立體幾何解題中的物理操作

魯和平

(浙江省嘉善第二高級中學,浙江 嘉興 314100)

立體幾何中很多問題的解決,不僅僅需要直觀想象、邏輯推理、定量計算,而且還依賴各種不同“動作”的特殊的物理操作.這樣就能很好地實現從空間向平面的轉化,使問題變得更加直觀、清晰.

1 剪開

很多空間幾何體都是封閉的固體.但我們也可以把它視作空心的透明體,對于“纏繞”類的最值問題,可以設想沿某一方向用剪刀剪開,再將各個面拉平,成功完成從空間到平面的轉化,再在同一平面上研究,問題就迎刃而解[1].

圖1 例1圖 圖2 例1展開圖

解析將三棱錐沿棱VA剪開,再分別拉平,使△VAB,△VBC,△VCA在同一平面內(如圖2),則l△AEF=AE+EF+FA′≥AA′.

因為∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°,

所以∠AVA′=120°,∠VAA′=∠VA′A=30°,AA′=2VA·cos30°=6.

故截面△AEF的最小周長為6.

2 旋轉

對于翻折問題以及空間動點的軌跡問題,通常要從平面角度與空間角度兩方面綜合思考,把靜態問題轉化為動態的旋轉問題.關鍵要找到旋轉的軸與母線.通常得到的旋轉體以圓錐、圓柱、球居多.

圖3 例2圖 圖4 點M軌跡圖

3 焊接

對于單個的獨立的空間幾何體中的幾何元素的位置關系,有時很難辨別清楚.如果我們進行等大添加,形象地稱為“焊接”,則思路馬上豁然開朗.

例3如圖5,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E為C1D1的中點,求異面直線B1D與CE所成角的余弦值.

圖5 例3圖 圖6 例3解析圖

解析如圖6,在正方體ABCD-A1B1C1D1右旁焊接一個等大的正方體BCMN-B1C1M1N1,則DB1CN1.

故異面直線B1D與CE所成角即為∠ECN1.

4 展平

在處理一類“線段和”的最值問題時,即把兩個具有公共邊的平面展平,使兩平面共面,再根據三角形三邊的關系即可得解.

例4如圖7所示,在單位正方體ABCD-A1B1C1D1的面對角線A1B上存在一點P,使得AP+D1P取得最小值,則此最小值為( ).

圖7 例4圖 圖8 例4解析圖

例5如圖9,點M是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中的側面ADD1A1上的一個動點(包括邊界),當點M在DD1上運動時,求MA+MB1的最小值.

圖9例5圖 圖10 例5解析圖

解析如圖10,將平面BDD1B1拉至與平面ADD1A1共面.

5 補形

有些幾何體放在狹小的空間里,很難厘清關系,如果我們將狹小的幾何空間加以擴充補形,就會迅速發現幾何元素之間內在的聯系.

例6如圖11所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=1,點D是AB的中點,求異面直線AC1和BC所成角的余弦值.

解析如圖12,將正三棱柱ABC-A1B1C1補形為直四棱柱AMBC-A1M1B1C1,則BC∥AM.故∠C1AM即為異面直線AC1和BC所成角或補角.

6 鑲嵌

將有些較小的簡單的幾何體放置在一個較大的規則幾何體中,這樣原先隱藏的幾何關系就一目了然.

例7如圖13,在三棱錐A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,M,N分別為AD,BC的中點,求異面直線AN,CM所成角的余弦值.

圖13 例7圖 圖14 例7解析圖

解析如圖14,將三棱錐A-BCD鑲嵌在長方體中,則ANME,故∠CME即為所求角.

由AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,得

7 投影

將幾何體向同一平面進行投影,是實現空間向平面轉化的重要方法.投影后原先較為零散的幾何元素都可集聚在同一三角形內,給定性分析帶來極大的便利.

圖15 例8圖 圖16 例8解析圖

A.α>β>γB.α>γ>β

C.γ>α>βD.γ>β>α

解析題中所涉及的二面角都與三棱錐F-OEB1有關.設點F在平面OEB1上的投影為點H,易證點H在BD的中垂線OO1上(如圖16).

易得二面角F-OB1-E,F-OE-B1,F-EB1-O的平面角,而這三個二面角的平面角所在的直角三角形的直角邊FH相同,故二面角的大小問題可等價轉化為點H到二面角F-OB1-E,F-OE-B1,F-EB1-O的棱的距離d1,d2,d3的大小問題[2].