基于IWOA算法求解并聯冷機負荷分配問題

于軍琪，康智桓，荊 競，趙安軍，陳時羽

(1.西安建筑科技大學，西安 710055；2.中國建筑西北設計研究院有限公司，西安 710018)

0 引言

近年來在中國，建筑消耗了大約20%的一次能源。城市建筑可以消耗高達70%的城市一次能源[1]。所以提高建筑能源效率對于可持續發展至關重要。冷水機組通常服務于商業建筑。作為中央空調系統的主要部件，冷水機組約占商業建筑制冷能耗的35%。由于冷水機組能耗巨大，因此，如何在不同冷負荷下運行制冷機系統，使能耗最小化成為一個重要的問題[2]。通過仔細設計和運行冷水機組，發現多臺冷水機組系統由不同性能特性和容量的冷水機組成，因此各冷水機的最優負荷比組合成為一個有價值的研究課題。

近年來，冷水機組負荷優化分配(OCL，optimal chiller load)問題受到越來越多的關注，研究人員使用各種優化算法不斷對優化結果進行改進。文獻[3]在最優冷水機組負荷研究中采用拉格朗日法(LM，Lagrange method，)最小化不同冷負荷下的能耗，結果表明拉格朗日法能使能耗最小化，但在低需求時不能收斂；緊接著文獻[4]提出利用遺傳算法求解，遺傳算法克服了低需求下的收斂性，但相比于拉格朗日法平均能耗提高了0.4%左右；文獻[5-6]又提出利用模擬退火法(SA，simulated annealing)和梯度法(GM，gradient method)改進拉格朗日法的收斂性，發現該方法能在短時間內產生精度較高的結果。文獻[7]采用粒子群算法(PSO，particle swarm optimization)對問題進行求解，發現PSO相比于GA算法能夠獲得更好的優化結果。因為OCL問題的變量是連續的，所以文獻[8]采用連續遺傳算法(CGA，continuous genetic algorithm)和粒子群算法來解決，而研究也表明粒子群算法能夠改善遺傳算法和拉格朗日法的性能。文獻[9]提出了一種差分進化算法，該算法在尋優方面優于遺傳算法，并克服了遺傳算法存在的問題。文獻[10]提出了一種基于高斯分布函數的改進螢火蟲算法(FA，firefly algorithm)，優化了多冷卻器負載問題中的能耗。文獻[11]提出了一種新的差分布谷鳥搜索算法(DCSA，differential cuckoo search approach)，該算法基于差分算子，提高了算法的整體尋優能力。文獻[12]使用非線性波紋權重因子和自適應排斥因子的改進波紋蜜蜂群優化算法(IRBSO，improved ripple bee swarm algorithm)算法，并將其用于解決冷水機組的經濟調度問題。文獻[13-4]提出的改進人工魚群算法(IAFSA，improved artificial fish swarm algorithm)和改進入侵雜草算法(EIWO，improved invasive weed optimization)也為解決此問題提供了更好的解決方案。文獻[15]提出運用改進分數階達爾文粒子群算法(IFODPSO，improved fractional order Darwinian particle swarm optimization)求解，也是解決OCL問題的有力工具。結果表明，與現有優化算法相比，該算法在收斂精度、收斂速度和穩定性等方面的綜合性能有了顯著提高。以上研究表明，元啟發式算法和數學規劃方法都是解決OCL問題強有力的工具且均能從中央空調系統實際用能情況出發解決問題。但是元啟發式算法需要較大種群規模、對種群初始化要求較高等問題使得一種優化算法在特定優化問題上的優化性能較好，但是并不能推廣到大多數優化問題上從而算法適用性大打折扣。鯨魚優化算法[16](WOA，whale optimization algorithm)是2016年提出的一種基于鯨魚捕食習慣而研究出的一種新的智能算法，本文以該算法為基礎解決冷水機組負荷優化分配問題。

WOA算法的推廣引起了研究者們的關注，并在文獻[17-18]中用于求解單目標熱電廠經濟調度問題。基本的WOA為中小型測試系統提供了更高質量的解決方案，并且收斂速度更快。但是，對于大規模復雜問題，基本WOA算法由于早熟收斂、收斂速度慢等問題往往不能收斂到最優解。這是因為在基本的WOA算法中，局部勘探和全局開發之間存在差異。針對基本WOA出現的問題，許多研究者都做了不同的修改，通過適當平衡勘探階段和開發階段來提高WOA性能。文獻[19]引入了改進的混沌鯨優化算法(CWOA，chaos whale optimization algorithm)來求解太陽能光伏電池的參數估計，該方法利用混沌映射進行計算，并自動選擇方法內部參數。文獻[20]引入了一種帶局部搜索策略的混合鯨魚優化方法來求解置換流水車間調度問題。文獻[21]采用了一種基于最新開發的WOA的新的MLP訓練方法來優化神經網絡中的連接權值。文獻[22]為了準確提取不同太陽能光伏模型問題的參數，提出了一種改進的鯨魚優化算法。該方法采用了兩種獵物搜索策略，有效的保持了勘探與利用的平衡，提高了WOA算法的性能。從以上研究可以看出，不同學者對于基本鯨群算法出現的收斂速度慢、尋優精度低、早熟收斂等問題提出的各種改進鯨群算法應用于各領域的優化問題均獲得了良好的實驗結果。

綜上所述，由于OCL問題優化變量的維度及最終結果由冷機的數量及各冷機的性能參數決定，基本鯨群算法已經無法滿足針對OCL問題中出現的高維問題，快速收斂到全局最優解。因此，提出一種改進鯨群算法(IWOA，Improved whale optimization algorithm)，并通過仿真實驗對其性能進行檢驗。

1 問題描述

冷水機組由于運行靈活、備用容量大、檢修中斷少等特點，常采用并聯的多套冷水機組與共用配電系統相連接[23]。圖1展示了一個典型的解耦冷凍水系統。冷凍水系統的多臺泵通過旁通管連接，旁通管連接回水總管和供水總管。冷水機組與泵機組一體化，相互獨立運行[24]。考慮到需求增量的發生，需要比冷水泵提供的流量更大的流量。總管由回流水通過旁路提供，旁路定義了額外冷水機組容量的要求。因此，將啟動另一臺冷水機泵。相反方向的水流決定了產能過剩的條件，這就關閉了冷水泵。在全電制冷的多臺冷水機組系統中，在滿足負荷需求的情況下，各機組能耗之和最小時，機組性能最佳。PLR (partial load ratio)定義為冷水機的冷負荷與冷水機功耗的比值。

圖1 多冷機系統結構圖

每臺冷機的性能參數都有所不同，冷機負荷的變化取決于末端負荷需求的變化。為了將系統冷負荷分配給制冷機組，多冷機系統允許可變的水流通過冷卻盤管，并保持恒定的水流通過冷卻器。此外，允許供水和回水通過旁通管道彼此流動，并且可以根據系統冷負荷需求來控制水流。

典型OCL問題的優化目標，是使多臺冷水機組系統的總功耗最小化。因此，它主要是指在能滿足整個系統末端負荷需求情況前提下，追求達到一種至少不應超過整個系統的運行功率極限條件下的系統最大的冷機部分負荷比PLR使末端冷機部分的負荷功率總和達到最小，從而獲得最佳的系統性能，實現節能減排的目的[15]。因此本文將離心式冷水機組的功耗描述為：

(1)

式中，Pi為第i臺冷水機組功率，ai、bi、ci、di為第i臺冷機本身的功耗系數，Ri為第i臺冷機的部分負荷比。

OCL問題是指在滿足給定的目標函數最小的情況下，求一個不大于中央空調系統最低運行功率限制條件下的冷水機組部分負荷率PLR值，使之能在滿足整個中央空調系統末端負荷要求條件的情況條件下仍以系統最低限度的最低運行總功率來工作，考慮到系統的冷負荷平衡，目標函數如(2)式所示應最小化：

(2)

式中，OF為并聯冷機系統總功率，m為并聯冷機臺數，根據制造廠商的建議，當冷卻器打開時，PLR值必須大于0.3。當冷卻器關閉時，PLR值為0 。解決OCL問題的目的是找到冷水機組PLR的最佳值，該值可以獲得最小的運行功率并滿足運行約束。

因此，并聯冷機負荷分配優化模型的目標函數和約束條件的數學式如下：

min(P)

(3)

s.t.0.3≤Ri≤1或Ri=0

(4)

(5)

2 鯨群優化算法

2.1 標準鯨群優化算法

標準鯨群優化算法(WOA，whale optimization algorithm)包括幾個步驟：

2.1.1 包圍獵物

WOA算法將目前群體的最佳結果作為精英鯨魚的位置，其余個體將精英鯨魚的位置作為獵物的位置。通過改變位置進而包圍獵物，鯨群的行為公式如下：

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

2.1.2 氣泡網方式狩獵

氣泡網覓食法是座頭鯨獨特的捕獵方式，為了對座頭鯨獨特的捕獵方式進行數學建模，設計了以下兩種方法。

1)收縮包圍機制：

圖2 鯨群算法收縮包圍策略示意圖

2)螺旋包圍機制：

螺旋包圍機制中，通過計算座頭鯨與獵物之間的距離建立座頭鯨與獵物之間的螺旋方程。螺旋方程如下：

(11)

(12)

圖3 鯨群算法螺旋包圍策略示意圖

當座頭鯨群不斷朝獵物周圍方位移動覓食時，首先會繞著一個逐漸縮小的圓環包圍獵物，與此同時不斷螺旋上升對獵物進行捕食，為了模擬這種捕捉方式，假設有百分之五十的可能性在收縮包圍機制或螺旋包圍機制中選擇并更新座頭鯨的位置。數學模型如下：

(13)

其中：p為[0，1]之間的隨機數。

2.1.3 搜索獵物

在捕獵過程中，鯨群會參照其他族群的位置來改變自己的當前位置，以這種方式擴大搜索范圍進而搜尋更優的獵物位置。WOA算法中，每個個體根據收斂因子|A|的改變確定下一步的搜索范圍。當|A|>1時，個體鯨魚將擴大隨機捕食的搜索范圍，并執行全局搜索。數學模型如下。

(14)

(15)

綜上所述，鯨群算法的綜合搜索策略如下所示：

(16)

2.2 改進鯨群優化算法

2.2.1 混沌映射初始化種群

鯨魚的初始位置是隨機生成的，通常情況下初始值會隨機遍布整個解空間。針對不同的優化問題，初始值對算法的收斂精度和速度有不同程度的影響[24]，基本鯨群算法在解決函數優化的問題時，往往使用了隨機初始化種群的方式，而無法確保初始參數在解空間內均勻分布，這就導致當初始值遠離了全局最優解，就會大大增加搜索時間，延緩算法收斂速度，同時也有陷入局部最優解的可能性。

混沌運動因為其遍歷性、隨機性和規律性等特點，能夠使初始化后的種群更均勻地在整個解空間分布。目前，它已被廣泛應用于蜂群、灰狼和粒子群優化等智能算法中。本文首先引入了Skew tent混沌映射，Skew tent混沌映射在其參數區域內是一種混沌映射，同時擁有均勻的分布函數以及良好的相似性。與更廣泛使用的logistic映射相比，它減少了解空間邊緣區域的高分布率問題，并且具有良好的均勻分布性能。Skew tent算法公式為：

(17)

其中：φ∈[0，1]。當φ=0.5時是tent映射最經典的形態。此時，得到的序列是均勻分布的，并且針對各個參數有著幾乎相同的分布密度[25]。所以本文引用的tent混沌映射如下所示：

(18)

2.2.2 收斂因子改進

(19)

其中：t表示當前迭代次數，Tmax為最大迭代次數，μ取2，1，0.5。

圖4 變異指數迭代變化圖

2.2.3 改進螺旋更新位置

從式(11)中我們能夠看到，WOA算法的螺旋更新策略模型可以幫助種群在后期階段快速地聚集。雖然它能夠提高算法后期的收斂速度，但同時也會損失種群的多樣性，從而増大算法陷入局部最優解的風險[26]。因此，本文對螺旋位置更新模型做出如下改進：

(20)

(21)

綜上所述，改進鯨群算法流程圖如圖5所示。

圖5 改進鯨群算法流程圖

3 測試案例與結果分析

3.1 測試案例

為了證明IWOA算法在解決OCL問題上的優勢，選擇了兩個典型的并聯冷機系統驗證算法性能。在這項研究中，為了說明IWOA算法解決OCL問題的最佳能力，對兩個案例進行了測試。第一個多冷水機組系統由3個800 RT機組組成。第二個多冷水機組系統由4個1 280 RT機組和兩個1 250 RT機組組成。兩組冷機工況數據均選取來自臺灣新竹科技園內的一家半導體廠的冷機數據進行實驗。表1展示了兩個案例冷機的性能參數。

表1 測試案例冷機性能參數

3.2 結果分析

為消除偶然性，本研究所有實驗數據均在對每個實驗工況分別進行了30次獨立實驗基礎上得到的，首先將改進鯨群算法用于OCL問題的求解。在案例1實驗中將IWOA算法與GA[4]、PSO[7]、IFODPSO[15]等其他曾用于求解OCL問題的元啟發式算法進行對比，結果如表2所示。從表2可看出IWOA算法在各工況下運行的結果均優于GA算法，在不同負荷需求下可節能2.84～149.93 kW不等，特別是當負荷需求低于1 440 RT(60%)時，均節能超過100 kW。當冷機在高負荷需求條件下運行時，節能效率有所下降，但依然可節能2.84～7.16 kW。與PSO、IFODPSO相比在各種負荷條件下均獲得了相似的優化結果。在案例2的實驗中，將IWOA算法與GA、PSO、DS算法進行了對比，如表3所示：表3顯示了冷水機組的總功耗和每臺冷水機組的部分負荷比，IWOA算法在不同需求下與GA、PSO、IFODPSO算法相比可節能0.95～159.79 kW。當部分負荷比小于80%時，IWOA算法計算的最小能耗比GA算法高1～4.3%，比PSO算法高1.6～2.1%，比IFODPSO算法高1.59～2.19%。在部分負荷比高于80%時，IWOA算法的優化結果與IFODPSO算法相同。與其他優化算法相比在統計平均運行時間方面，IWOA算法優于PSO算法和GA算法。這是因為提高算法收斂精度和減少運行時間是兩個相互矛盾的目標，但隨著計算工具性能的不斷提高，這一矛盾得到了很好的解決[25]。圖6展示了兩個不同案例下IWOA算法的收斂曲線，對于案例1對應的三臺冷機低維問題，IWOA算法可以保證在10代之內快速收斂到最優值，這是因為通過混沌映射，將初始化粒子均勻遍布解空間，以及通過變異指數對收斂因子的改進，既可以加快算法的收斂速度又可以保證算法不易陷入局部最優解。而面對案例2的6臺冷機對應的高維問題，算法相應的收斂速度有所減慢，但在30代內算法就能保證收斂到最優值，通過實驗可以看出算法具有良好的收斂性。從表4可以看出，將案例1和案例2中的WOA算法與IWOA算法在每個負荷需求下30次獨立運行后的最大、最小和平均能耗進行了比較，并通過標準差驗證了能耗的離散程度，以此來驗證算法的穩定性。案例1中，當符合需求低于60%時，IWOA算法標準差為0，說明了在低負荷條件下，IWOA算法運行非常穩定。當符合需求高于60%時，兩種算法的標準差均維持在較低水平。說明兩種算法在針對只有3臺冷機的低維優化問題時，均展現出了算法的穩定性，而IWOA算法相比于WOA算法穩定性更佳。案例2中，當負荷需求低于75%時，IWOA算法非常穩定，標準差為0，并在高負荷需求下，標準差維持在0.004 3～0.007 3這一低水平下。而WOA算法在案例2中的標準差差距較大分別達到了28.358 7、0.979 4、2.369 1、6.833 6、9.468 7遠遠高于相同工況下IWOA算法所得結果標準差。由此可見WOA算法在面對6臺冷機對應的高維優化問題時，容易陷入局部最優解，使得數據差異明顯，從而導致標準差差距較大。此外，2個案例中IWOA算法相比于WOA算法在不同負荷需求條件下總功率的最小值、最大值、平均值等都要更低，更加證明了IWOA算法的優勢。

表2 案例1中GA、PSO、IFODPSO、IWOA算法結果對比

表3 案例2中GA、PSO、IFODPSO、IWOA算法結果對比

圖6 不同情況下IWOA算法收斂曲線

另外圖7顯示了WOA算法和IWOA算法在兩個案例中30次獨立實驗的平均計算結果與最優預測值的相對誤差。

表4 WOA算法與IWOA算法優化結果對比

首先針對圖(a)和圖(c)分別對應的案例1的運行結果可看出，WOA算法相對誤差均低于0.015%，負荷要求為40%和50%時，算法曲線平坦，負荷要求為80%和90%時相對誤差出現了一定的震蕩。而IWOA算法在負荷需求為40%、50%、60%時曲線均比較平坦，沒有出現明顯的誤差。負荷需求為70%、80%、90%時最大相對誤差也不超過0.003 5%。針對圖(b)和圖(d)分別對應的案例2的運行結果，WOA算法的相對誤差均低于5%，負荷需求為70%和75%時曲線較平坦。IWOA算法相對誤差均低于0.000 6%，負荷需求為70%和75%時曲線較平坦。圖中IWOA算法在30次獨立運行的實驗結果相對誤差雖然在某些工況下有所變動，但相比于WOA算法誤差更小、曲線更加平坦從而驗證了算法可靠的穩定性。

圖7 不同案例下WOA算法和IWOA算法相對誤差

通過實驗表明，IWOA算法是解決OCL問題的一種行之有效的方法。

4 結束語

通過增加冷卻需求和冷卻器數量，每個機組必須以最高效率運行，并應將功耗降至最低。因此，為了降低建筑物或公司的運營成本，減少污染物的排放，OCL問題變得越來越重要。在這項研究工作中，IWOA算法作為一種有效的優化方法被引入到OCL問題中。本文中用于解決兩個不同的測試系統，以評估該方法的有效性和性能。將所提供的最優解與其他優化方法進行了比較，結果表明，這些優化方法在功耗方面有了顯著的提高。IWOA算法的收斂特性表明它能夠在較短的時間間隔內獲得最優解。該方法可方便地推廣應用于大型多冷水機組系統的OCL問題。未來的趨勢可以集中在研究大規模系統中的OCL問題和冷水機組的每日優化調度上。此外，制冷機滿足制冷需求過程中的廢熱可以回收利用，以滿足系統的熱需求。