優化數學知識體系 提升數學核心素養
——以一節二輪中考專題復習課為例

夏 鳴

(常熟市海虞初級中學,江蘇 常熟 215500)

中考總復習是初中數學學習的重要環節,與新授課的學習有很大的區別.在中考復習階段,學生已基本掌握了基礎知識和基本技能,初步具備了一定的數學知識體系和數學核心素養,總復習是學生對初中數學知識的再一次深入學習.復習的目的是讓學生在復習過程中,對所學知識進行整合,優化數學知識體系,并且在復習過程中,發展學生用數學眼光觀察現實世界的能力,力求提升學生的數學思維能力和數學核心素養.本文以二輪復習專題課“圓中銳角三角函數問題”為例,談談在教學過程中如何優化數學知識體系,提升數學核心素養.

中考數學總復習中,一輪復習通常按教材順序對初中階段的主要知識點進行縱向梳理,重點在于整合教材,幫助學生構建完整的初中數學知識體系.二輪復習通常以專題復習為主,立足課本知識,結合中考試題,注重知識結合,所以二輪復習的重點應發展學生思維能力,培養學生分析問題和解決問題的能力,從而達到優化數學知識體系,提升數學核心素養的目的.“圓中銳角三角函數問題”是兩種知識相結合的一節專題課,以圓為載體,研究銳角三角形函數問題,本節課從三個基礎題引入.

1 知識激活,梳理數學知識體系

問題1 如圖1,⊙O的直徑AB為10,AC為弦,且AC=8,則sin∠BAC=____;

圖1 問題1圖 圖2 問題2圖 圖3 問題3圖

問題2 圖2是由邊長為1的小正方形組成的網格,點A,B,C都在格點上,以AB為直徑的圓經過點C、D,則tan∠ADC=____;

以三道圓中的銳角三角函數問題為例,引出本節課所研究的復習內容,同時給出了三個基本圖形,第1題構造直徑所對的圓周角是直角,即構造了直角三角形;第2題不僅需要構造直角三角形,同時還需將所求角轉換成直角三角形中與之相等的圓周角;第3題本身就是在一個直角三角形中,只是已知銳角三角函數值,求線段長度,除了已知元素和求解元素不同,其基本思想相同,同時可稍作延伸,求線段BD長度的方法不唯一.

由此可以發現,在本節課中學習,學生需激活并梳理圓與銳角三角函數兩個知識體系,但其實質是在圓中找到直角三角形這一基本圖形.圓作為一種比較特殊的圖形,在圓中比較易于構造直角三角形和轉換相等的角.在初中階段,要運用銳角三角函數解決問題,必須將銳角置于直角三角形中.基于此,本節課的基本思想是構造和轉換,基本圖形是直角三角形.

2 知識運用,發展學生數學眼光

圖4 例1題圖

例1作為知識運用,是知識激活的延伸,是對基本思想和基本圖形的鞏固,進一步強調基本思想是構造和轉換,即既要構造直角三角形,又要將已知銳角∠BAC轉換到所構造的直角三角形中,基本圖形即為構造的直角三角形.

例1的目的是培養學生用數學的眼光觀察現實世界,即培養學生抽象能力、幾何直觀、空間觀念和創新意識,從而使學生能在復雜圖形中構造出基本圖形,進而運用所學知識解決問題.初步構建解決問題的基本數學知識體系,整合已有知識體系,如圖5所示.

圖5 圖中銳角三角函數知識體系

3 思維拓展,培養學生數學思維

例2 如圖6,已知△ABC內接于⊙O,D為AB延長線上一點,過點D作⊙O的切線,切點為E,DE∥BC,連接BE,CE,AE.

圖6 例2題圖

(1)求證:△ACE∽△EBD;

(2)若AC=9,BD=4,求BE的長度;

例2是例1的提升,與例1相比,其綜合性更強,需要用到更多的知識,同時也不能從題設條件直接找到解決問題的方法,只能從已知題設入手,引導學生用數學的思維思考現實世界,即培養學生運算能力、推理意識和推理能力,通過題設條件進行有效推理,從單個條件這一“條件點”,推理得出結論形成“結論線”.

如圖7所示,例2共有4個條件:①DE是⊙O的切線;②DE∥BC;由于圓的特殊性,還有2個隱藏條件:③四邊形ABEC內接于⊙O;④同弧或等弧所對的圓周角相等.由條件可知,解決本題主要用到三個知識:圓、平行線、直角三角形.第(1)問證三角形相似,涉及相似三角形知識,需找角相等或邊成比例,上述結論中角相等較多而沒有對應邊成比例,因此必然找兩角對應相等,得到兩三角形相似;第(2)問是第一問的延伸,由相似三角形得到比例關系即可,因此關鍵即找到BE與CE關系,從上面結論來看,必然由切線這一條件入手;第(3)問是例1的延伸,易于解答.

圖7 結論線圖

由于單個條件是孤立的,通過推理得到“結論線”,再將多個結論有效串聯起來,這種串聯不是簡單地堆砌,需要圍繞同一目標,形成解決問題的基本知識體系.學生在解決問題過程中,形成“點→線→面”的數學思維模式,構建“知識面”,初步形成解決問題的數學知識體系,并在解決問題的過程中進一步整合數學知識體系,培養數學思維,提高解題能力,提升數學核心素養.

4 綜合應用,強化數學語言表達能力

例3 如圖8,AB為⊙O的直徑,D是弧BC的中點,BC與AD、OD分別交于點E,F.

圖8 例3題圖

(1)求證:DO∥AC;

(2)求證:DE·DA=DC2;

本題是2019年蘇州中考第26題,主要涉及圓、平行線、相似三角形、銳角三角函數、勾股定理、二次根式等知識,涵蓋了初中三年所學數學知識,其綜合性較強,限于篇幅,求解過程從略.

本題是一道以圓為基本圖形的綜合題,題目給出的題設條件也很少,只有2個,即①AB為⊙O的直徑,②AB為⊙O的直徑.學生只能從這兩個條件即兩個“點”出發,進行推理分析形成“線”,得到更多信息,前兩問難度較低,基本上由“點”到“線”即可解決問題.第(3)問已知圓中銳角三角函數值,求圓中另一個角的三角函數值,方法也較多,但實質還是要將銳角放到直角三角形中才能解決.因此,只要緊抓本節課的主題:解決圓中銳角三角函數問題的基本思想是①構造直角三角形,②將所求角轉換成與之相等的其他角,甚至是這兩種思想相結合.同時,在解決問題的過程中可以發現,直角三角形中線段長度都是未知的,不方便求解,所以需要設線段長度才能解決問題.由此可以發現,將“線”串聯成“面”的過程中,也需要一些基本圖形、基本思想方法甚至基本運算方法等“粘合劑”,從而更好地優化數學知識體系,提升解題能力.

在教學過程中,教師不僅可引導學生總結歸納基本數學圖形、基本數學方法等,也可以將思維圖形化,利用數字和圖形的直觀性,將數學知識直觀地展現在學生眼前,這樣更有利于學生對數學的學習、理解和記憶.數學是一門系統學科,是由許多單獨的知識點系統化整合得到的數學知識體系.在教學過程中,教師應幫助學生建立數學知識體系.數學知識體系不僅包括數學知識,還應將基本數學思想體系、常用數學方法體系、數學基本圖形體系等納入整個數學知識體系,從而優化數學知識體系.數學核心素養是在數學學習過程中逐漸形成和發展的,不同學段發展水平不同.教師應在每一節數學課的教學中,逐步發展學生的數學眼光,培養學生的數學思維,讓學生學會用數學語言表達現實世界,從而達到提升學生數學核心素養的目標.數學知識體系的構建和學生核心素養的形成都需要經過漫長的過程,學生具備了一定的數學知識體系和數學核心素養以后,還需進一步進行學科內部的融合,甚至是跨學科的融合,因此學生還需不斷地學習,進一步優化知識體系,提升核心素養.