從高考題中探究比較大小的方法
——以2022年新高考Ⅰ卷第7題為例

周福運(yùn)

(南京體育學(xué)院附屬學(xué)校,江蘇 南京 210014)

比較大小是高考中常考常新的一類問題,近幾年常以選擇題壓軸題呈現(xiàn).這類問題往往將指、對、冪形數(shù)等混在一起,進(jìn)行排序.通常具有題干簡潔,立意新、角度新、解法靈活多樣等特點(diǎn),能多方面多角度考查考生分析問題、解決問題的能力.

1 試題再現(xiàn)

A．a(chǎn)

分析比較大小一直是一個熱門的考查形式.因?yàn)闂l件簡單,只需要三個數(shù)字,但是能很好地考查考生對于函數(shù)和不等式的理解.處理這類型問題的方法有:單調(diào)性法、作差(商)法、中間值法等.但對于不同類型(如指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù))且數(shù)值大小差距較小并且數(shù)值也較小的比較,常規(guī)的方法就不能很好地解決了.因此我們需要尋求一些其他方法來解決這類問題,比如構(gòu)造函數(shù)、放縮、泰勒展開等.

2方法探究

2.1 構(gòu)造函數(shù)

純數(shù)字比大小問題一般帶有函數(shù)背景,需要找尋數(shù)字間的關(guān)系,利用構(gòu)造函數(shù)解決此類問題是我們常用的方法.

2.1.1比較a,b的大小

則u3(x)在x∈(0,1)上單調(diào)遞減,u3(x)

評析本解法同思路1的解法.這里的變形僅提取x,剩下的函數(shù)求導(dǎo)分析單調(diào)性雖然相對較麻煩,需要進(jìn)行兩次求導(dǎo),但是處理的方法也是通性通法,需要考生掌握,熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)對函數(shù)進(jìn)行分析.

2.1.2比較b,c的大小

所以u(t)在(0,1)上單調(diào)遞減.

則u(t)>u(1)=0.

所以當(dāng)x∈(0,1)時G(x)=g(x)-h(x)>0.

2.1.3比較a,c的大小

解析設(shè)H(x)=f(x)-h(x)=xex+ln(1-x)(0

所以a>c.

本題雖然是構(gòu)造函數(shù)的常規(guī)處理,但考場上需要三次構(gòu)造函數(shù),并且需要多次求導(dǎo),對考生的要求很高.今后備考中,仍需要求學(xué)生注重函數(shù)解決不等式問題的處理方法,并且在運(yùn)算過程中注重等價變形,往往變形會得到奇效[1].

2.2 常見不等式放縮

上述構(gòu)造函數(shù)求解時,會發(fā)現(xiàn)a,c的大小比較求導(dǎo)一次是不能處理的,需要二次求導(dǎo),很多同學(xué)可能就沒有了勇氣.而這個問題對于積累了很多經(jīng)典不等關(guān)系的同學(xué)來說,可能會簡單一些,這里利用一些關(guān)于指數(shù)對數(shù)的經(jīng)典不等式也可以求解,但這就對同學(xué)們的復(fù)習(xí)質(zhì)量提出了更高要求.

③ex≥x+1,當(dāng)x=0時取等;

綜上所述,c

評析此解法中對于①④不等式,一般考生不是太熟悉,下面給出簡單解釋.

c

2.3 泰勒展開

對于不同類型指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)等的數(shù)值,當(dāng)比較大小差距特別小的數(shù)值時,單調(diào)性法、中間值等常規(guī)的方法就不太夠用,通過構(gòu)造函數(shù)一般可以解決,但是技巧性要求相對較高,并且運(yùn)算量也較大.那么在考生學(xué)有余力的情況下,就可以讓學(xué)生掌握像泰勒展開這種高精度大小的方法.泰勒展開式的作用之一就是估算,通過估算比較相近數(shù)的大小.近幾年高考題中都有出現(xiàn)比較大小的題目,在人教版和蘇教版新教材的三角函數(shù)章末習(xí)題中都介紹了泰勒展開式,并給出了sinx,cosx的展開式.因此,對于部分考生來說,有必要了解泰勒展開式及其應(yīng)用.

為了方便記憶,可以把上述公式記為:

常見的麥克勞林展開式:

綜上,c

2.4 二項(xiàng)式定理

有沒有不需要記憶泰勒展開公式的估算方法可以解決此題呢?由此,我們對三個數(shù)值的大小比較進(jìn)行適當(dāng)變形,發(fā)現(xiàn)數(shù)的高次冪,從而想到可以用二項(xiàng)式定理進(jìn)行估算.

因此可得c

評析本解法主要是把數(shù)的大小比較進(jìn)行等價變形,發(fā)現(xiàn)變形后的數(shù)值可以使用二項(xiàng)式定理進(jìn)行估算,從而找出數(shù)的大小關(guān)系.遺憾的是此法對于a,c的大小關(guān)系不適用.但是此法仍然給考生以后的解題提供了一個方向[2].

在新高考、新課標(biāo)、新教材、新評價的全新理念下,國家要選拔適應(yīng)社會發(fā)展的高素質(zhì)、高質(zhì)量人才,對學(xué)生素養(yǎng)要求越來越高.開展學(xué)科素養(yǎng)教學(xué)與跨學(xué)科教學(xué),讓學(xué)生深度學(xué)習(xí),在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力上真正地提高.本題的構(gòu)造函數(shù)法就是最好的體現(xiàn).

泰勒展開方法的應(yīng)用則突出了新高考的選拔要求,試題要適度關(guān)注高中與高校關(guān)聯(lián)的課程內(nèi)容,體現(xiàn)高中教育與高等教育的過渡和銜接.學(xué)有余力的考生,可以適當(dāng)理解掌握,更好地為高層次人才選拔服務(wù).