關于三點共線向量式的教學與解題探討

王加成

(陜西省白河高級中學,陜西 安康 725801)

高考中,通過考查向量間的相互表示可考查學生對向量的加、減、數乘運算的掌握情況,亦可考查學生對平面向量基本定理、共線向量定理的理解程度.此時,緊抓基底能解決相關的問題,但遇到三點共線向量時,使用三點共線向量式解題會更為簡便.

在人民教育出版社A版2019年6月第1版數學必修第二冊教課書26頁中有如下一道例題:

圖1 三點共線圖

筆者看到本題,很是熟悉,與北京師范大學出版社2014年7月第8版數學必修四第84頁例3屬于同一道題(僅僅字母變了,題意一樣,結論一樣).旁注里寫到:“例3給出了判斷三個點共線的一個方法”.

在人民教育出版社B版2020年7月第一版數學必修第二冊教課書第155頁也有一道相似的例題.

在不同版本的新老教材中均出現此題目,筆者認為此題想說明以下兩個道理.

道理1從直線外一點指向同一條直線上不同三點的三個向量,可用任意兩個向量線性表示另一向量,且系數之和為1.

道理2若三個向量共起點,一個向量可用其余兩個向量線性表示,且系數之和為1,則這三個向量的終點共線.

但是教材上給的題目較為抽象,如何讓學生體會到編者的用意?成為了教學中要考慮的一個問題.為此,筆者學習了參考文獻[1],文中探尋了教材根源,對三點共線向量式有所拓展,并通過舉例說明了拓展的應用,文獻[2]闡述了利用線段定比分點解決三點共線問題,并通過例題說明相關知識的應用.兩文均未提及教材中的該例題,也未提及學生如何理解熟記該公式,亦未提如何經濟實惠使用該公式.由此,筆者對本題產生了以下疑惑與思考,不妥之處,敬請各位老師和讀者朋友斧正[1][2].

筆者認為在講解本題之前,讓學生探究以下三個問題,會更利于理解上述例題的含義,更容易明白例題所想表明的道理.

圖2 問題1圖

圖3 問題1解法2圖

通過問題1、問題2、問題3的探究,學生會發現道理1,那么這個道理是必然還是偶然?我們再將問題抽象,即自然生成課本上的例題.此時,學生就能用問題1中的“解法1”來求解課本上例題,從而發現道理1是正確的.學生能否利用“解法2”來構造出相應的平行四邊形呢?筆者認為對大部分學生而言依然有難度,仍需教師的鼓勵指點(如圖4).但是此時的學生已理解課本上例題想說明的兩個道理,也更會使用相關的結論.

圖4 道理2解釋圖

學生可利用向量的相互表示及共線向量判定定理證明如下:

由此,可以說明道理2也正確.

圖5 人教A版39頁練習3

解得m+n=2.

因為N,O,M三點共線,

消λ并化簡,得m+n=2.

A.3m-2nB.-2m+3n

C.3m+2nD.2m+3n

解析如圖6,因為BD=2DA,

圖6 2022年新高考Ⅰ卷第3題圖

故選B.

三點共線向量式雖由向量共線定理衍生,但在解決共線問題更有優勢,其本質是線段的定比分點問題.我們在教學時讓學生從特殊到一般,逐步發現、體會三點共線的向量式會更利于學生掌握相關知識,通過有梯度的少數例題即可能達到熟練運用,從而擺脫題海.