三點共線時線段長度乘積的計算策略

朱賢良

(長沙市周南梅溪湖中學,湖南 長沙 410205)

文章先從一道解析幾何中的經典問題的求解說起.

1 轉換視角:簡單題中也有大智慧

例1 如圖1,過點M(2,1)作一直線l分別與x軸、y軸的正半軸相交于A,B兩點,求|MA|·|MB|的最小值.

圖1 例1圖

在學習直線的方程知識時,我們常選用本題來引導學生選擇合適的直線方程進行解題.本題的求解思路是先設出直線的方程,得出A,B兩點的坐標,再根據兩點間距離公式得到乘積|MA|·|MB|,最后求得最小值.具體解法如下:

解析設直線l的點斜式方程為

y-1=k(x-2)(k<0),

比如本題中,

學過直線的參數方程后,我們還常利用參數t的幾何意義來解決線段的長度問題,這樣就有了下面的解法:

將坐標軸所在曲線方程寫成xy=0,

將其與直線l聯立可得

(2+tcosα)(1+tsinα)=0.

綜觀上述問題的不同求解思路,我們不難將三點共線時線段長度之積問題的破解方法歸納為以下三種:

(1)兩點間距離公式法:先求出兩點的坐標,或是“設而不求”,再借助兩點間距離公式計算距離.這也是解決長度問題的通法,求解時要注意恰當借助兩點間距離公式的“2.0版本”來減少運算量.

(2)向量數量積法:三點共線時,兩個向量數量積的絕對值與其模的乘積相等,由此將線段長度之積轉化為向量的數量積問題.

2 應用舉例:心中若有法,難題亦無憂

掌握了以上三種方法,即使是面對模考與高考中的壓軸題,也可以從容應對、泰然處之.

(1)求橢圓C的方程;

圖2 例2圖

解法1 (兩點間距離公式法)

故MN的方程為

再設M(x1,y1),N(x2,y2),

由兩點間距離公式可知,

解法2 (向量數量積法)

①當切線MN的斜率不存在時,同解法1.

②當切線MN的斜率存在時,

=(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)

解法3 (參數方程法)

將直線MN的方程與橢圓C的方程聯立,得

(1)求C的方程;

圖3 例3圖

對于第(2)問,涉及T,A,B三點共線、T,P,Q三點共線時的線段長度之積|TA|·|TB|與|TP|·|TQ|,依次采用前述三種方法進行求解:

解法1 (兩點間距離公式法)

結合兩點間距離公式,可得

又因為|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,

由題知k1≠k2.所以k1=-k2.

即直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

解法2 (向量數量積法)

同解法1得

以下同解法1[2].

解法3(參數方程法)

(16cos2α-sin2α)t2+(16cosα-2msinα)t-(m2+12)=0.

由參數的幾何意義可知

再設直線PQ的傾斜角為β,同理可得

依題意,得

則cos2α=cos2β.

即cosα=-cosβ.

故α+β=π.

從而直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0[4].

3 解題啟示:小題大做、發散思維是提高解題能力、學好數學的重要途徑

解題是數學學習的重要方面,從某種意義上說,數學能力的高低可以直接通過解題水平的高低表現出來.正如著名數學教育家波利亞所說的那樣,“掌握數學就意味著善于解題.”因此,在高中數學學習中首要的目標是必須學會思考,掌握分析問題、解決問題的思維方式,提升思維品質.

日常學習過程中,通過小題大做來發散思維就是加深對數學思想和方法領悟的一個好方法.當我們遇到一些簡單的小題時也會有不一樣的靈感,感覺從不同途徑入手都能解決問題.這往往意味著問題背后有著豐富的背景,此時我們不應放過這份靈感,而應該更加深入地去思考,進行一些探究式、發散式的學習.小題大做的目的就在于利用發散思維打通不同知識模塊之間的壁壘,又或者完成從特殊到一般的延展.這樣主動學習一個小問題所帶來的解題能力乃至數學水平的提升,可能遠遠超過對一份試卷的機械刷題.

解題是提升數學能力的手段,而不是數學學習的目的.解題活動不能是只求量不求質的刷題行為,解題一旦變成了簡單的重復勞動,就意味著低效甚至無效.讓我們的解題學習過程變得主動起來,讓思維的運轉更加活躍起來,才是提高思考和解決問題能力的有效途徑.