融合小波閾值與多維自回歸的時序預報模型研究

萬祥 魏博文 徐富剛 張升

摘要：

針對傳統統計模型并不能完全涵蓋位移影響分量信息以及真實影響分量信息易受到噪聲干擾等問題，提出了一種融合小波閾值理論與多維自回歸的混凝土壩位移時序預報模型。該方法主要是將小波閾值理論與時間序列算法結合起來創建混凝土壩位移時序預報模型，模型通過不同小波分解層數、小波基、閾值選取準則、閾值函數集成出一個MATLAB編碼平臺進行數據平滑處理，能高效挖掘大壩位移數據的影響分量信息，并選擇自回歸（autoregressive model，AR）時間序列模型作為預報模型。實例應用表明，新的融合模型預測性能較好，能有效監測大壩運行狀態，且其分析結果對于其他數字工程的數據預測也具參考價值。

關 鍵 詞：

小波閾值； 多維自回歸模型； 混凝土重力壩； 位移預報

中圖法分類號： TV32

文獻標志碼： A

DOI：10.16232/j.cnki.1001-4179.2023.07.029

0 引 言

大壩作為一種關乎到人民生命財產安全的長久性建筑物，其運行期間受到水位、溫度、地震、材料老化等多種內外環境因素共同影響［1-2］，大壩位移偏移量并不像傳統統計模型一樣，只受到水壓分量、溫度分量、時效分量的影響，其影響因素具有一定的多維復雜關聯性［3］。而大壩建成后所處自然環境大體不變，其大壩位移偏移量所受到的環境因素影響具有周期性以及規律性［4］，使得學者可借助時間序列算法建立相關數學模型，并根據已有的大壩位移觀測數據去預測大壩未來的位移偏移量成為可能。

伴隨著神經網絡［5-7］、支持向量機［8-9］、隨機森林［10-11］、時間序列分析［12-13］等人工智能算法的蓬勃發展，研究人員已經能夠做到對大壩位移的深入研究與預測，但是預測精度除了受算法本身影響外，還會受到數據中隨機變量的干擾，而模型訓練了無效位移信號，將對模型預測精度產生影響。為了讓數學模型訓練數據真實性更高，進行數據預處理很重要，相關學者在這一方面進行了深入的研究。李雙平等［14］首次將小波分析和譜分析引入到變形監測分析和預報中，使得模型預報精度在傳統回歸模型基礎上有所提高；陳俊風等［15］將小波變換理論與差分變異頭腦算法優化BP神經網絡結合起來應用于大壩變形預測，運用小波分析將數據序列分成許多子系列進行預測，提高了模型預測精度。但是以上方法運用的小波分析不具有全面性、系統性，且預測模型處理數據過程過于繁瑣，不具普適性。

本文先通過MATLAB編程將不同小波基、分解層數、閾值選取準則、閾值函數集成進小波閾值數據平滑處理系統，在剔除掉一些不確定因素對預報精度干擾的前提下，通過對比得到降噪最佳的小波閾值處理結果；再結合貝葉斯準則AR模型與赤池信息量準則AR模型在預測方面的充分探討（這兩個準則的選取其實是一種正則化的模式），挑選出眾多模型中預測效果最好的模型，得到融合小波閾值與多維自回歸的混凝土壩位移時序預報模型，以期在預測精度較高的前提下保證高效性。

3 融合小波閾值與多維自回歸的混凝土壩位移時序預報模型構建

通過以上理論可知，小波閾值處理位移監測數據減少了隨機變量對預測精度的干擾，提高了模型泛化能力，再結合AIC與BIC準則定階下的AR時間序列算法對比研究，構建了針對大壩監測數據的大壩變形組合預報模型框架。充分運用上述理論，通過試驗比較得出最佳預測模型，最后進行小波閾值與多維自回歸的混凝土壩位移時序預報模型框架構建，構建流程如圖1所示。

（1） 將分解層、小波基、閾值準則、閾值函數編碼于MATLAB平臺上，通過調整分解層、小波基、閾值準則、閾值函數對大壩位移監測數據進行試算，對比得到預處理最佳的小波閾值預處理組合方式。

（2） 對小波閾值預處理后的數據進行ACF，PACF相關性檢驗，確定時間序列模型。

（3） 在間序列模型下進行AIC準則、BIC準則定階，最后通過預測結果精度對比得到最佳預測模型。

4 工程實例

4.1 工程基本資料

位于中國福建省的棉花灘水電站，總庫容20.35億m3，年發電量15.2億kW·h，主壩全長308.5 m，壩頂高程179 m，壩高113.0 m，壩頂寬度7.0 m。該壩從左至右共6個壩段，其中1號、2號、5號、6號壩段為左右兩岸非溢流壩，3號、4號壩段為溢流壩，選取2號壩段2018年1月1日至2020年7月31日正垂線PL5水平位移自動化監測序列進行分析，得到944組數據的位移實測序列，選取周期間隔1 d作為模型訓練樣本。同時選取2020年8月1日至2020年8月30日的29組數據進行預報來檢驗模型的可靠性。監測時段內PL5實測位移與上游水位的變化過程如圖2所示。

4.2 小波閾值數據預處理

將PL5測點的水平位移數據作為原數據信號進行小波變換閾值數據預處理，選取dbN、symN、coifN 3種小波基進行數據處理，并對大壩位移數據信號進行2～5層分解試算，根據信噪比比較，得知靜水壓力下的大壩位移數據信號在3層分解的情況下得到充分挖掘。由于文中主要是比較小波基、閾值準則、閾值的選取問題對大壩位移數據平滑處理效果的影響情況，分解層數的處理效果將不在文中展示。大壩位移數據在分解層數為3的情況下，不同小波基、閾值準則、閾值的降噪效果可由其降噪后的信噪比進行比較，如圖3所示。

選取了db3～db8、sym3～sym8、coif1～coif5等多種具有典型代表的小波基；4種閾值選取準則分別為無偏似然估計準則、啟發式閾值準則、極大極小閾值準則、固定閾值準則；閾值函數為軟閾值、硬閾值函數。從圖3可以總結出以下結論：① 3種小波基的降噪效果雖有一定的差距，但都很均衡；② 無偏似然估計準則數據預處理效果比另外3種閾值選取準則更佳，信噪比波動也較大；③ 位移數據信號在硬閾值函數的情況下預處理效果普遍好于軟閾值函數。

將圖3全部降噪效果進行對比，得知該組數據信號在小波基db5、無偏似然估計準則、硬閾值函數時降噪效果最佳，信噪比為43.083 9 db，隨后將這一組預處理效果最好的大壩位移數據輸入到預報模型中進行性能探究。當然該MATLAB數據預處理平臺只是一個處理過程，對于不同測點、不同壩段的數據信號特點都具有差異性，得到的預處理效果最佳方式是不同的。

4.3 模型確定與效果對比

模型的選擇直接影響到該模型的預測效果，AR模型、MA模型、ARMA模型、ARIMA模型如何選擇，依據輸入大壩位移數據得到的自相關系數與偏自相關系數隨階數p的變化趨勢確定。預處理后的大壩位移監測數據輸入時序模型其相關系數如圖4所示。

圖4（a）中，自相關系數隨著階數p的增加而呈現指數衰減情況，屬于拖尾現象；圖4（b）中，偏自相關系數在階數p為2時突然衰減，隨后在零附近波動，屬于2階截尾現象，根據拖尾、截尾狀況確定預測模型為AR模型。

模型確定之后，選取AIC準則和BIC準則分別對AR模型進行定階比較，其AIC值與BIC值隨階數p的變化如圖5所示。

從圖5可以看出：AIC準則下模型的AIC值在延遲階數p為8后，變化相對平穩，到了延遲階數p為22時，達到了最小值56.099 8；而BIC準則下模型的BIC值在延遲階數為4時就達到了最小值102.500 8，隨后BIC值伴隨延遲階數p呈現上升趨勢?？梢夿IC準則下的AR模型能夠實現快速定階，達到預報模型最佳狀態，而延遲階數越大、信息準則值越小，其預報性能越好。

混凝土重力壩當年所處環境如何，對大壩位移監

測數據具有一定的影響，為了檢驗大壩所處環境的一

致性對位移量的影響，以多年測點水平位移進行pearson相關性分析，測點多年水平位移相關性分析如圖6所示。

根據圖6可知，PL5測點多年水平位移相關性較高（都高于0.7），PL2測點水平位移相關性較低，但都大于0.3，仍表明位移數據具有一定相關性。位移數據相關性的強弱對模型預測精度具有一定影響，測點數據相似性越高，其時間序列模型預測精度自然提高。

隨后將PL5測點的逐步回歸模型、小波變換閾值處理后的多維自回歸模型（AIC準則下）擬合與預報結果以及殘差序列圖繪制于圖7。

為了進一步驗證整套預報流程的準確性，將正垂線PL2大壩位移數據作為數據樣本建立模型進行校驗。同時，為了更加全面地比較以上幾種模型的預報精度，分別量化計算了PL5和PL2這兩個測點的統計指標，結果見表2，可以得出以下結論：

（1） 單從模型的角度比較，AR模型的擬合部分決定系數R2雖略高于逐步回歸模型，但在預測部分逐步回歸模型的決定系數遠遠小于AR模型，說明AR模型在大壩位移預測方面不僅存在很大的優勢，而且模型建立過程簡便。

（2） 至于AR模型中所運用到的信息準則函數，AIC準則下的AR模型無論是在大壩位移數據的擬合部分還是預測部分精度都要略高于BIC準則下，究其原因是AR時間序列模型本身不存在維度或參數過多的原因使得模型過于復雜化，所以BIC準則下的AR模型只能保證快速找到其相應準則下預測最佳的模型，而AIC準則下的AR模型擁有最佳的預測效果。

（3） 單從兩個測點的擬合與預報精度來看，結合了小波變換閾值降噪的AR模型相比于單純的AR模型，無論是擬合精度還是預報精度都得到了一定程度的提升。

（4） PL5測點的模型預測精度明顯高于PL2測點的預測精度，證實了測點數據相關性越高（大壩所處環境相似性越高），其監測模型的預測精度越高；若是大壩所處環境變化太大，大壩位移量偏差太大，可通過小波閾值預處理方式對前期數據進行適當修正。

5 結 論

（1） 本文提出了融合小波閾值與多維自回歸的混凝土壩位移時序預報模型。研究了小波閾值預處理技術：采用不同小波基、分解層數、閾值函數準則、閾值函數進行系統性整合，這是降噪效果甚好的小波閾值降噪方法，它能較好地濾除大壩位移數據中蘊含的不確定信息帶來的影響分量，使得建立的模型預報精度不受干擾。

（2） 文中所用到的AR模型能從數據的角度將所有影響分量信息考慮在內，用過去的位移數據預測未來的位移偏移量，能有效解決傳統統計模型建立需處理多自變量與應變量之間關系帶來的冗雜問題，同時還能在保證模型預測精度的前提下提高模型位移預報效率。

（3） 本文所建模型還能夠充分挖掘出混凝土壩位移數據的影響分量信息，在大壩位移數據預測方面具有精密性、快捷性，并且適用于相近工程大壩位移監測數據預測，對于其他數字工程的數據預測也具有一定的借鑒價值。

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（編輯：胡旭東）

Time series forecasting model by fusion of wavelet threshold theory and multi-dimensional autoregressive

WAN Xiang，WEI Bowen，XU Fugang，ZHANG Sheng

（School of Infrastructure Engineering，Nanchang University，Nanchang 330031，China）

Abstract：

Aiming at the problems that the traditional statistical model can not fully cover the displacement influence component information and the real influence component information is susceptible to noise interference，a time series model for concrete dam displacement prediction based on wavelet threshold theory and multi-dimensional autoregressive was proposed.The core of this method was to integrate a MATLAB coding platform for data smoothing through different wavelet decomposition layers，wavelet bases，threshold selection criteria，and threshold functions，so as to fully and efficiently mine the influence component information of dam displacement data，and selected the auto-regressive time series model as the prediction model.The engineering application showed that the new fusion model had better prediction performance，which ensured the safe operation of the dam comprehensively and efficiently，and its analysis results had a certain reference value for the data prediction of other digital projects.

Key words：

wavelet threshold theory；multi-dimensional autoregressive model；concrete gravity dam；displacement prediction