滲透模型思想 提高解題能力
——以一次函數問題為例

周清波

(南安市柳城中學,福建 泉州 362300)

初中數學的教學目標是引導學生掌握基礎知識和基本技能,掌握數學思想方法,積累基本活動經驗,培養學生的數學核心素養,促使其更好地適應未來社會的發展需求.一次函數是初中數學教學的重點,在課堂教學中,教師需注重滲透模型思想,體現數學知識的應用意義與價值,讓學生學會構建數學模型,能夠站在數學的角度對問題進行思考與解決,從而提高學生應用數學知識分析問題和解決問題的能力.

1 模型思想概述

1.1 數學模型

數學模型是針對參照某種事物系統的特征或數量依存關系,采用數學語言,概括或近似地表述出的一種數學結構,這種數學結構是借助數學符號刻劃出來的某種系統的純關系結構.數學模型有著廣泛內涵,相關數學概念、公式、算法等都屬于數學模型范圍.由于初中生自身的認知水平、理解能力相對比較差,因此,在具體教學時,教師需注重數學模型的構建,也就是依據相關數字、字母或數學符號構建相應的關系式、代數式、方程式等數學模型.

1.2 模型思想

從數學產生與發展的角度作出的思考,則是數學思想.在數學知識學習時,呈現的思維特征也屬于數學思想.模型思想作為數學思想的重要組成部分,其主要指對實際問題進行描述時,所用到的數學概念及數學公理.在數學課堂教學中,教師需注重培養學生的模型思想,促使學生深刻理解數學知識和其他事物的聯系.

2 在一次函數解題中滲透模型思想的策略

2.1 滲透模型思想,解決經濟問題

例1 已知有兩種理財產品供投資者選擇,第一種:中國銀行銷售一種五年期國債,其年利率是2.63%;第二種:中國人壽保險公司推出一種分紅型保險,投資者要上交10 000元(10份)保費,且保險期是5年,在五年以后,能獲得本息為10 486.60元,還能獲得紅利,但分紅金額并不是固定的.

(1)請寫出購買國債的金額x和五年以后銀行所支付的本息和y1之間的函數關系;

(2)求分紅型保險的年利率,并找出支付保費x和五年以后保險公司應支付的本息和y2之間的函數關系;

(3)請分析選擇哪種理財產品更合算.

解析(1)依據題意可知,一年的年利率是2.63%,買國債花費了x元,即y1=(1+5×2.63%)x.

(3)兩種方法均投資10 000元,第一種:購買了五年的國債,y1=(1+5×2.63%)x=(1+5×2.63%)×10 000=11 315元;第二種:購買了五年的保險,y2=(1+5×0.97%)x=(1+5×0.97%)×10 000=10 486.6元.兩者之間的差是y1-y2=11 315-10 486.6=828.4元,因此,當保險的分紅超過了828.4元的時候,買保險才能更有利.

2.2 滲透模型思想,解決購買問題

例2 某服裝廠要生產種領帶與西裝,且西裝的每一套定價是200元,每一條領帶的定價是40元,廠家進行促銷活動,提供給客戶兩種方案:

(1)購買一套西裝,送一條領帶;

(2)西裝與領帶都按照定價90%進行付款;

某個商店的老板需要到服裝廠買20套西裝,x(x>20)條領帶,請你幫助老板選擇最優惠的購買方案,并說明理由.

解析設第(1)種方案共付款y1元,第(2)種方案共付款y2元,則

y1=40x+3 200,y2=36x+3 600.

當y120,所以20

當y1=y2時,即40x+3 200=36x+3 600,所以x=100.即當x=100時,第(1)種方案與第(2)種方案的一樣省錢;

當y1>y2時,即40x+3 200>36x+3 600,所以x>100.即當x>100時,選擇第(2)種方案更加優惠.

若同時選擇(1)(2)兩種方案,想要獲得廠家贈送更多的領帶,則能設計出第(3)種方案,即先依據方案(1)買20套西裝,獲得20條贈送的領帶,剩余的(x-20)條領帶,再依據第(2)種方案進行購買,其花費為200×20+(x-20)×40×90%=(36x+3 280)元.顯然,第(3)種方案比第(2)種方案更加優惠;第(3)種方案和第(1)種方案相比,當36x+3 280<40x+3 200時,可求解出x>20,即x>20時,第(3)種方案比第(1)種方案更加優惠[1].

2.3 滲透模型思想,解決運輸問題

例3 某果蔬公司需將不容易存放的水果由A市銷售至B市,現有三個運輸公司提供了相應的運輸方案,詳見表1.

表1 運輸公司的運輸方案

(1)如果乙、丙兩家公司包裝、裝卸、運輸的總費用為甲公司2倍,求A、B兩市的距離是多少?(精確到1);

(2)如果A、B兩市距離是s千米,這批水果在包裝、裝卸、運輸中會有300元/小時的損耗,想要使果蔬公司花費的總費用最低,選擇哪家公司進行運輸最合適?

由于s>0,因此,y2>y3是恒成立的,即對比y1與y3的大小即可.由y1-y3=-2s+1 100,易得

①當s<550時,y1>y3,且y2>y3,所以,丙公司是最佳選擇;

②當s=550時,y2>y1=y3,此時,甲公司或者是丙公司是最佳選擇;

③當s>550時,y2>y3>y1,此時,甲公司是最佳選擇.

2.4 滲透模型思想,解決信息收費問題

例4 某市的寬帶上網按流量收費,即依據網上接收與實際發送信息量進行收費,其收費標準是:月租費是75元,贈送了900M流量,也就是每月的流量在900M之內,是不收費的,而超出了900M的時候,則按照超出的部分進行分段收費,其規定是:流量低于400M的時候,每M的收費為a元,超出400M的時候,不超出的部分則每M收費a元,超出的部分每M收費c元,某個單位的4、5月上網流量及費用詳見表2.

表2 某單位4、5月上網流量及費用表

(1)求a,c值;

(2)設單元某個月上網用的流量是x(M),費用是y(元),請寫出流量超過1300M的時候,請寫出y和x的函數關系式.

解析(1)依據題意,可得方程組

(2)流量使用超過1 300M,即x>1 300的時候,y=0.1(x-1 300)+75+400×0.2=0.1x+25,因此,y=0.1x+25(x>1 300)[2].

2.5 滲透模型思想,解決水產品加工問題

例5 某水產品養殖與加工廠一共有工人200名,每名工人每天可平均捕撈水產品50 kg,或者將當日捕撈到的水產品40 kg實施精加工.現已知出售每千克水產品能夠獲得6元的利潤,當精加工以后再出售時,每千克能獲得18元利潤,設每天有x名工人對水產品實施精加工.

(1)求每天進行水產品精加工獲取利潤y元和x之間的函數關系;

(2)若每天精加工水產品與沒有進行精加工水產品均能銷售完,怎樣安排生產能夠使其獲得最大利潤?最大利潤為多少?

解析(1)y=720x(0≤x≤200,x為整數).

(2)設每天獲得的利潤是W元,易得

W=180x+60 000.

因為W為x的一次函數,k=180>0,所以W隨著x的增大而逐漸增大.又因為x是整數,所以當x=111時,其利潤最大,W最大=180×111+60 000=79 980元.

綜上所述,通過以上實例可以發現,在對應用類問題解決時,其關鍵就是滲透模型思想,構建相應的一次函數模型,并通過自變量的取值范圍,求出相應的最值.這類問題與實際生活相貼近,更注重考查基礎知識以及基本技能,通過應用數學知識解決相關實際問題,能夠有效提高學生運用所學知識分析問題和解決問題的能力.