能量檢測及特征值全盲檢測的改進算法

吳晉，廖艷蘋

哈爾濱工程大學 信息與通信工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001

北斗衛星導航系統（BeiDou navigation satellite system，BDS）是中國自行研制且已投入使用的全球衛星導航系統，也是繼美國全球定位系統（global positioning system，GPS）、俄羅斯格洛納斯（global navigation satellite system，GLONASS）之后的世界上第三大成熟的衛星導航系統。但受空間復雜電磁環境影響，各種干擾對衛星導航系統的正常運行產生了巨大挑戰，因此對衛星導航系統的干擾檢測問題進行研究有著重要意義。

干擾檢測是提升和保障北斗衛星導航系統可用性和可靠性的關鍵，干擾檢測和抗干擾同根同源，檢測技術的發展也會改進和完善抗干擾技術，提升導航接收機在干擾環境下的定位能力[1]。干擾檢測常用的方法有匹配濾波檢測（match filter detection，MFD）[2?3]算法、循環平穩特征檢測（cyclostationary feature detection，CFD）[4?5]算法和能量檢測（energy detection，ED）[6?7]算法。匹配濾波檢測算法需要待檢測信號的先驗信息；循環平穩特征檢測算法計算復雜度大且計算時間長；而能量檢測算法無需接收信號的先驗信息，且計算復雜度較低，大大縮短了檢測時間，只需將接收信號的能量與門限值進行比較，從而判斷接收信號中是否存在干擾。但隨著接收機靈敏度及接受環境復雜度的提高，能量檢測算法在低干噪比下檢測概率較差、受噪聲功率不確定性影響較大的問題暴露無遺。為解決以上問題，有學者提出自適應雙門限能量檢測[8]。本文在理論分析的基礎上，通過構建錯誤概率函數并對其求極值，得到一種改進的能量檢測算法，在低干噪比條件下大幅提高了檢測概率，但改進后仍無法解決噪聲功率不確定性帶來的影響。隨著隨機矩陣理論（random matrix theory，RMT）[9]的發展，有學者提出了基于特征值的全盲檢測算法[10]（ blind detection algorithms，BDA），基于特征值的檢測在保持能量檢測算法優點的同時克服了噪聲功率不確定性的問題。文獻[11?14]中推導出了經典的協方差絕對值檢測（ covariance absolute value detection，CAVD）算法，利用最大和最小特征值構造統計量，推導出最大最小特征值檢測（maximum-minimum eigenvalue detection，MMED）算法，文獻[15]對MMED 做出優化，得到新的最大最小特征值檢測（new maximum-minimum eigenvalue detection，NMMED）算法，檢測性能得到了提升。但MMED 和NMMED 均沒有把干擾和噪聲聯系到一起，本文引入加權因子，通過對其尋找最優解，提出加權融合檢測算法（weighted fusion detection，WFD），使得檢測概率有了進一步提高。

1 能量檢測算法及其改進

1.1 能量檢測算法

ED 算法通過比較接收信號的能量與設定門限值的大小來確定干擾是否存在，其算法原理如圖1所示。

圖1 能量檢測算法原理

圖1中，r(i)為接收信號采樣后的數字信號，PN為采樣信號的信號功率，其表達式為

能量檢測算法的關鍵在于門限值T的確定，其實質上是一個二元假設檢驗問題，因此可以通過二元假設檢驗模型推導出門限值，此二元假設檢驗問題模型為

式中：r(i)為采樣后的數字信號，N為采樣點數，j(i)為干擾信號采樣點，n(i)為噪聲信號采樣點，i=1,2,···,N。

根據檢測統計量的概率分布，可以求出能量檢測算法在門限值為T時的干擾檢測概率Pd和虛警概率Pf分別為

式中： σ2為噪聲功率；為Q函數，又稱標準正態分布的右尾函數。

根據式（2）可知，在給定虛警概率Pf的情況下，對應的檢測門限值T為

將式（3）代入式（1）可得：

從式（1）、式（3）和式（4）可以看出，影響檢測概率的主要因素有虛警概率、門限值和干噪比。

改進的能量檢測算法從門限值出發，通過構造錯誤概率函數并對其求極值來計算門限值T。

1.2 改進的能量檢測算法

二元假設檢驗問題有4 種可能結果，其中檢測錯誤的情況有2 種：在H0條件下判定為H1，概率記為P(H1|H0)，也稱為虛警概率Pf；在H1條件下判定為H0，概率記為P(H0|H1)，也稱為漏檢概率Pm。

即

利用變限積分函數求導公式對式（6）求極值可以推導出使Pe(T)最小的門限值為

2 加權融合檢測算法

為解決噪聲功率不確定性帶來的影響，考慮BDA。BDA 以隨機矩陣理論為基礎，通過特征值包含的信息不同來判斷是否存在干擾信號。基于隨機矩陣理論的檢測算法流程如圖2 所示。

圖2 隨機矩陣理論檢測算法流程

全盲檢測算法分為2 類：一是基于協方差矩陣本身進行檢測，二是基于協方差矩陣特征值進行檢測。前者需要計算矩陣中所有元素絕對值的和，計算量較大；后者對協方差矩陣求特征值來進行干擾檢測，主要包括MMED 和NMMED 等。

MMED 和NMMED 的檢測統計量一致：

式中λmax和 λmin分別為協方差矩陣Kr(N)的最大、最小特征值。Kr(N)在H0時是Wishart 矩陣，其最大最小特征值有如下定理和近似服從一階Tracy-Widom 分布，其中：

式中：N為采樣點數，L為平滑因子。

MMED 和NMMED 算法中，虛警概率的表達式為

MMED 利用最大特征值的分布確定門限值，將式（7）中 λmin代入式（8）得：

式中一階Tracy-Widom 分布FTW(t)的表達式為

式中q(u)為非線性微分方程q′′(u)=uq(u)+2q3(u)的解。目前FTW(t)并沒有封閉的表達式，但有一些離散值可以利用[16]，部分數值如表1 所示。

表1 一階Tracy-Widom 分布的數值表

由式（9）可得，MMED 門限值為

NMMED 利用最小特征值的分布確定門限值，將式（8）中的λmax代入式（7）得：

由式（10）可得，NMMED 門限值為

MMED 利用最大特征值的分布來確定門限值，NMMED 利用最小特征值的分布確定門限值。但只利用最大或最小特征值都不能較全面地反映接收信號的特征，因此提出加權融合算法，即門限值為

式中 α 和 β為加權因子， 且滿足α ≥0 、β ≥0、α+β=1。

3 實驗結果

設置仿真參數為采樣頻率100 MHz，采樣點數N=2 000，干噪比?30~5 dB，步進0.5 dB，干擾類型為壓制式干擾，虛警概率為Pf=0.1。

圖3為能量檢測算法、自適應雙門限能量檢測算法和改進算法的檢測結果對比。

圖3 檢測結果對比

由圖3 可知，雙門限能量檢測和改進的能量檢測算法都有效提高了低干噪比下的檢測概率，但雙門限能量檢測在?14~?5 dB 檢測性能較差，而改進算法以高虛警概率為代價，實際虛警概率如圖4 所示。

圖4 改進算法與ED 的實際虛警概率

以上檢測算法均假設信道中只有高斯白噪聲，屬于半盲檢測算法（semi-blind detection algorithms，SDA），實際噪聲情況比較復雜，因此提出了加權融合檢測（weighted fusion detection，WFD）算法。

WFD 需選擇合適的加權因子 α，檢測概率隨α的變化曲線如圖5 所示。

圖5 不同加權因子下的檢測結果

從圖5 可知，當α=0.05時，檢測概率最大，因此加權因子的選擇為α=0.05，β=0.95。

WFD 算法與其他算法的檢測結果對比如圖6所示。

圖6 4 種算法檢測結果對比

由圖6 可知，特征值加權融合算法下的檢測結果明顯優于其他幾種算法，且克服了噪聲功率不確定性帶來的影響。

4 結論

1）本文從能量檢測算法中存在的兩大不足出發，改進的能量檢測算法通過構造錯誤概率函數并求極值，有效提高了低干噪比下的檢測概率，但ED 和改進算法均屬于SDA，即檢測性能受噪聲功率不確定性影響較大，因此采用BDA。

2）在MMED 和NMMED 的基礎上提出加權融合檢測算法，通過仿真找到加權因子的最優解，結果表明該算法在保證恒虛警概率的同時，檢測概率明顯高于ED、MMED 以及NMMED。