抓住轉化 以不變應萬變

王奇彥

(昆山市實驗中學,江蘇 蘇州 215300)

數學思想是數學教學的精髓,培養學生的抽象思維和推理能力是初中數學課程的核心目標.在教學過程中,長期滲透數學思想,才能收到良好的教學效果.本文以初中數學教學內容為載體,淺談筆者在教學中培養學生轉化思想的幾點體會.

1 在知識體系建構中滲透數學思想方法

數學教材中的概念、法則、公式、性質等知識都是有“形”的,而數學思想方法卻隱含在數學知識體系里,是無“形”的,關鍵是教師如何去發現、發掘教材中蘊含的思想方法.轉化思想作為最活躍、最常用的數學思想方法,在數學教學中進行推廣是必須的[1].

古往今來,數學知識從來都不是孤立存在的,而是一脈相承、緊密聯系的.數學知識和數學思想方法又是密不可分的,后者附著于前者而存在.初中生掌握的知識比較零散,初中數學教學更要幫助學生建構思維體系,學會進行數學思考.筆者在教學過程中注重學生思維體系的構建,注重學生解決問題策略的多樣化,并滲透轉化的數學思想方法.

例如,在用“邊邊邊”證明三角形全等的教學中,筆者讓學生根據已知條件畫出相應的三角形,教師在觀察學生作品的同時,提出問題:“我發現大家畫的三角形的大小和形狀都非常接近,是不是一樣的呢?”請部分學生看看其他同學所畫的三角形,回答老師的疑問,答案是肯定的.

另外,筆者請學生思考:采用什么方法可以說明大家畫的三角形是全等的呢?學生暢所欲言,有的說采用“邊角邊”的方法證明,有的說采用“角邊角”的方法證明,有的說采用“角角邊”的方法證明,也有的說利用疊合法,把幾位同學的三角形剪下來,看能否完全重合來判斷全等.對以上這些方法,教師應充分肯定和重點說明.之后,師生共同總結利用“邊邊邊”證明三角形全等的方法,完成證明過程的書寫,初步形成對本知識點的建構.最后,提問學生:“剛才我們探究三角形全等的判斷條件‘邊邊邊’的證明方法時采用了怎樣的數學方法呢?”學生舉手發言,師生共同總結出運用了轉化法、歸納法以及演繹推理等數學思想方法.

通過這樣的教學活動,學生有效掌握了數學基礎知識和基本技能,提升了其合作交流、主動探索的能力,學生的思維體系不斷建構和完善,學生有能力發散性地思考問題,交流數學知識背后的數學思想方法.將證明“兩個能夠完全重合的三角形稱為全等三角形”轉化為只要證明“兩個三角形三邊對應相等”即可,將實際情況可能無法操作的定義轉化為方便可行的判定定理.這就是轉化思想的魅力之處.當然,轉化不是解決數學問題的唯一方法,上述案例中還蘊涵了其他的思想方法.

2 化難為易——蘊涵在反比例函數中的“數”與“形”的轉化

恩格斯指出:數學是研究數量關系和空間形式的科學.初中生的抽象思維還不夠完善,在解決反比例函數與其他知識相結合的綜合性數學問題時,教師應嘗試用形象思維幫助學生理解與分析問題,在“數”與“形”的轉化中,完成對此類問題的探究.

圖1 例1題圖

教學中,學生讀完題目后,感覺無從下手.以下是筆者的教學實錄和體會.

教師:本題求什么?

學生1:k.

教師:k是什么?

學生2:反比例函數的比例系數.

教師:同學們之前是怎么求的?

學生3:已知反比例函數圖像上一點的橫、縱坐標或滿足反比例函數解析式的一組x和y的對應值.

教師:一定要知道x與y各是多少嗎?還是知道某種關系就可以了?

學生4:不一定,因為反比例函數的第三種表達式是xy=k,只需求得一組x與y的積即可.

教師:其他同學贊同嗎?其他學生表示贊同.

通過提問逐步啟發,學生明白了k的值等于符合反比例函數解析式的一組x與y對應值的乘積,將求k的問題轉化成了求一組x與y對應值乘積的問題,這是求解本題的關鍵之一.

教師:同學們能從題設中看出什么隱含的條件?

學生5:由AO=AB可知△ABO是等腰三角形.

學生6:△ABO的面積為12,為利用這一條件,需作△ABO的高.求三角形的面積需要作高.

學生7:點D是AB的中點,想到過點A作△ABO的高,過點D作x軸的垂線段DE,分別交x軸于點C和E.教師板書添加輔助線,如圖2所示.

圖2 添加輔助線后的圖形

教師:這樣添輔助線能幫助我們解決問題嗎?

3 實際問題數學化,在轉化中增強學生的數學應用意識

《義務教育數學課程標準(2022年版)》在基本理念中指出:“數學是人們生活、勞動和學習必不可少的工具,能夠幫助人們處理數據、進行計算、推理和證明,數學模型可以有效地描述自然現象和社會現象.”重視數學知識的應用,加強數學與實際的聯系,是其強調的重點之一.在解決實際問題時,教師要引導學生重在分析,把實際問題轉化為數學模型,培養學生應用數學知識解決實際問題的能力[2].

例2 某氣球內充滿了一定量的氣體,當溫度不變時,氣球內氣體的氣壓P(kpa)是氣體體積V(m3)的反比例函數,其圖像如圖3所示.

圖3 例2題圖

(1)你能寫出這個函數的解析式嗎?

(2)當氣球內的氣壓大于140 kpa時,氣球將爆炸,為了安全起見,氣體的體積應不小于多少?

在本題的探討中,學生看到題設就知道是反比例函數.有學生能準確地說出圖像是比例系數k>0時,反比例函數圖像位于第一象限的一支曲線.學生自然將其與反比例函數這一數學模型聯系在了一起.

教師:第一問怎么求?

教師:為什么這樣代入點A的坐標求出的k就是反比例函數的比例系數?

學生1:因為點A在反比例函數的圖像上,它的橫、縱坐標是滿足解析式的一組x與y的對應值.

教師:你們覺得呢?學生表示贊同.

教師:第二問有沒有關鍵詞,應該怎么做?

學生2:問題中含有“大于”“不小于”兩個關鍵詞,用不等式解決.

教師:其他同學跟他想法一樣嗎?有學生贊同.

教師:大家自己試著求一求.

學生3:按照題設列出的是不等式,還沒有學過.其他同學也遇到了困難.

教師:如圖3,y表示氣壓,從圖像上看,“氣壓大于140 kpa”表示哪一段函數圖像呢?體積呢?

學生4:從圖像上看,“氣壓大于140 kpa”表示縱坐標大于140 kpa時對應的部分函數圖像,即圖中所畫水平直線上方的部分函數圖像.為了安全,氣體的體積應該不小于水平直線與反比例函數圖像交點的橫坐標.

師生共同得出,水平直線與反比例函數圖像交點的橫坐標就是題目要求的安全體積的最小值.教師引導學生總結將實際問題轉化為數學問題,用數學知識解決實際問題的思維過程,如圖4所示.

圖4 解決實際問題的基本思維過程

本案例中,學生與教師共同探討,交流互動,遇到困難時能迎難而上,探尋正確的方法.最后還能總結實際問題與數學問題之間的關系,豐富了學生數學學習的維度,讓學生經歷數學交流與反思的過程,總結轉化的數學思維方式,逐步建構起數學思維體系,將數學知識真正運用于實際生產生活中.

正如著名的數學家喬治·波利亞所云:“完善的思想方法猶如北極星,許多人通過它而找到正確的道路.”在平時教學中,我們要努力挖掘數學知識中所蘊涵的轉化思想及其它數學思想,把握運用數學思想解決問題的機會,增強學生主動運用數學思想的意識,提高學生的數學能力,提升學生的數學素養,促進學生的全面發展.