求代數(shù)式的最值的解題策略

田素偉

(上海市泥城中學(xué),上海 201300)

求代數(shù)式的最值問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中的一類(lèi)非常重要的問(wèn)題,在求某些代數(shù)式的最值時(shí),特別是對(duì)于“知和求和型”求最值,對(duì)于解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是合理選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?在這類(lèi)問(wèn)題中如果能正確利用權(quán)方和不等式會(huì)起到事半功倍的效果,下面通過(guò)具體例題說(shuō)明權(quán)方和不等式在求最值問(wèn)題上的解題策略[1].

1 直接利用權(quán)方和不等式求最值

解析由權(quán)方和不等式,得

利用權(quán)方和不等式求最值時(shí)的一般步驟:

第一步:先看分式的分母之和是不是定值,分子之和是不是定值,若不是定值,能否通過(guò)變形后使之變成定值;

第二步:使用權(quán)方和不等式公式,讓分子的指數(shù)比分母大1即可;

第三步:檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件.

解析因?yàn)橐阎猘>0,b>0,

所以2a+b+4≥12.

所以2a+b的最小值為8.

分析通過(guò)變形再利用權(quán)方和不等式求最值.

解析由a+2b=2可得a=2-2b.

解析因?yàn)?a+b=3,

2 通過(guò)權(quán)方和不等式再利用換元和重要不等式求最值

3 與三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題求最值

評(píng)析本題利用權(quán)方和不等式求最小值,簡(jiǎn)單明了,可以起到事半功倍的效果.

4 與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的求最值

又因?yàn)?0.

評(píng)析本題還可以先用換元法再利用基本不等式求解,但是計(jì)算量比較大.

分析先求函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性,再根據(jù)f(a)+f(3b-1)=0,得a+3b=1,最后根據(jù)權(quán)方和不等式求最值.

所以f(x)=-f(-x).

所以f(x)為奇函數(shù).

因?yàn)閒(a)+f(3b-1)=0,

所以f(a)=f(1-3b).

所以a=1-3b.

即a+3b=1.

評(píng)析易錯(cuò)點(diǎn)是利用權(quán)方和不等式求最值時(shí),要注意必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件,若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值,這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.

5 與數(shù)列有關(guān)的問(wèn)題求最值

解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則q>0.

由a3=a2+2a1可得q2-q-2=0.

因?yàn)閝>0,所以q=2.

所以m+n-2=4.可得m+n=6.

由已知m,n∈N*,

6 與向量有關(guān)的問(wèn)題求最值

分析先根據(jù)三點(diǎn)共線,求出m+2n=1,再利用權(quán)方和不等式求最值.

所以m+2n=1.

以上各題都是對(duì)于“知和求和型”求最值,是以不等式、三角、數(shù)列、向量為載體,實(shí)際上還是考查不等式性質(zhì)的應(yīng)用,可以轉(zhuǎn)化為“1”的應(yīng)用來(lái)考查基本不等式,但是如果熟練掌握利用權(quán)方和不等式求最值,可以簡(jiǎn)化計(jì)算,使解題變得簡(jiǎn)單.