對一道橢圓聯考題的深度探究

付增民

(永康市第一中學,浙江 永康 321300)

三點共線問題是數學中的重要題型之一,而圓錐曲線中的三點共線問題則是高考及各地模擬考試考查的重點,如2021年新高考Ⅱ卷的第20題考查的就是以橢圓為載體的三點共線充要條件的證明[1].

1 考題呈現

(1)求橢圓C的方程;

2 考題解析

解析(1)設橢圓C的焦距為2c(0

解得a2=3,b2=1.

(2)從充分性和必要性兩個方面進行證明.

必要性:若M,O,N三點共線,不妨設A(x0,y0),M(x1,y1),N(-x1,-y1).

又因為A(x0,y0),M(x1,y1)都在橢圓C上,

①

②

①②兩式相減,得

充分性:設A(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),則

①

②

①②兩式相減,得

所以A(x0,y0),M′(-x1,-y1),N(x2,y2)三點共線.

又因為點M′(-x1,-y1)在橢圓上,所以點M′(-x1,-y1)與點N(x2,y2)重合,顯然點M(x1,y1)與點M′(-x1,-y1)關于原點O對稱,

所以弦MN過原點O,即M,O,N三點共線.充分性得證.

點評該聯考試題題意簡明,解答思路清晰,主要考查直線與橢圓的位置關系,考查分析問題和解決問題的能力.(1)根據題意,利用待定系數法求得橢圓的方程;(2)從充分性和必要性兩個方面,運用“設而不求”“點差法”和“對稱性”等手段,利用斜率關系進行證明,體現解析幾何問題的本質就是將幾何問題轉化為代數問題,通過代數運算研究幾何圖形性質,圖形問題代數化是解析幾何的本質.

3 考題溯源

(1)求橢圓C的方程;

點評上面聯考題與該高考題本質上可謂如出一轍,第(1)小題所求橢圓方程相同,第(2)小題的設問形式和背景一致.這就啟示我們在高考復習教與學的過程中重視“回歸”,即回歸到對往年高考真題的深層次挖掘和研究,并將這樣的“回歸”貫穿復習備考的始終.

4 考題變式

若將上述聯考題第(2)小題證明的充要條件分別按充分條件和必要條件來命題,可有下面的兩個變式.

(1)求橢圓C的方程;

(1)求橢圓C的方程;

若將上述聯考題中的橢圓類比到雙曲線,則有:

(1)求雙曲線C的方程;

解析(1)設C的焦距為2c(0

解得a2=3,b2=1.

(2)從充分性和必要性兩個方面進行證明.

必要性:若M,O,N三點共線,不妨設A(x0,y0),M(x1,y1),N(-x1,-y1).

又因為A(x0,y0),M(x1,y1)都在雙曲線C上,

③

④

③④兩式相減,得

充分性:設A(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),

③

④

③④兩式相減,得

所以A(x0,y0),M′(-x1,-y1),N(x2,y2)三點共線.

又因為點M′(-x1,-y1)在雙曲線上,所以點M′(-x1,-y1)與點N(x2,y2)重合,顯然點M(x1,y1)與點M′(-x1,-y1)關于原點O對稱,

所以弦MN過原點O,即M,O,N三點共線.充分性得證.

同橢圓一樣,若將變式3第(2)小題證明的充要條件分別按充分條件和必要條件來命題,可有下面的兩個變式.

(1)求雙曲線C的方程;

(1)求雙曲線C的方程;

5 推廣延伸

我們能否將上述聯考題及與雙曲線的類比變式題推廣、延伸到有心圓錐曲線的一般情形呢?回答是肯定的!現延伸到橢圓和雙曲線的一般情形,推廣得到一般性命題.

類比橢圓的結論可以得到雙曲線的相應結論.

兩個命題的證明可以按照上述聯考題及與雙曲線的類比題的證明過程分別進行,這里從略,有興趣的讀者不妨自行完成.

許多典型的數學問題,其中蘊含的背景或規律需要挖掘或推廣延伸,因而我們平時的解題:一是要重視問題的變式,通過變式去從“變”的現象中發現“不變”的本質,從“不變”中探求規律;二是適宜地將問題推廣延伸為一般性的結論用于解決相關問題.唯有如此,才能逐步培養學生靈活多變的思維品質,提高其數學核心素養,培養其探索精神和創新意識,從而真正把對能力的培養落到實處.