非比尋常的骰子

揚(yáng)州市職業(yè)大學(xué) 林 革

大家都見過骰子，就是在一個小正方體的六個面上分別刻上1、2、3、4、5、6 個點。擲骰子游戲就是用一顆或兩顆骰子隨意拋擲，比較誰擲得的點數(shù)大。這種由運(yùn)氣決定的游戲源于古代中國，后來傳到了西方，常常被用來決定先后順序或獎勵歸屬。

值得一提的是，西方熱衷于此道者久而久之竟然玩出了數(shù)學(xué)名堂。他們開始琢磨兩顆骰子擲得的和數(shù)的規(guī)律，這樣竟然發(fā)現(xiàn)了傳統(tǒng)骰子的不足和缺陷。首先，兩顆骰子所能表達(dá)的數(shù)目非常有限，僅僅是2～12 這幾種（請試著寫出全部情形），所以不能滿足較多人同時游戲的需要；其次，2～12 中每個數(shù)字出現(xiàn)的機(jī)會不均衡。如兩顆骰子擲出7 的情形有：1+6=7，2+5=7，3+4=7，4+3=7，5+2=7，6+1=7 這六種；而擲出12 的情況只能是6+6=12 這一種。直觀解釋就是，用兩顆骰子擲出7 的幾率大約是擲出12 的六倍。就此而言，用骰子決定自己的點數(shù)，雖然隨機(jī)但卻不公正。

鑒于此，西方人開始琢磨如何改進(jìn)傳統(tǒng)的骰子，使其更加合理公平。后來還真有了結(jié)果，那就是由英國業(yè)余天文學(xué)家阿里斯發(fā)明的“傷心骰子”。“傷心骰子”也是兩顆，但它所能表達(dá)的和數(shù)卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了老式骰子。最有趣也是最關(guān)鍵的是，對于所有可能出現(xiàn)的和數(shù)結(jié)果，“傷心骰子”擲得的機(jī)會完全相等，真正做到了“一碗水端平”。

“傷心骰子”的設(shè)計是：在第一顆骰子的六個面上，分別刻有1、2、7、8、13、14 個點；而在另一顆骰子的六個面上，則分別刻著1、3、5、19、21、23 個點。你也許暫時不能看出如此設(shè)計的意圖，那不妨列舉出兩顆骰子可能擲出的點數(shù)：1+1=2，2+1=3，1+3=4，…，14+1=15，13+3=16，14+3=17，13+5=18，14+5=19，1+19=20，…，13+23＝36，14+23＝37。瞧，從2 到37 一個不多一個不少，而且是傳統(tǒng)骰子得到數(shù)目的三倍多。可以想象，“傷心骰子”因其較多的變化玩起來會更有趣。

也許有人會問：為什么要叫“傷心骰子”呢？原來，當(dāng)時阿里斯的女朋友背叛了他，由于此人的姓名與“正方形”有關(guān)，所以阿里斯竟遷怒于一切除1 之外的完全平方數(shù)，如4、9、16、25……在設(shè)計“傷心骰子”時，他決定骰子的各面上絕不出現(xiàn)這些“正方形數(shù)”，至于兩顆骰子點數(shù)之和則不受此約束。顯然，有了這樣的前提，“傷心骰子”的構(gòu)造就更加困難，所幸化悲痛為力量的阿里斯最終如愿以償，“傷心骰子”由此得名面世。

而另一種“神算骰子”就更為另類。之所以說它特別，一是它由五顆特殊的骰子組成；二是每顆骰子上面刻的是一些三位數(shù)：（1）483、285、780、186、384、681；（2）642、147、840、741、543、345；（3）558、855、657、459、954、756；（4）168、663、960、366、564、267；（5）971、377、179、872、773、278。游戲很簡單，就是把這五顆骰子隨便一擲，表演者頃刻之間就能報出面朝上的五個數(shù)之和。

計算的神速讓人驚訝之余產(chǎn)生好奇，不過其中的竅門極為直觀：（1）首先將五顆骰子面朝上的數(shù)的末位數(shù)字相加得K；（2）用50 減去K，得到差（50-K）；（3）將所得之差（50-K）置于數(shù)K 之前（如果K 是個位數(shù)就在它前面添一個0），得到的四位數(shù)就是所求結(jié)果。

比如：擲得骰子朝上的數(shù)分別是483、147、855、663、278，它們的末位數(shù)字相加為3+7+5+3+8=26，再 由50-26=24，則 所 求五數(shù)之和為2426。再如：擲得骰子朝上的數(shù)分別是780、840、954、960、773，它們的末位數(shù)字相加為0+0+4+0+3=7，再由50-7=43，則所求五數(shù)之和為4307。有興趣的同學(xué)不妨計算驗證結(jié)果的正確性。

也許有人追問：如此計算組合，結(jié)果雖然無誤，可道理是什么呢？下面我們就揭開“神算骰子”的面紗。

我們可以將第i（i=1，2，3，4，5）顆骰子上的六個數(shù)中的任一個寫為十進(jìn)制形式：100ai+10bi+ci，而稍加觀察就可以發(fā)現(xiàn)：（1）每顆骰子上六個三位數(shù)的十位數(shù)相同，分別是8、4、5、6、7；（2）每顆骰子上六個三位數(shù)的首尾兩數(shù)之和相同，分別是7、8、13、9、10。用字母表示就是：

了解了這些，你很快就可以推出五顆骰子上各任取一個三位數(shù)的和不過就是：

最后的算式正是“神算”的玄機(jī)：只要口算出各個骰子面朝上的數(shù)的末位數(shù)字之和K，然后用50 減去K，把差擴(kuò)大100 倍再加上K，這等同于把差（50-K）放在K 或0K（K 為個位數(shù)）之前。

現(xiàn)在你明白了吧？所謂的“神算骰子”不過是利用恒等變形進(jìn)行的易于操作的數(shù)學(xué)游戲而已！