圓錐曲線的性質及推廣運用

翁其明

(福建省平潭嵐華中學,福建 福州 350400)

解析幾何的重要內容就是圓錐曲線,并用代數的方法解決此類問題,也是高考數學考查的重難點,本文將從三個方面來闡述圓錐曲線的性質并做到舉一反三.

1 圓錐曲線的性質

1.1 橢圓

(1)概念:平面內的任意一點M到兩個固定的點F1,F2的距離之和等于常數(大于|F1F2|)的點的運動軌跡,有|MF1|+|MF2|=2a.

1.2 雙曲線

(1)概念:平面內的任意一點P到兩個固定的點F1,F2的距離之差等于非零常數(小于|F1F2|)的點的運動軌跡,有||PF1|-|PF2||=2a,其中由分子x2,y2對應的分母的正負確定焦點的位置.

1.3 拋物線

(1)概念:平面內到定點F和定直線l(不經過點F)的距離相等的點的運動軌跡,其中焦點的位置由一次項對應的變量決定.

(2)標準方程:y2=2px(p>0)(焦點在x軸正半軸),y2=-2px(p>0)(焦點在x軸負半軸),x2=2py(p>0)(焦點在y軸正半軸),x2=-2py(p>0)(焦點在y軸負半軸).

2 圓錐曲線的性質應用

2.1 求解三角形面積問題

圖1 例1圖

解析設|PF1|=r1,|PF2|=r2,

①

②

①2-②,得2r1r2(1+cosα)=4(a2-c2).

解析依據定義有|PF1|-|PF2|=2a=2.

由|PF1|∶|PF2|=3∶2,

得|PF1|=6,|PF2|=4.

又|F1F2|2=(2c)2=4×13=52,

所以cos∠F1PF2=0.即PF1⊥PF2.

2.2 求解離心率問題

例3如圖2,橢圓上的點P和左焦點F1,右頂點A和上頂點B,當PF1⊥AF1,PO∥AB時,求橢圓的離心率.

圖2 例3圖

因為PO∥AB,所以kPO=kAB.

圖3 例4圖

解析由題知A(a,0),B(0,b),F(-c,0),

因為AB⊥BF,所以kAB·kBF=-1.

利用b2=a2-c2,代入消掉b2,得

c2+ac-a2=0.

2.3 求解圓錐曲線的最值問題

例5如圖4,已知拋物線方程y2=4x,焦點為F,定點A(5,3),若點P在拋物線上運動,則|AP|+|PF|的最小值為____.

圖4 例5圖

解析點P在準線上的射影為D,由已知得|PF|=|PD|.

所以|AP|+|PF|=|AP|+|PD|.

即當D,P,A共線時,|AP|+|PF|取得最小值.

拋物線的準線方程為x=-1,

所以|AP|+|PD|=|AD|=5-(-1)=6.

所以(|AP|+|PF|)min=6.

解析設A(x1,y1),則由橢圓的對稱性得B(-x1,-y1).

則S△ABF=S△AOF+SBOF

=|OF|·|y1|.

因為|y1|≤b,所以S△ABF≤bc.

所以(S△FAB)max=bc.

2.4 圓錐曲線光學性質的應用

圖5 例7圖

(1)求證:|F1P|·|F2P|為定值

(2)求P1,P2的軌跡方程

解析(1)設Q為切點,由橢圓光學性質得∠F1QP1=∠F2QP2,設為α,則

|F1P1|=|F1Q|sinα,|F2P2|=|F2Q|sinα,

所以|F1P1|·|F2P2|=|F1Q|·|F2Q|sin2α.

又∠F1QF2=180°-2α,則在ΔF1QF2中,|F1F2|2=|F1Q|2+|F2Q|2-2|F1Q|·|F2Q|cos(180°-2α)=(|F1Q|+|F2Q|)2-2|F1Q|·|F2Q|(1-cos2α)=(2a)2-2|F1Q|·|F2Q|[1-(1-2sin2α)]=4a2-4|F1Q|·|F2Q|sin2α=4a2-4|F1P1|·|F2P2|.

則4|F1P1|·|F2P2|=4a2-|F1F2|2=4a2-4c2=4b2.

所以|F1P|·|F2P1|=b2為常數,即為定值[2].

(2)設點O在CD上的射影為點M,則OM是直角梯形F1F2P2P1的中位線,于是有

在Rt△OP1M中,|OP1|2=|MP1|2+|OM|2

同理|OP|2=a2.

所以F1,F2的軌跡是以O為圓心,a為半徑的圓,方程為x2+y2=a2.

綜上,本文共闡述了四大類解決圓錐曲線的相關問題,此類解題方法幫助學生加強對圓錐曲線的學習,并能更加有效地幫助學生打開解決此類問題的思路.