主結構阻尼對TMD最佳設計的影響研究

陳世錦，劉 洋

(廣州市城市規劃勘測設計研究院,廣東 廣州 510060)

隨著建筑對造型的高要求、輕質高強材料的應用,結構體系向著大懸挑、大跨度、更輕柔的方向發展,而結構體系的振動舒適度問題也愈加突出。優化結構體系本身難以改善振動不滿足要求的問題時,引入外部的振動控制系統可成為解決振動控制難題的一種方法,其中被動控制系統因為經濟性良好而得到廣泛的應用。本文針對被動控制中的調諧質量阻尼器(TMD)系統的特性和設計進行了討論研究,以便其在實際的工程中應用。

1 調諧質量阻尼器

1.1 無阻尼主結構

調諧質量阻尼器(TMD)系統由主結構以及附加的子結構組成,子結構由質量塊、彈簧和阻尼器組成。通過調節質量塊的質量大小以及彈簧剛度可改變子結構的自振頻率,從而使其與主結構的基本頻率或者激勵頻率接近。在外荷載激勵作用下,主結構振動時,子結構會產生一個與主結構振動方向相反的慣性力并作用在主結構上,使主結構的振動反應衰減而受到控制,從而起到減振的作用。TMD的力學模型如圖1所示。

圖1中M為主結構的質量;C為主結構的阻尼;K為主結構的剛度;md為子結構的質量;cd為子結構的阻尼;kd為子結構的剛度;x為主結構的位移;xd為子結構的位移,P(t)為外激勵荷載,簡諧激勵時P(t)=p(t)sinω1t。當不考慮主結構的阻尼時,根據力學平衡可得:

(1)

(2)

設定子結構的阻尼比:

(3)

(4)

其中,A=(h2-f2)2,B=(2hf)2,C=[μf2h2-(h2-1)(2hf)2(h2-f2)]2,D=(2hf)2(h2-1+μh2)2。

1.2 有阻尼主結構

當主結構有阻尼時,同樣可以建立β的公式:

(5)

其中,A1=(h2-f2)2,B1=(2hf)2,C1=[μf2h2-(h2-1)(2hf)2(h2-f2)+4ξdξfh2]2,D1=[2ξdhf(h2-1+μh2)-2ξh(f2-h2)]2。相對于式(4),式(5)的分子不變,但分母出現了與主結構阻尼ξ相關的修正項。

2 TMD的最佳設計

2.1 定點理論

定點理論廣泛用于減振器的最佳(最優)設計中,由Den Hartog等提出[2]。定點理論就是在含有阻尼的振動系統頻率響應曲線上,確定與阻尼比ξd無關的特殊點,并利用其進行減振器的設計。對于TMD,如圖2所示,當質量比μ一定時,動力放大系數β曲線均經過兩個定點P和Q,并與阻尼比ξd無關。

在含減振器的振動系統中,以α表示含阻尼ξd的系數,頻率傳遞函數(動力放大系數)可表示為[3]:

(6)

其中,A(ω),C(ω)和B(ω),D(ω)分別是不含和含α并以頻率ω為函數的系數項。為方便求解,可利用曲線經過兩個定點的特性,如利用α=0,α=1,α=∞等特殊點進行求解。利用G(ω)α=∞=G(ω)α=任意值,可得式(7),進一步可得到式(8):

(7)

(8)

這兩個定點P和Q隨著質量比不斷變化,有著“此起彼伏”的規律,當兩個定點的高度保持一致時,就具備了這兩個定點是最大值的條件。

2.2 TMD的最佳設計

f=ωd/ω=1/(1+μ)

(9)

(10)

(11)

需要注意的是,以上的推導中,阻尼比ξd為式(3),若采用式(12),則可得最佳阻尼比以及動力放大系數分別為式(13)和式(14)[4]。這兩種阻尼系數在工程實踐和文獻中均有使用,很容易混淆,需要特別注意。

(12)

(13)

(14)

由式(9)—式(11)可知,最優解時的ξd,f,β均是質量比μ的函數,此時的減振效果由μ決定。式(11)所表示的關系曲線如圖3所示。

由圖3可知,最優解時的動力放大系數β隨著質量比μ的增大而減小,且遞減的速率也越來越小。當μ=1%時,β=14.18;當μ=5%時,β=6.40;當μ=10%時,β=4.58。當μ>1%時,β的遞減速率明顯減小,當μ>5%時,β的遞減速率變化不大。μ取值過大會增加結構體系的自重而影響承載力,且減振效率小,整體效益不高,因此工程中一般可取μ=1%～5%。圖4展示了在不同μ情況下,最優解時的β隨著頻率比h的變化曲線,圖中同樣展示了β隨著μ變化而變化的趨勢,此時P和Q點等高。

在給定了每個TMD的質量md之后,即確定μ之后,利用最佳設計參數f和ξd值,可以得到阻尼器的最佳阻尼cd和最佳剛度kd:

cd=2ωdmdξd=2ωfμMξd

(15)

(16)

2.3 考慮主結構阻尼后的TMD最佳設計

當主結構有阻尼時,定點理論不再適用,像無阻尼結構情況下的不變點P和Q不再存在,因此必須借助數值方法確定最佳值f和ξd。如式(5)所示,β的公式具有含結構阻尼比ξ的修正項,因此考慮了主結構阻尼后,除非有經驗的擬合公式,進行TMD的設計會比較麻煩,因為需求解非線性方程,要確定TMD的最優參數變得更加困難。考慮這個修正項的影響有多大,若其影響大則需要建立TMD最優剛度和阻尼的經驗公式,反之可以按無阻尼主結構的設計方法進行設計,此時也能取得不錯的設計效果,提高設計的效率。根據式(4)和式(5),可得圖5所示的曲線。

由圖5可知,當主結構存在阻尼時,動力放大系數曲線的兩個峰值大小不一致,結構阻尼比越大,差距越明顯,且由于結構阻尼的存在,β的峰值比無阻尼時的大。因此,主結構阻尼削弱了TMD的最大減振效果。一般樓板舒適度分析的結構阻尼比取2%～5%[5],這個范圍內主結構有阻尼與無阻尼時β的差值如圖6所示,圖中以有阻尼的情況為基準。

由6可知,按主結構無阻尼最優參數計算時,隨著結構阻尼的增大,誤差越來越大,但隨著質量比的增大,誤差越來越小。也就是說,削弱作用隨著主結構阻尼的增大而更明顯,但可以通過增大質量比的方法來對沖這種削弱作用。從概念上理解,作為一個整體系統,當TMD質量比較大時,即主結構的質量相對于TMD顯得更小,此時主結構本身的特性對整體系統的影響會比較小。當質量比μ=0.05時,曲線隨著阻尼比ξ的變化較為平緩,此時無論是減振效果還是計算誤差都能得到比較好的控制。對于常規的混凝土樓蓋,阻尼比ξ=0.05,此時的誤差為28.60%,而當質量比μ=0.10時,誤差可減小到18.15%。

由于鋼結構的阻尼比相比混凝土結構的小,采用最佳參數的近似計算法可以降低所帶來的誤差。一般而言,常規的混凝土結構(樓蓋)基本能夠滿足規范對于舒適度的要求,而鋼結構具有輕質高強的特性,往往振動比較厲害,采用傳統的加大截面等方式以滿足振動的要求,經濟性不高,采用TMD來控制振動往往能取得不錯的效益。

綜合圖3,圖6的結果,在主結構的阻尼比ξ一定時,為解決誤差比較大的問題,有兩種解決辦法,一是將子結構的質量比取為5%～10%,此時能綜合減振效果與誤差大小,進一步可以以最佳設計參數為基準進行小范圍變動取值試算,取最優結果;另外可利用定點理論得到的理論公式進行修正,如文獻[1][6]分別給出了最小加速度準則下和最小振幅下的經驗公式,但計算較為復雜。

3 實例研究

現以一單非封閉連廊為案例進行驗證。連廊兩端采用牛腿承接,主梁為焊接矩形鋼管1 500×800×25×40,次梁為H型截面500×250×16×20,采用150 mm厚鋼筋桁架樓板,混凝土強度為C30,結構平面布置圖如圖7所示。恒荷載取1.5 kN/m2,欄桿恒載取為2 kN/m,有效均布活荷載0.35 kN/m2,采用SAP2000軟件進行分析。計算分析模型如圖8所示,連廊設計滿足現有規范的要求,包括應力比和剛度。

分析時采用不同的子結構阻尼,質量比μ=0.05。質量源采用荷載模式,TMD的模擬采用Link單元并在自由端施加荷載模擬質量。在連廊跨中施加的激勵為P(t)=100sinω1t(kN),ω1與結構ω相等。TMD的設計采用上述最佳公式進行計算,計算子結構質量時考慮了第一振型的參與系數。最終得到如圖9所示的結果。

需要注意的是,案例模擬的結果是在h=1.0的條件下得到的,并不是β曲線的峰值,而是圖5中的“谷”值。由圖9可知,兩曲線有一定差異,但均傾斜向下,結構阻尼ξ對動力放大系數β的影響規律是一致的,即隨著結構阻尼的增大,最佳設計時的β減小,從而印證了理論分析得到的結論。理論與數值模擬的結果有差異,可能是理論推導過程中以單質點體系為基礎,而實例中的模型為多質點體系,且數值模擬本身具有一定誤差。

基于以上的實例,為了方便工程設計,可以基于主結構無阻尼最佳設計的計算公式,在最佳參數附近取值,如取值±(5%～10%)范圍,通過試算的方法取得一個能綜合減振效果、結構承載力以及經濟性的參數,提高設計效率。

4 結論

針對TMD系統,基于理論推導和數值模擬,通過對比考慮主結構阻尼與否情況下的動力放大系數研究結構阻尼的影響,并通過對比最佳設計下的設計參數取值研究結構阻尼對最佳設計的影響,得到以下結論:

1)不考慮主結構阻尼時,最佳設計時的動力放大系數β隨著質量比μ的增大而減小,且遞減的速度也越來越小。綜合考慮減振效果以及對結構承載力的影響,μ可取1%～5%。2)主結構阻尼對TMD的減振效果具有削弱作用,隨著阻尼的增大而增大,但可以通過增大質量比來對沖這種削弱作用。3)考慮了主結構的阻尼后,最佳設計的定點理論不再適用,采用無阻尼主結構的TMD最佳計算公式進行設計有一定的誤差,μ越小越明顯。綜合考慮減振效果、對結構承載力的影響以及誤差大小,最終建議取μ=5%～10%。為提高設計效益,可對理論公式進行修正,目前已有經驗公式,但計算較為復雜。為方便工程使用,也可以主結構無阻尼的最優參數為基礎進行小范圍變動取值試算,取最優結果。