最小均方自適應(yīng)濾波器設(shè)計及性能影響因素分析

王秋莎,張 崢,王 磊,程子瑋,閆 鵬

(1.中國電建集團河北省電力勘測設(shè)計研究院有限公司,河北 石家莊 050031;2.國網(wǎng)吉林省電力有限公司長春供電公司,吉林 長春 130021;3.國網(wǎng)河北省電力有限公司電力科學研究院,河北 石家莊 050021)

0 引言

同步相量測量單元(Phasor Measurement Unit,PMU)是全局同步時鐘下實現(xiàn)電網(wǎng)中電壓和電流信號同步相量、頻率和頻率變化率測量的儀器。噪聲是測量信號中無法避免的問題,會造成測量信號部分湮滅,導致測量信號波形失真、信噪比降低,影響關(guān)鍵數(shù)據(jù)檢測、特征值提取等高級應(yīng)用。PMU 測量的信號中通常包括大量噪聲,對PMU應(yīng)用造成了較大影響。

在電力行業(yè),當被測信號信噪比低于40 dB時,被測信號會被噪聲嚴重影響,關(guān)鍵數(shù)據(jù)及特征值將難以提取。因此,在電力行業(yè)信號測量過程中,選擇合適工具對被測信號中的噪聲進行有效處理,減少噪聲產(chǎn)生的不良影響,是本領(lǐng)域研究的重點方向。

數(shù)字濾波器是按照預先設(shè)計好的濾波算法程序,達到對測量波形信號濾波的目的。文獻[1]通過濾波獲取各模態(tài)的電壓和電流信號。文獻[2]提出基于量測量誤差協(xié)方差次優(yōu)估計的自適應(yīng)強跟蹤無跡卡爾曼濾波的同步相量測量算法,對突變具有更好的檢測靈敏度和更高的跟蹤速度。文獻[3]提出一種基于頻率成分在線分析的帶陷波齒的FIR 濾波器,實現(xiàn)濾波器中心頻率和陷波齒位置的自適應(yīng)調(diào)整。文獻[4]提出基于一組線性相位有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波的動態(tài)相量測量算法,實現(xiàn)動態(tài)和暫態(tài)條件下同步相量的精確測量。本文在數(shù)字濾波器基礎(chǔ)上提出最小均方(LMS)自適應(yīng)濾波器,并對其參數(shù)變化影響進行分析,掌握其規(guī)律,對于處理同步相量測量單元采集數(shù)據(jù)具有重要作用。

1 數(shù)字濾波器設(shè)計

數(shù)字濾波器是按照預先設(shè)計好的濾波算法程序,達到對測量波形信號濾波的目的。數(shù)字濾波器依據(jù)單位沖擊響應(yīng)時間特性,分為無限長沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器和有限長沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器[5-6]。

1.1 IIR 數(shù)字濾波器

IIR 數(shù)字濾波器是一種遞歸線性時不變因果系統(tǒng),其差分方程為

式中:x(n)為輸入序列;y(n)為輸出序列;M、N為自然數(shù),且N＞M,a i和b j為濾波器的權(quán)值系數(shù)。

從式(1)可以看出,在對輸入序列和輸出序列進行延時后,通過加權(quán)和相加運算即可得到IIR 濾波后的輸出序列。

通過z變換之后,可得

因此,IIR 數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)

IIR 濾波器設(shè)計實質(zhì)上是尋找一組權(quán)值參數(shù)a i和b j,使其性能滿足預定的設(shè)計技術(shù)要求。

1.2 FIR 數(shù)字濾波器

FIR數(shù)字濾波器是對N個采樣數(shù)據(jù)執(zhí)行加權(quán)和平均的處理,其差分方程為

式中:h(n)為濾波器的單位沖激響應(yīng)。通過z變換之后,可得FIR 數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)為

2 LMS自適應(yīng)濾波器設(shè)計

2.1 基本原理

在工程中,一般無法掌握信號和噪聲統(tǒng)計特性。此時,自適應(yīng)濾波技術(shù)在不需要輸入信號先驗知識的前提下,能夠獲得極佳的濾波性能,因而具有很好的應(yīng)用價值,由參數(shù)可調(diào)的數(shù)字濾波器和自適應(yīng)算法組成,其原理如圖1所示。

輸入信號x(n)通過參數(shù)可調(diào)數(shù)字濾波器后產(chǎn)生輸出信號y(n),將其與期望信號d(n)進行比較,形成誤差信號e(n)。自適應(yīng)濾波器的權(quán)值系數(shù)依據(jù)誤差信號e(n),采用選取的自適應(yīng)算法反復調(diào)整,使輸出信號y(n)無限接近期望信號d(n)。濾波器系數(shù)權(quán)值更新通過自適應(yīng)濾波算法實現(xiàn),計及x(n)、d(n)、e(n),通過選取的算法對濾波器的權(quán)值系數(shù)進行迭代更新,獲得新的權(quán)值系數(shù),實現(xiàn)對未來信號的自適應(yīng)處理,能夠使濾波器的輸出趨向于d(n) 。常用的算法準則為最小均方誤差準則,由此產(chǎn)生對應(yīng)的自適應(yīng)濾波技術(shù)為LMS自適應(yīng)濾波器[7]。

2.2 計算方法

LMS算法通過最小均方誤差準則實現(xiàn),通過動態(tài)調(diào)節(jié)權(quán)值系數(shù)使濾波器的輸出信號y(n)與期望響應(yīng)信號d(n)之間的均方誤差E[e2(n)]最小。為求解該最小優(yōu)化問題時,LMS算法采用隨機梯度下降算法,在每次迭代時濾波器的權(quán)值矢量沿著梯度的負方向進行更新。倘若要得到精確的梯度矢量,需要知道信號的自相關(guān)矩陣R =E[x(n)xT(n)]和互相關(guān)矩陣P=E[d(n)x(n)],必須根據(jù)已有數(shù)據(jù)對梯度矢量進行估計。

LMS算法的關(guān)鍵技術(shù)是通過單次采樣的平方誤差代替均方誤差,即e2(n)替換E[e2(n)],達到簡化梯度估計的目的。一般情況下,LMS自適應(yīng)濾波器采用橫向濾波器結(jié)構(gòu),其計算原理如圖2所示。

假設(shè)n時刻的輸入信號向量表達式為

式中:M為濾波器階數(shù),為固定值,根據(jù)具體需求確定。

濾波器權(quán)向量的計算方法為

則實際輸出信號的計算方法為

n時刻參考信號d(n) 與實際輸出信號間的誤差e(n) 計算方法為

LMS算法采用x(n) 與d(n) 的特定關(guān)系,不斷改進自適應(yīng)濾波器權(quán)系數(shù),使均方誤差達最小化,達到最優(yōu)濾波的目的。設(shè)誤差平方為

則均方誤差定義為

式中:P為原始信號和參考信號互相關(guān)矩陣,P=E[d(n)x(n)];R為參考信號自相關(guān)矩陣,R =E[x(n)xT(n)]。

對均方誤差求w(n) 的導數(shù)

并令式(12)中梯度向量為0,經(jīng)求解可得到使代價函數(shù)最小的濾波器權(quán)值系數(shù)

將式(13)帶入到均方誤差中得到使其成立的最小均方誤差為

最陡下降算法通過控制權(quán)值沿著均方誤差最小的梯度方向移動,即

式中:μ為自適應(yīng)算法步長。由于自相關(guān)矩陣R和期望信號互相關(guān)矩陣P難以獲取,因此最陡下降算法在自適應(yīng)濾波環(huán)節(jié)中不常使用。LMS算法通過瞬時平方誤差e2、R和P的瞬時估計值估計梯度向量。R和P的瞬時估計值為

梯度向量的瞬時估計值為

權(quán)值更新公式為

為使算法收斂,步長μ應(yīng)滿足

式中:λmax為輸入信號X(n)=[x(n),x(n-1),…,x(n-M +1)]T自相關(guān)矩陣的最大特征值。

通過不斷迭代權(quán)系數(shù)w(n)變化,最終趨近于最優(yōu)解,使實際輸出信號y(n)與參考信號d(n)的誤差接近0。

3 算例分析

3.1 LMS濾波器應(yīng)用及效果

含有次同步振蕩(SSR)歸一化后的電流波形數(shù)據(jù)如公式(20)所示,各變量參數(shù)值如表1所示。

設(shè)置LMS濾波器的階數(shù)M=15,步長參數(shù)μ=0.005。經(jīng)LMS濾波器后的波形數(shù)據(jù)和頻譜、以及采用輸出誤差隨迭代次數(shù)所表示的學習曲線如圖3所示。

圖3 LMS濾波器應(yīng)用的效果

3.2 參數(shù)變化影響分析

3.2.1 步長參數(shù)μ

圖4顯示了在相同的濾波器階數(shù)M =15下,步長參數(shù)μ=0.000 1、0.001、0.05、0.5時,LMS濾波后的時域波形圖和學習曲線。

圖4 步長參數(shù)μ 對LMS濾波器性能的影響

由圖4可見,步長參數(shù)μ對收斂速度、跟蹤速度、穩(wěn)態(tài)誤差等指標影響作用明顯。步長參數(shù)μ過小,會使算法收斂的很慢,且濾波效果不佳。適當較小的步長參數(shù)μ(如圖4 的μ=0.001 和0.05),盡管收斂速度不快,但會獲得較小的穩(wěn)態(tài)誤差從而提高算法的精度,對于時變系統(tǒng)來說較小的步長參數(shù)μ也會導致跟蹤速度減小。此時可適當提高步長參數(shù)μ來提高濾波器的跟蹤速度,會帶來較大的穩(wěn)態(tài)誤差,降低算法的精度。但是,步長參數(shù)μ不宜過大(如圖4 的μ=0.5),會造成LMS濾波算法的不穩(wěn)定,導致不能實現(xiàn)濾波的目標。因此,需要根據(jù)實際應(yīng)用場景,選取合適的步長參數(shù)。

3.2.2 濾波器階數(shù)M

將步長參數(shù)設(shè)置為μ=0.05,改變LMS濾波器階數(shù)M=3、15、25、35,圖5顯示了LMS濾波后不同階數(shù)的時域波形圖和學習曲線。

圖5 濾波器階數(shù)M 對LMS濾波器性能的影響

由圖5可知,當濾波器階數(shù)M過小或過大時,均不能很好地對噪聲進行有效抑制。只有當自適應(yīng)濾波器的階數(shù)與噪聲通道的傳遞函數(shù)F(z)的階數(shù)一致時,才能有效地抑制噪聲。而當濾波器階數(shù)小于F(z)階數(shù)時,輸入通道的噪聲將無法與參考通道的噪聲抵消,會導致最小均方差變大;當濾波器階數(shù)大于F(z)的階數(shù)時,會引起失調(diào)變大。因此,只在濾波器階數(shù)等于F(z)階數(shù)情況下,自適應(yīng)濾波器性能最佳。

3.2.3 信噪比

將步長參數(shù)設(shè)置為μ=0.05,LMS濾波器階數(shù)設(shè)置為M=15,改變信噪比RSN的數(shù)值,分別為20 dB、10 dB、0 dB、-10 dB,圖6顯示了LMS濾波后的時域波形圖和學習曲線。

圖6 信噪比R SN對LMS濾波器性能的影響(M=15)

由圖6可見,當信噪比降低時,LMS算法的性能將急劇惡化。進一步地,嘗試增加濾波器階數(shù)M=25時,RSN=20 dB、10 dB、0 dB、-10 d B,圖7顯示了LMS濾波后的時域波形圖和學習曲線。

圖7 信噪比R SN對LMS濾波器性能的影響(M=25)

由圖7可見,增加濾波器階數(shù)并不能帶來濾波效果的改善。因此,當信噪比降低時,需考慮采用其他的濾波方法。

4 結(jié)論

LMS算法具有算法簡單、易于實現(xiàn)、復雜度低,能夠抑制旁瓣效應(yīng)的優(yōu)勢。本文闡述了LMS濾波器基本原理,通過算例,分析了步長參數(shù)、濾波器階數(shù)、信噪比變化對LMS 濾波器收斂速度、系統(tǒng)跟蹤速度和穩(wěn)態(tài)誤差等指標的影響,得出其變化規(guī)律,對于處理同步相量測量單元采集數(shù)據(jù)具有重要作用。

LMS算法進一步可以應(yīng)用于新能源寬頻振蕩風險評估、儲能系統(tǒng)荷電狀態(tài)估計、變壓器局部放電監(jiān)測等領(lǐng)域。此外,LMS算法具有收斂速度快、穩(wěn)定性高、結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)勢,在需要干擾對消的軍事、醫(yī)療、科研生產(chǎn)等領(lǐng)域,均具有廣泛的應(yīng)用前景,例如天線陣列旁瓣對消、雷達干擾對消、降低設(shè)備電源干擾等。