DCM模擬中基于OPSA方法的參數敏感性分析

高永麗, 王際朝, 孫國棟, 張 坤, 姜向陽, 王 寧

DCM模擬中基于OPSA方法的參數敏感性分析

高永麗1, 王際朝1, 孫國棟2, 張 坤3, 姜向陽4, 王 寧4

(1. 中國石油大學(華東), 山東 青島 266580; 2. 中國科學院大氣物理研究所, 北京 100029; 3. 中國科學院海洋研究所, 山東 青島 266071; 4. 山東省海洋資源與環境研究院, 山東 煙臺 264006)

深層葉綠素最大值(deep chlorophyll maximum, DCM)現象是海洋與湖泊中普遍存在的生態現象。對其進行數值模擬時, 參數不確定性是導致模擬結果出現誤差的重要原因。基于一個經典海洋生態模式(nutrients-phytoplankton model, NP), 本文通過最優參數敏感性分析(optimization parameter sensitivity analysis, OPSA)方法探討了模式參數不確定性對DCM模擬的影響。研究表明, 背景場渾濁度、垂向湍流擴散系數、浮游植物營養鹽含量和硝酸鹽再循環系數為模式中的敏感參數, 它們的擾動將導致DCM模擬發生顯著改變。進一步, 設計觀測系統模擬試驗評估了消除敏感參數誤差DCM模擬的改進程度。結果顯示, 去除4個敏感參數誤差DCM模擬平均改進了56.83%, 約是去除不敏感參數誤差平均改進程度(4.51%)的13倍。而且, 去除敏感參數誤差模擬改進的穩定性更好, 變異系數僅為9.44%, 去除不敏感參數誤差模擬改進的變異系數達到了14.76%, 穩定性較差。據此, 可優先發展與敏感參數直接相關的動力過程參數化方案, 或在有限的觀測資源下優先對敏感參數展開目標觀測, 進而為提高DCM模擬與預測提供科學指導。

DCM; 參數敏感性; 最優擾動; OPSA方法; 目標觀測

在海洋、湖泊等大部分水體中, 葉綠素垂向分布的最大值并不出現在水體表面, 而是出現在水面下一定深度的地方[1], 這就是DCM(deep chlorophyll maximum)現象。早在1965年, Yentsch[2]就發現在印度洋相對穩定的水體結構中, 物理與生物的耦合作用使得浮游植物在真光層底部出現最大值。隨后, 更多研究證實了該現象在其他大洋、湖泊, 甚至混合作用較弱的河口區也普遍存在[3]。DCM現象體現了浮游植物對光和營養鹽的適應性, 研究DCM現象對探究海洋生態系統的結構與功能具有十分重要的意義, 因此一直是國內外海洋生態動力學領域關注的熱點之一[4-5]。

隨著高性能計算的快速發展, 數值模式逐漸成為海洋環流及海洋生態動力學研究的重要工具[6-7]。與觀測相比, 數值模擬結果通常存在偏差。其中, 模式參數誤差是導致模擬結果不確定性的主要原因之一。海洋生態模式中含有大量與描述物理、生物化學過程相關的參數。這些參數的預設值只有很少一部分是由實際觀測獲得, 其余大部分是通過經驗、半經驗或者統計方法得到的估計值, 因此具有較大的不確定性[8]。通過參數敏感性分析探究模式中參數不確定性影響到底如何, 識別相對敏感的參數, 并且集中有限的人力物力資源優先對敏感參數展開觀測, 對提高數值模擬技巧是非常重要的。

然而, 圍繞模式參數的敏感性分析是一個復雜的問題。早期研究中, 人們普遍使用的是數據同化方法, 例如非線性優化技術[9], 伴隨方法[10]和弱約束參數估計方法[11]等。此類方法通過調整參數值使得模式輸出與觀測數據的偏差達到最小, 并以此確定最優參數值。在此基礎上, 根據參數誤差與模式輸出變化之間的關系, 分析參數的敏感性。這些方法需要提供狀態變量和相關參數的初猜值, 且未能考慮參數間的相互作用, 因此具有一定的局限性。Chu等[12]發展了一種基于方差的非線性方法, 通過定義的敏感性指標刻畫了浮游植物生物量對12個模式參數的相對敏感性, 并利用二階敏感性指標分析了參數兩兩組合的非線性相互作用對模擬結果的影響。近年來, Mu等[13]基于對海洋模式中初始誤差的研究, 又提出了條件非線性最優參數擾動方法。該方法考慮了參數擾動間的非線性相互作用, 可識別那些在目標時刻對所關注的自然事件的模擬或預報產生最大影響的重要參數或參數組合[14-15]。

事實上, 在一些數值模式(特別是生態模式)中, 模式參數可能多達10~50個。在此情形下, 使用以上方法識別敏感參數, 并考察參數擾動間的非線性相互作用時, 將耗費相當大的計算量。為此, Wang等[16]提出了優化參數敏感性分析方法(OPSA), 該方法旨在辨別出“累計”影響都非常小的參數擾動(不敏感參數), 進而識別出相對敏感的參數。該方法在識別敏感參數時能大大節約計算資源, 目前已成功應用于黑潮延伸體模態轉變過程等研究[17]。

本文基于OPSA方法和經典海洋生態模式(nut-rients-phytoplankton model), 識別出四個相對敏感的參數, 并利用敏感性試驗驗證了去除敏感參數誤差確實能有效提高模擬技巧, 最后討論了基于敏感參數優先實施目標觀測的可靠性。

1 方法與模式介紹

1.1 OPSA方法

假設以()為狀態變量的數值模式如下:

()=M()(0) (1)

則去除擾動中參數p的擾動p(1≤≤)后,()的改變量如下:

假設擾動=(1,2, …,p)的約束范圍為ε, 構建如下最優化問題:

利用最優化算法, 如遺傳算法(differential evolution)、譜梯度算法(spectral gradient algorithm)等求解上述最優化問題, 即得導致模式誤差出現最大值J的一類參數擾動(p,p,…, p)。

接下來, 考察多個參數同時發生擾動引起的模式誤差。令:

則參數擾動p與p(1≤≤)導致的“聯合誤差”為:

類似地, 可定義三個或更多參數同時發生擾動導致的模式誤差。又因為:

, (8)

故:

由公式(9)可知, 考慮參數擾動間的非線性相互作用時, 任意兩個參數擾動導致的最大模式誤差一定不超過兩個單參數擾動引起的最大誤差之和。因此, 在用OPSA方法進行敏感性分析時, 只需求解針對單參數擾動構建的非線性優化系統, 多參數擾動導致的模式誤差可用相應單參數擾動導致的誤差累積來度量, 這就省去了優化多參數擾動的計算量, 大大節約了計算資源。

1.2 NP模式

NP模式是描述海洋生態系統動力過程的一維垂向數值模式, 不考慮物質的水平運輸, 常用來研究海洋和湖泊中浮游植物的垂向分布趨勢[18-19], 特別是DCM現象的模擬。Huisman等[20]在研究DCM振蕩與混沌現象時指出, 雖然NP模式只是一個理論模式, 但它呈現了許多與真實海洋環境中DCM現象一致的特征。例如, 模式模擬的DCM深度在100 m左右, 且DCM所在位置以上的營養鹽濃度接近于0、以下的營養鹽濃度是線性增加的, 這些表現與Klausmeier和Litchman對觀測資料的分析得出的結論是一致的[21]。因此, 雖然海洋生態系統的數值模式越來越呈現出復雜化的趨勢, NP模式仍然經常被用來研究葉綠素的垂向分布及其對物理過程的響應機制[22]。

在NP模式描述的非線性系統中, 浮游植物生長受到光的強度與營養鹽濃度的限制, 浮游植物()和營養鹽()的動力學過程滿足如下的一維反應擴散方程:

其中,代表水柱的深度,代表時間,代表垂向湍流擴散系數。和分別代表浮游植物死亡率和下沉速率,和分別代表浮游植物細胞的營養鹽含量和死掉的浮游植物參與營養鹽再循環的系數,H和H分別代表營養鹽和光的半飽和常數。諸參數值見表1。

表1 NP模式中的參數設置

另外, 來自太陽輻射的入射光在水面下的傳播滿足Lambert-Beer’s方程[4]:

其中,in代表入射光在水面的光強。

假設浮游植物和營養鹽在模式的上下邊界都沒有通量交換, 且營養鹽在水柱的底部保持不變:

此處,N表示營養鹽在水柱底部Z處的值, 本文中=10 mmol/m3。

2 參數敏感性分析

2.1 試驗設置

為了構建求解最優參數擾動的非線性優化系統, 首先進行以下試驗設置。

2.1.1 選取參考態

設定水柱的深度是300 m, 空間步長是0.05 m, 時間步長是0.1 h, 模式中所有參數值見表1。采用向前差分格式將NP模式的控制方程組[公式(10)]離散化, 并且積分20 a。

在積分時間超過8 a時, 模式達到平衡態。此時, 隨著表層營養鹽的消耗, 在水面下一定深度處,

圖1 一維NP模式中營養鹽和浮游植物的時空演變及系統達到平衡態后的垂直分布

來自水柱底部的營養鹽與來自水面的入射光達到平衡(圖1 a)。浮游植物在此大量繁殖, NP模式呈現出穩定的DCM特征(圖1 b)。圖1 c表明, 在平衡態下, 營養鹽從下往上逐漸擴散, 從DCM所在位置到水柱底部是線性增加的, 表層營養鹽幾乎接近于0。同時, 浮游植物生物量的最大值出現在水面下84 m, 浮游植物的生存區間主要集中在水面下50~ 150 m內(圖1 d), 這與許多研究中呈現的DCM模擬結果是一致的[14, 23]。可見, DCM現象是浮游植物對光和營養鹽適應性競爭的結果, 研究DCM現象對理解海洋生態系統動力過程有著極為重要的意義。為考察參數擾動引起的模擬誤差大小, 在下面的敏感性分析中, 將積分終止時刻的平衡態作為擾動的參考態。

2.1.2 擾動約束及目標函數

另外, 為了度量該擾動引起的DCM變化, 將水柱上各點浮游植物變化量的2范數定義為目標函數[參考公式(4)], 具體表達式如下:

其中,為水柱的深度。

2.1.3 閾值

在用OPSA方法進行參數敏感性分析時, 求解每個參數對應的優化問題[公式(5)]后, 可對所得的最大模擬誤差進行排序:1,ε≤2,ε≤…≤10,ε, 其中J,ε(1≤≤)為相應參數擾動在約束=0.1下所引起的最大目標函數值。接下來, 為了確定哪些參數較為敏感, 需要確定閾值。假設1,+2,+…J,≤,1,+2,+…J,+J,>(+1≤10), 則認為1,、2,…J,對應的參數擾動引起的模擬誤差的最大值仍然較小, 相應的參數被視為不敏感參數, 而J+1,、J+2,…10,對應的參數則為相對敏感參數。

由此可見, 閾值的選取對于用OPSA方法識別敏感參數是非常關鍵的。在實際應用中, 往往是根據所研究的具體問題來設置的。考慮到不同水體中的海洋生態系統, 浮游植物濃度有著較大差異[24]。且即使是同一水體中, 不同年份的同一季節, 因氣候和水文環境差異導致的浮游植物生物量也有很大不同[25]。當水體富營養化時, 還會出現浮游植物過量繁殖的水華現象, 這時浮游植物生物量可能達到平時的幾倍[26]。因此, 為了考察參數不確定性對DCM模擬的影響程度, 本文中假設水柱各點浮游植物生物量的變化最大不超過參考態的一倍, 則計算可得相應的目標函數值為8.441 2×108, 以此作為來判斷累計參數擾動引起的模擬誤差是否達到閾值。

2.2 最優化試驗

本節中的最優化試驗是如下設計的: 首先分別計算對所有參數全部疊加擾動以及在此基礎上逐一去掉其中某個參數擾動所對應的模擬誤差, 然后將二者的差作為目標函數, 對所有參數擾動進行優化(優化維數為10維), 即得到相應的最優擾動及最大模擬誤差。這里, 為了逐個求解每個參數擾動導致的最大模擬誤差, 共進行了10次優化試驗。

其中, 尋找使目標函數達到極大值的最優參數擾動, 需要求解非線性最優化問題[公式(5)]。為此, 選擇譜投影梯度算法[27](spectral projected gradient, SPG)。該方法除需要提供約束條件和目標函數外, 還需要目標函數關于參數擾動的梯度信息(根據梯度定義計算), 具體計算過程可參考文獻[28]。另外, 為使模式重新達到平衡態, 優化時間為3年。且考慮到NP模式在迭代500次左右已逐漸達到平衡態, 因此迭代次數設置為1 000次。

為考察單參數的敏感性, 求解最優化試驗所得的最優參數擾動見表2。其中, 參數3(浮游植物死亡率)的不確定性影響最大時, 各參數擾動全部位于約束邊界。其余參數對應的最優擾動中, 各參數擾動并沒有全部達到邊界值。由此可見, 多參數同時發生擾動引起的動力過程變化之間確實存在非線性相互作用。在進行參數敏感性分析時, 必須考慮這種非線性相互作用帶來的影響, 才能對非線性系統進行合理的量化分析。

表2 考察單參數敏感性所得的最優參數擾動

表3是求解上述優化試驗得到的目標函數值。可見, 參數1(硝酸鹽半飽和常數)的不確定性影響最小, 參數9(背景場渾濁度)的不確定性影響最大。各目標函數值的變化范圍從0.192到5.335, 最小值與最大值相差近30倍。因此, 在數值模擬中參數擾動的不確定性影響相差很大, 對它們進行敏感性分析, 從而確定最優參數化方案和觀測方案是非常有必要的。接下來, 將表3中的目標函數值按從小到大的順序進行排序(圖2 a), 依次為:1、4、10、2、3、8、5、6、7和9, 然后逐個進行疊加并與閾值比較。

表3 考察單參數敏感性所得的目標函數值

圖2 各參數的目標函數值及累加的(按從小到大的順序)目標函數值排序

注: 其中代表設定的閾值; (b)中橫軸刻度“…P”表示從前一參數對應的目標函數值累加到P對應的目標函數值

圖2 b表明, 參數1、4、10、2、3和8所對應的目標函數值累加后仍未達到給定的閾值, 即所允許的最大模式誤差。由公式(5)可知, 這6個參數同時發生擾動導致的模式誤差不超過它們各自擾動導致的模式誤差之和, 因此將這6個參數被視作相對不敏感參數。其他參數5(垂直湍流擴散系數)、6(浮游植物營養鹽含量)、7(硝酸鹽再循環系數)和9(背景場渾濁度)則為敏感參數。

事實上, 在海洋生態系統中, 垂直湍流擴散(5)除了對浮游植物的接觸率、攝食率和生長率有直接影響外, 還在很大程度上影響著營養鹽的輸送[7], 是對生態系統起著關鍵作用的物理過程。浮游植物營養鹽含量(6)與硝酸鹽再循環系數(7)則體現了系統中浮游植物死亡后營養鹽的再次利用。而背景場渾濁度(9)影響的是光的入射率, 反映了光對該生態系統的控制作用。可見, 敏感參數既包含物理參數, 又有描述生態動力過程的參數, 直接或間接影響著營養鹽和光這兩大海洋生態系統的主要因素, 在很大程度上影響著模擬結果的準確性。

2.3 觀測系統模擬試驗(observing system simulation experiment, OSSE)

在上一小節中, 通過優化得到相應的最優擾動及其所導致的最大模擬誤差, 并由此識別出敏感參數為5、6、7和9。那么去除敏感參數誤差, DCM模擬是否一定會得到改進, 具體改進程度如何呢？為此, 本小節將通過觀測系統模擬試驗(OSSE)來回答這一問題。

如圖3所示, OSSE試驗包含真值試驗, 控制試驗和同化試驗。具體地, 真值試驗即參數均未發生擾動時的DCM模擬(參考態); 對真值試驗中的10個參數疊加100組隨機誤差并計算由此導致的模擬偏差即為控制試驗; 最后計算去除其中部分參數誤差(敏感/不敏感)后的模擬偏差作為同化試驗。在此基礎上, 用下式度量DCM模擬的改進程度:

圖3 OSSE試驗設計圖

其中,1為控制試驗導致的模擬誤差,2為同化試驗導致的模擬誤差。此處, 共進行了兩組同化試驗, 包括去除敏感參數誤差和去除不敏感參數誤差(圖4)。這里,值為正表示去掉部分參數誤差后, DCM模擬得到了改進, 而值為負, 則可能是由參數擾動間的非線性相互作用導致的。若去除的部分參數誤差跟剩余的參數誤差之間是相互“抑制”的關系, 去除這部分參數誤差后, 導致的模擬結果就可能更差。

圖4 觀測系統模擬試驗結果

Fig. 4 Results of OSSE experiments: removing the perturbations sensitive/insensitive parameters

據圖4 a, 當去除敏感參數誤差時, 100組隨機試驗中有95組的DCM模擬都得到了改善, 且改善均值為56.83%; 當去除不敏感參數誤差時, 100組隨機試驗中只有64組的DCM模擬得到了改善, 改善均值僅為4.51%(圖4 b)。由此可見, 識別敏感參數后, 有針對性地去除敏感參數誤差, 確實能有效提高DCM模擬水平。

僅考慮模擬改進程度的大小, 不能保證去除敏感參數隨機誤差后DCM模擬一定會得到改善, 還需考察去除敏感參數誤差后模擬改進效果的穩定性。為此, 使用變異系數(coefficient of variation)進一步考察OSSE試驗所得兩組數據的相對離散程度, 公式如下:

其中,和分別為數據的標準差和均值。

由圖5, 去除敏感參數誤差所得DCM模擬的改進程度, 其變異系數為9.44%; 而去除不敏感參數誤差所得DCM模擬的改進程度, 其變異系數為14.76%。由此可見, 去除模式中敏感參數的誤差, 大多數情況下DCM模擬都得到了改進, 且波動較小, 變異系數也在合理的范圍之內。去除不敏感參數誤差, DCM模擬的改進則很有限, 變異系數已接近15%。因此, 先識別敏感參數, 再優先改進敏感參數誤差, 對于提高DCM模擬技巧是可靠的。

圖5 改進敏感/不敏感參數誤差所得深層葉綠素最大值模擬的變異系數

進一步, 將去除敏感/不敏感參數擾動的所得的浮游植物生物量垂向分布取均值, 考察DCM位置與強度的變化。由圖6a可見, 與疊加所有參數擾動相比, 去除敏感參數擾動后DCM位置與強度都發生了很大改變, 且已與參考態非常接近。而去除不敏感參數擾動后DCM并沒有較大變化(圖6b中紅線與藍線幾乎重合), 仍然遠離參考態。可見, 識別具有較大不確定性的敏感參數對于改進DCM模擬是非常重要的, 去除敏感參數誤差DCM模擬的改進非常明顯。這在含有大量參數尚未經由觀測明確的海洋生態數值模式中, 顯得尤為重要。

圖6 分別改善敏感參數誤差/不敏感參數誤差后, 浮游植物的垂向分布

3 結論與討論

本文基于OPSA方法探討了DCM數值模擬中的參數敏感性:

1) 求解所建立的非線性優化系統, 發現最優擾動中單個參數的擾動并不總是位于邊界上, 不同參數擾動間確實存在非線性相互作用。

2) 針對DCM模擬, 根據OPSA方法識別的不敏感參數為:1、4、10、2、3和8, 敏感參數為:5(垂直湍流擴散系數)、6(浮游植物營養鹽含量)、7(硝酸鹽再循環系數)和9(背景場渾濁度)。

3) OSSE試驗表明, 對模式參數疊加100組隨機擾動, 去除敏感參數擾動后有95組的DCM模擬都得到了改進, 平均改進程度為56.83%; 而去除不敏感參數擾動, 僅有64組的DCM模擬得到了改進, 平均改進程度僅為4.51%。因此識別敏感參數對改進DCM模擬有著重要意義。

次表層的浮游植物貢獻了水體中絕大部分初級生產力, 因此人們對浮游植物的垂向分布非常關注。在用數值模式對DCM現象進行數值模擬時, 參數擾動對模擬結果具有很大影響。基于OPSA方法識別的敏感參數為5、6、7和9, 這與使用條件非線性最優參數擾動方法(CNOP-P)識別的敏感參數組合是一致的[14]。三個直接影響營養鹽分布的參數(垂向湍流擴散、浮游植物營養鹽含量、硝酸鹽再循環系數)與光的限制參數(背景場渾濁度)是影響浮游植物垂向分布的最主要因素。本研究使用OPSA方法共求解了10次非線性優化系統(10維), 而使用條件非線性最優擾動方法則進行了210次最優化試驗(4維)才識別出四個敏感參數, 前者大大節約了計算量。事實上, 隨著數值模式復雜程度越來越高, 模式中參數個數也越來越多, 使用OPSA方法能以較小的計算量識別敏感參數的優勢將更加凸顯。

此外, OSSE試驗證實去除敏感參數擾動能更好地改進數值模擬技巧。因此, 一方面可借助參數敏感性分析優先發展與敏感參數直接相關的動力過程參數化方案, 有效節省計算時間與機時消耗。另一方面, 考慮到開展大范圍的海洋觀測往往消耗巨大, 也可基于參數敏感性分析識別的敏感參數, 利用有限的觀測資源優先對敏感參數展開觀測。這正是目標觀測的思想[29]。進而據此對模式進行校正, 可使其提供更好的模擬與預報。

作為中國三大河口三角洲之一的黃河三角洲, 在環渤海地區發展中具有重要的戰略地位。該區域生態系統獨具特色, 處于大氣、河流、海洋與陸地的交接帶, 是世界上典型的河口濕地生態系統。基于OPSA方法, 識別敏感參數, 優先發展與敏感參數直接相關的動力過程參數化方案, 可有效提高黃河三角洲生態系統的模擬與預報技巧。在此基礎上開展目標觀測研究, 科學指導黃河三角洲區域生態環境監測網絡的建設, 對于推動區域海洋經濟高質量發展具有重要意義。

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Parameter sensitivity analysis of a biological ocean model based on OPSA method

GAO Yong-Li1, WANG Ji-chao1, SUN Guo-dong2, ZHANG Kun3, JIANG Xiang-yang4, WANG Ning4

(1. China University of Petroleum (East China), Qingdao 266580, China; 2. Institute of Atmospheric Physics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100029, China; 3. Institute of Oceanology, Chinese Academy of Sciences, Qingdao 266071, China; 4. Shandong Marine Resources and Environment Research Institute, Yantai 264006, China)

The deep chlorophyll maximum (DCM) is a common ecological phenomenon in oceans and lakes. Numerical simulation has emerged as an important tool for studying this phenomenon, and parameter uncertainty is a primary source of uncertainty in the simulations. By optimization parameter sensitivity analysis, the sensitivities of 10 parameters in the nutrient–phytoplankton model related to DCM simulation were investigated. The results revealed the sensitive parameters in the DCM simulation to be background turbidity, vertical turbulent diffusion, nutrient content of phytoplankton, and recycling coefficient of nitrate; perturbations in these parameters lead to considerable changes in the DCM. In addition, the observing system simulation experiment was designed to evaluate the improvement in DCM simulation while eliminating sensitive parameter errors. The results revealed that the average improvement in DCM simulation resulting from the removal of the sensitive parameter errors is 56.83%, which is approximately 13 times that obtained from the removal of the insensitive parameter errors (4.51%). Moreover, the coefficient of variation was calculated to examine the stability of simulation improvement. The values obtained were 9.44% for the removal of sensitive parameter perturbations and 14.76% for the removal of insensitive parameter perturbations, indicating decreased stability. This study suggests that prioritizing the parameterization scheme and target observation related to sensitive parameters may provide valuable insights for the advancement of DCM simulations and predictions.

DCM; parameter sensitivity; optimal perturbation; OPSA; target observation

May 17, 2022

731.26

A

1000-3096(2023)5-0139-10

10.11759/hykx20220517003

2022-05-17;

2022-07-18

國家自然科學基金項目(92158202, 41576015)

[The National Natural Science Foundation of China, Nos. 92158202, 41576015]

高永麗(1981—), 女, 山東膠州人, 漢族, 講師, 博士, 主要從事非線性最優化、參數敏感性分析方面的教學與研究, E-mail: gaoyongli@upc.edu.cn; 張坤(1988—),通信作者, 男, 山東濟寧人, 副研究員, 主要從事海洋環流及其可預報性的研究, E-mail: kzhang@qdio.ac.con

(本文編輯: 楊 悅)