作圖解題，化繁為簡

張興平

圖是高中數學的生命線，會用數學語言描述物理情景，會用數學思維解決物理問題，這是物理學科高考對考生其中的一個能力要求.作圖解題是解決物理問題構建物理模型的一種科學思維方法，作圖解題往往簡便快捷，本文舉例說明.

【例1】 ?圖1是一種智能減震裝置的示意圖，輕彈簧下端固定，上端與質量為m的減震環a連接，并套在固定的豎直桿上，a與桿之間的智能涂層材料可對a施加大小可調節的阻力，當a的速度為零時涂層對其不施加作用力．在某次性能測試中，質量為0 .5m的光滑環b從桿頂端被靜止釋放，之后與a發生正 碰；碰撞后，b的速度大小變為碰前的λ倍、方向向上，a向下運動2d時速度減為零，此過程中a受到涂層的阻力大小f與下移距離s之間的關系如圖2．己知a靜止在彈簧上時，與桿頂端距離為4 .5d，彈簧壓縮量為2d，重力加速度為g．求λ的值.

解析一： ?a環碰后受重力、彈力及阻力這三個力作用.作f-s圖和彈力F 彈-s圖.

阻力做功大小如圖3陰影面積W f=mgd

彈力做功大小如圖4陰影面積W 彈=3mgd

依動能定理：

mg·2d-Wf-W 彈=0- 1 2 mv2 a

由此得v a=2 gd ?①

又光滑環b做自由落體運動，設碰前瞬間b的速度大小為v 0，有：

v2 0=2g 4 .5d ?②

a、b碰撞過程，系統動量守恒：0 .5mv 0=－0 .5mv b+mv a ③

聯立①②③并將v b=λv 0代入，解得：λ= 1 3 .

解析二： ?如圖5所示，AB=CD，當a環下落x時，彈力BD與阻力CD相加之和等于AD，即是說a環下落過程彈力與阻力之和恒定為2 mg ，方向豎直向上.那么重力、彈力及阻力的合力大小為mg，方向豎直向上.

依動能定理：-mg·2d=0- 1 2 mv2 a，由此得v a=2 gd ①

聯立①②③并將v b=λv 0代入，解得：λ= 1 3 .

【思路總結】 如果研究的力與位移有線性關系，那么作力與位移的圖像，圖像面積的意義是變力做功的大小.a環碰后受的彈力及阻力均與位移有線性關系，所以作f-s圖和F彈-s圖就可以簡易算出它們做的功大小.

【練習題1】 如圖6所示為應用彈簧彈力水平放置的彈射器，彈簧左端與槍管固定相連，右端與彈丸接觸不相連，槍管總長度為2d，彈簧原長為2d，彈丸質量為m，可看作質點，開始在彈簧長度為d的位置上，釋放彈簧時，彈丸受到的彈力大小為1000 mg（在彈性范圍內），設彈丸運動過程中受到的阻力大小與運動位移成正比關系，到槍口時的阻力大小為20mg ，求彈丸運動到槍口時的速度大小.

解析： 水平方向彈丸受彈力F及阻力f這二個力作用.作F-s圖和f-s圖.

彈力做功大小如圖7陰影面積W 彈=500mgd.

阻力做功大小如圖8陰影面積W f=10mgd.

依動能定理：W 彈- W f= 1 2 mv2-0

由此得v=7 10gd .

【例2】 如圖8所示，某理想氣體（分子力不計），體積由v膨脹到v′.如果壓強不變，對外做功大小為W 1，

傳遞熱量的值為Q 1，內能變化為 Δ U 1；如果溫度不變，對外做功大小為W 2，傳遞熱量的值為Q 2，內能變化為 Δ U 2，則（ ?）

A .W 1＞W 2，Q 1＜Q 2， Δ U 1＞ Δ U 2

B .W 1＞W 2，Q 1＞Q 2， Δ U 1＞ Δ U 2

C .W 1＜W 2，Q 1＝Q 2， Δ U 1＞ Δ U 2

D .W 1＝W 2，Q 1＞Q 2， Δ U 1＞ΔU 2

答案： B

解析： 作P-v圖，如圖9所示， A→B等壓過程做功W 1大于A→C等溫過程做功W 2；B狀態溫度比C狀態溫度高所以 Δ U 1＞ Δ U 2；依熱力學第一定律可知Q 1＞Q 2 ，所以正確答案是 B.ACD 錯誤.

【思路總結】 作P-v圖，面積的意義表示做功大小，從圖中可直觀判定做功大小，也可以直觀判定溫度的高低，從而判定內能變化情況，再應用熱力學第一定律判定熱量情況.

【練習題2】 一定質量的理想氣體經歷從狀態A→B→C→A過程，在狀態A時氣體的溫度為T 0，壓強為3p 0，體積為υ 0，在狀態B時氣體的溫度為T 0，壓強為p 0，體積為3υ 0，在狀態C時氣體的溫度為T 0，壓強為3p 0，體積為3υ 0，從狀態A→B過程中氣體等溫變化，從狀態B→C過程中氣體等容變化，從狀態C→A過程中氣體等壓變化，若氣體從狀態A→B過程中對外做功3p 0υ 0，求從狀態A→B→C→A過程中，氣體與外界交換的熱量大??？

解析： 作P-v圖，如圖10所示，從狀態A→B→C→A，內能不變化，依熱力學第一定律可知，熱量等于做功大小.氣體從狀態A→B過程中對外做功3p 0v 0，從狀態B→C過程不做功，從狀態C→A過程中外對氣體做功6p 0v 0，所以從狀態A→B→C→A，外對氣體做功3p 0υ 0，氣體放出熱量3p 0υ 0.

【例3】 如圖11所示，質量為m A可看作質點的A物體，初速度為υ 0飛上在光滑水平面上靜止質量為m B的B物體左端， A與B間的動摩擦因數為μ，則木板B至少多長，A才不至于從B上滑落？

解析： 作v-t圖像，如圖12所示，t 1時刻A與B達到共同速度υ 1，如果A恰好停在B的右端，此時木板長度為最小，陰影面積為所求木板長度L大小.L= v 0 2 t 1 ①

又依動量定理：μm Agt 1=m Bv 1－0②

－μm Agt 1=m Av 1－m Av 0 ③

聯立①②③解得L= m Bv2 0 2μg（m A+m B）

【思路總結】 作v-t圖像可以直觀算出相對位移的大小.

【練習題3】 如圖13所示，傳送帶以v的速度勻速運動．將質量為m的物體無初速度放在傳送帶上的A端，物體將被傳送帶運送到B端，已知物體到達B端之前已和傳送帶相對靜止．求在傳送物體過程產生的熱量大小.

解析： 作v-t圖像，如圖14所示，t 1時刻物體與傳送帶達到共同速度v

物體相對傳送帶的位移大小就是陰影面積S= vt 2 .

所求熱量Q=fs= fvt 2

而依動量定理ft=mv－0，由此得Q= 1 2 mv2

【例4】如圖15，游樂場中，從高處A到水面B處有兩條長度相同的光滑軌道.甲、乙兩小孩沿不同軌道同時從A處自由滑向B處，下列說法正確的有

A． 甲的切向加速度始終比乙的大

B．甲、乙在同一高度的速度大小相等

C．甲、乙在同一時刻總能到達同一高度

D ．甲比乙先到達B處

答案： BD

解析： 由受力分析及牛頓第二定律可知，甲的切向加速度先比乙的大，后比乙的小，故A錯誤；當甲乙下降相同的高度h時，由機械能守恒定律得： mgh= 1 2 mv2即：v= 2gh ，可知， B 正確；由υ-t圖像可知， C錯誤，D 正確.

C、D ?答案判定，畫速率與時間圖像如下：

甲、乙軌道運動總路程相等，甲下滑切向加速度逐漸變小，乙下滑切向加速度逐漸變大，運動時間內圖像面積應該相等，作v-t圖像，圖17、圖18甲面積大于乙面積不符合實際，圖16甲面積可能等于乙面積，所以 C 、D 答案正確的是D答案.

【思路總結】 軌道運動路程相等，切向加速度大小的比較又可判定，那么作v-t圖像可以直觀判定運動路程相等時運動時間的長短.

【練習題4】 一顆子彈以水平速度v 0穿透一塊在光滑水平面上迎面滑來的木塊后，二者運動方向均不變.設子彈與木塊間相互作用力恒定，木塊最后速度為v，則（ ?）

A .v 0越大，v越大

B .v 0越小，v越大

C .子彈質量越大，v越大

D .木塊質量越小，v越大

答案： AC

解析： ?子彈穿透木塊過程中，作用力不變，兩者都做勻減速運動，子彈的位移與木塊的位移之和等于木塊的厚度保持不變，作v-t圖像，在t 0時刻子彈穿透木塊，兩條速度線與t 0豎直線包圍面積表示木塊的厚度大小.若質量不變，加速度也不變，當子彈的初速度v 0越大時，如圖19所示，子彈速度線上移，為保證包圍面積不變，則時間線必需向左移動，由圖可知 A 正確， B 錯誤；子彈的質量越大，加速度越小，初速度一定，速度線斜率變小，如圖20所示，時間線必需向左移動，故 C 正確；木塊的質量越小，加速度越大，初速度不變時間線必需向右移動，才可以保證包圍面積不變，如圖21所示，故 D 錯誤.

責任編輯 ?李平安