的熱量。

1.2 ? ?情境質疑

從圖2可知1.5 s后金屬棒達到最大速度7 m/s。根據題中條件，易得B=0.1 T。那么，金屬棒運動1.5 s后是否下滑距離為7 m，此時是否恰好勻速下滑，題目中設置的時間、速度、位移等數據是否自洽？

類似情境如圖3和圖4所示。圖3中金屬棒沿光滑（或粗糙）平行的傾斜金屬導軌以一定的初速度開始下滑，圖4中金屬棒在恒定拉力F作用下沿光滑（或粗糙）平行的水平金屬導軌以一定的初速度開始向右運動。這類情境若是給出具體數據要求學生計算，命題者一定要先論證這些數據是否自洽，是否符合實際。

1.3 ? ?模型論證

為得出問題的通解，不妨設此類問題的總電阻皆為R+r，全程存在的恒定動力為F0（如重力、重力沿斜面分力、恒定拉力），初速度為v0，最終收尾速度為vm，t時刻的速度為vt，并令t0=（t0表示僅在F0作用下金屬棒從0加速到vm的時間）。根據平衡條件，有

上式表明，t越大，x越大，若t趨近無限大時vt才能認為達到vm，則相應的x也必須無限長。若以k≤0.03近似認為金屬棒已經達到收尾速度，則t可取3.5t0，將t=3.5t0代入（10）式即可求得金屬棒近似達到收尾速度時的位移。

1.4 ? ?情境優化

結合例1的條件，代入數據，可知t0=0.7 s，要近似認為金屬棒做勻速運動，至少需要t=3.5t0=2.45 s。若將t=2.45 s代入（10）式，可得x≈12.4 m，在此之后，可近似認為金屬棒已經做勻速直線運動，x-t圖像才是一條傾斜的直線。由以上分析可知，例1圖2中時間1.5 s可改為2.45 s，對應的位移7.0 m則可改為12.4 m，相應地可將時間2.1 s改為2.95 s，位移11.2 m改為15.9 m；第（3）問中的時間1.5 s改為2.45 s。

此分析也可拓展到其他阻力與速度成正比、最后勻速運動的動力學模型中，如雨滴從靜止開始下落直至收尾速度，金屬小球從靜止開始豎直落入水中直至收尾速度等。

2 ? ?恒定阻力作用下導體棒變減速問題

2.1 ? ?題型示例

例2 某電磁阻尼減速裝置的簡易原理如圖5所示，兩平行光滑金屬導軌傾角為30°，導軌間距L=1 m，上端連接阻值R=1 Ω的定值電阻，整個裝置放在垂直導軌平面向上的勻強磁場中，磁感應強度大小B=2 T，質量m=1 kg的金屬棒在金屬導軌上與導軌接觸良好，以v0=10 m/s的初速度沖上導軌平面，運動位移x=1 m時速度剛好減為零并立即鎖定。導軌和金屬棒的電阻均忽略不計，取g=10 m/s2。求上升全過程中：

（1）金屬棒加速度a的最大值；

（2）流過定值電阻的電荷量q；

（3）金屬棒運動所用的時間t。

2.2 ? ?情境質疑

金屬棒在安培力作用下，加速度、速度、位移等物理量相互制約，題目中給出的信息“金屬棒……以v0=10 m/s的初速度沖上導軌平面，運動位移x=1 m時速度剛好減為零”，題目中設置的位移、速度等數據是否自洽？

類似問題如圖6所示，金屬棒以初速度v0沿光滑（或粗糙）的水平金屬導軌滑行，最終速度減為零，易分析出金屬棒從開始到速度減為零的過程中，運動的位移是有限的，但具體的位移是多少呢？命題者應通過計算設置數據，保證數據的自洽，從而保證試題命制的科學性。

2.3 ? ?模型論證

再將t代入（20）式，可得x≈1.8 m。故可將題目中條件“金屬棒……以v0=10 m/s的初速度沖上導軌平面，運動位移x=1 m時速度剛好減為零并立即鎖定”更改為“金屬棒……以v0=10 m/s的初速度沖上導軌平面，運動位移x=1.8 m時速度剛好減為零并立即鎖定”。

此分析也可拓展到其他阻力與速度成正比、最后靜止的動力學模型中，如動車在恒定制動力和空氣阻力下減速到零、密度比水小的小球以一定初速度豎直向下射入水中直至減速到零等。

3 ? ?思考與建議

國務院發布的《關于深化考試招生制度改革的實施意見》明確指出，要依據高校人才選拔要求和國家課程標準，科學設計命題內容，增強基礎性和綜合性，著重考查學生獨立思考和運用所學知識分析問題、解決問題的能力。導體棒在做切割磁感線運動時，相關物理量之間存在著一定的函數關系［1］。因此，教師在命制電磁感應單棒切割的相關試題時，給出的具體數據也應遵循科學性原則，而邏輯自洽、結構嚴謹的試題也可以培養學生正確的物理觀念、科學思維和科學態度。

參考文獻：

［1］馬北河，黃尚鵬．物理命題必須遵循科學性原則——電磁感應典型錯題分析與重置［J］．中學物理教學參考，2022，51（10）：64-66．（欄目編輯 ? ?蔣小平）