在體驗中形成解決問題的策略

趙瑞生 趙鴻

【摘? ?要】畫圖的策略是指把現實情境中的條件、問題及它們之間的關系用合適的圖形表示出來，再利用圖形分析、推理，探索解決問題的思路。以蘇教版教材四年級下冊“畫圖的策略”的教學為例，教師可從“經歷比較，體驗畫圖必要性；操作圖形，體驗幾何直觀；總結方法，體驗圖形表征；反思抽象，體驗策略本質”四方面進行教學設計，引導學生對策略形成的關鍵環節進行充分的體驗與感悟，使學生獲得豐富、深刻的領悟，形成策略意識。

【關鍵詞】畫圖；體驗；解決問題；策略；教學設計

畫圖的策略是指把現實情境中的條件、問題及它們之間的關系用合適的圖形表示出來，再利用圖形分析、推理，探索解決問題的思路。小學生的思維正處在由具體形象思維向抽象思維過渡的階段，在解決問題中的復雜數量關系時，需要借助直觀圖形來幫助思考。對學生而言，他們并不是第一次接觸畫圖解決問題，只不過以往沒有把畫圖作為一種解決問題的策略，沒有從幾何直觀的高度來認識畫圖的策略。要想讓畫圖成為學生自覺主動使用的策略，必須讓學生在親身經歷的數學活動中對畫圖的策略形成具有個人意義的體驗、感悟和情感。“當我們將學科思維訓練內化后，它們就會變成如早年的鐫刻一樣深刻，就能如專家一樣用學科知識解釋世界的現象。”［1］因此，教學畫圖的策略，首先，要創設情境，讓學生自主解題，通過比較幾種不同的解題過程，體驗畫圖解題的必要性；其次，要通過操作圖形活動，體驗運用圖形描述和分析問題的意識和習慣；再次，要總結畫圖的方法，體驗圖形表征的直觀形象特點；最后，要通過反思抽象，品味畫圖的思想與方法特點，形成對畫圖策略所孕育的數學思想方法的實質性領會。

一、經歷比較，體驗畫圖必要性

在“畫圖的策略”的教學中，教師通常會先呈現例題：小寧和小春共有72枚郵票，小春比小寧多12枚。兩人各有郵票多少枚？同時提出要求：先畫圖再列式解答。學生獨立嘗試，然后全班交流怎樣畫圖、怎樣解答。這樣的教學方式下，學生只是機械地執行教師的要求，并不能感受用畫圖描述和分析問題之于解決問題的必要性，即學生雖然經歷了實實在在地畫圖解答的過程，卻失去了對為什么要使用畫圖策略的思考與感悟。

蘇教版教材將解決問題的策略（列表的策略、畫圖的策略、列舉的策略等）作為獨立單元安排在各冊教材中，讓學生每學期學習一種策略。對學生來說，這不是難事。他們的困難在于，學過多種策略后，面對實際情境，不知道選擇何種策略來解決問題。因此，在學生學習具體策略時，教師不能代替學生作判斷，不能直接告訴他們用某種策略解決問題，而要引導學生思考和感悟問題情境與問題解決策略之間的內在關系，通過具體問題的解決，感受與把握這種內在關系的必要性。

學習“畫圖的策略”時，學生面對問題情境，伴隨對問題的思考，會自發生成一些解決問題的方法和策略。因此，教師要將選擇權交給學生，讓學生嘗試解決問題。學生的解答主要有這樣幾種情況：沒有畫圖但能正確解答、畫圖且能正確解答、沒有畫圖且解答錯誤等。基于此，教師教學的重點是要在學生獨立思考的基礎上組織兩次比較。第一次比較時，先讓沒有畫圖但能正確解答的學生敘述解題過程，然后讓畫圖且能正確解答的學生敘述解題過程，最后比較兩個人的發言，全班同學談談感受。學生發現：第二個同學能結合線段圖清楚敘述每一步求的是什么。通過這樣的過程，學生自然而然感受到畫圖能幫助他們分析數量關系，從而得到啟發：以后碰到類似的問題，可以試試先畫圖。教師進一步引導：“畫圖能幫助我們分析數量關系，那它能幫助我們理解題意嗎？”學生感受到，和文字敘述相比，通過畫圖描述問題，能把抽象、隱蔽的數量關系以直觀形象的方式表示出來，有助于他們弄清條件和問題之間的聯系，找到解決問題的正確思路。第二次比較讓沒有畫圖且解答錯誤的學生先說說自己錯在哪里，再說說自己是怎樣訂正的。教師引導學生思考：比較前后的解題過程，你有什么體會？讓學生切身體會畫圖描述對理解題意和分析數量關系的作用。經歷兩次比較，問題情境與圖形之間的關系在學生頭腦中逐漸變得清晰起來，畫圖的策略得到強化。

“策略”不同于具體的解題方法，它是一類解題方法的抽象表達，適用性更廣。就“畫圖的策略”而言，教師能教的只有顯性的怎樣畫圖及如何根據圖形分析數量關系，至于在什么情況下需要畫圖，畫什么樣的圖則需要學生自行進行判斷。如果教師直接要求學生“先畫圖再解答”，就會屏蔽學生內在的畫圖意識和對圖形的敏銳感覺。這樣的教學方式下，學生只是解題的工具人，不會去思考在何種情況下該選擇哪種策略解題，導致他們喪失了對策略的敏感性和自主選擇策略的意識，將“畫圖”當作額外的“作業”。以至于在后續的學習中，經常會有學生問：“老師，這道題要畫圖嗎？”

高水平的理解需要元認知的參與。元認知是指對認知活動的自我意識、自我體驗和自我調節。高層次的解題活動既需要運用感知、記憶、思維等認知因素進行認知活動，還需要積極地調動元認知對自己的認知活動進行監控與調節。元認知影響問題的解決。［2］一旦有學生提出諸如“這道題要畫圖嗎？”的問題，就表明他的元認知沒有參與解題活動。因此，解決問題的策略的教學要重視培養學生的元認知能力。學生在自主解答問題時，教師要對需要幫助的學生提供元認知援助，針對學生出現的具體情況提出具有啟發性的問題：已知條件和未知條件清楚嗎？怎樣才能清楚地表示呢？之前解過類似的問題嗎？學生清楚了思考的方向和解題的思路，就能順利解決問題，并積累解題的經驗。之后再碰到類似的問題情境，就能主動地選擇相應策略解決問題。

二、操作圖形，體驗幾何直觀

畫圖策略的本質是“數形結合”，是指在解決問題的過程中，充分運用“形”的直觀來描述數量之間的關系。“即使對于表面上屬于代數的問題，也能借助‘形把隱藏的數量關系表示出來，通過對圖形的操作，獲得問題解決。”［3］因此，教師要利用“數形結合”，引導學生學會借助幾何直觀思考問題。《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：“幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣。”發展學生的幾何直觀，既要注重平時的潛移默化，也要借助典型問題進行針對性的探究。在“畫圖的策略”教學中，通常有3種方法解決“求小寧和小春的郵票枚數”的問題，分別是“把長的削去”“把短的補長”和“勻一半”。以“把長的削去”方法的教學為例，教師可先指著“12枚”這一線段，說明這一線段表示“小春比小寧多12枚”，給“幾何圖形”賦予“代數意義”。然后一邊操作圖形，一邊說明意義：如果去掉12枚郵票，兩人的郵票就同樣多。即“兩人郵票的總數減去12枚等于小寧郵票枚數的2倍”，所以要先算出小寧有多少枚郵票。“把短的補長”和“勻一半”這兩種解題思路也可以依樣畫葫蘆，指導學生操作，讓學生借圖分析。這一方面能使復雜的數量關系變得簡單、直觀，另一方面也有助于學生從不同的角度分析問題，形成不同的解題思路。

解決問題的策略的教學中，“教師難教、學生難學”的根源在于，策略除了顯性成分，還包括隱性成分。策略的隱性成分主要指數學的思想方法、觀念、價值取向等。對于“把長的削去”“把短的補長”“勻一半”這3種不同的解法，教師要提出質疑，引導學生思考這些解法之間的區別與聯系。教師提問：“把長的削去”要從總數里減去12枚，“把短的補長”要從總數里加上12枚，而“勻一半”總數不加也不減，這是為什么呢？學生發現：這樣做的目的在于把不相等的數量變成相等的。由此把新思路和學生原有的知識經驗打通，使學生感悟到新思路背后變與不變、假設的思想。學生在這樣的解法比較中，能親身體驗畫圖的獨特價值，對畫圖策略的理解也更加深刻。

數學是思維的體操，“一題多解”能發散學生的思維。學生借助圖形操作，發現多種解法之間的內在聯系，發現多種解法的共同本質，實現“多解歸一”，并與已有知識經驗貫通，將其上升為數學思想方法，從而幫助他們形成強大的學習能力。

三、總結方法，體驗圖形表征

對解決問題策略的理解要上升到“學科教學的本原性問題”上來。畫（示意）圖所蘊含的數學教學的本原性問題是數形結合思想和相應的畫圖法。［4］教師要在學生自主畫圖的基礎上，幫助學生總結畫圖方法，感悟數形結合思想。“畫圖的策略”中的例題是一道典型的和差問題。畫圖時，第一步要找出比較句“小春比小寧多12枚”，確定誰和誰比，誰作為“標準量”，先畫“標準量”，再畫“比較量”；第二步要畫出另一個條件“小寧和小春共有72枚郵票”；第三步要標出“問題”。教師可以引導學生質疑：為什么不先畫“小寧和小春共有72枚郵票”？幫助學生明確畫圖時確定標準的重要性。

鄭毓信教授認為，數學基礎知識的教學不應求全，而應求變、求聯。因此，針對“小春比小寧多12枚”，教師可以先引導學生思考：這個條件還可以怎樣畫？讓學生明白：也可以先畫小春的枚數，再畫小寧比小春少12枚。然后在兩個量比較的基礎上，再引入一個量，變成三個量比較，如可以增加一個條件 “小明比小寧的2倍少4枚”，繼續啟發學生思考：這個條件應該怎樣畫呢？教師應通過例題及各種變式，幫助學生總結畫圖方法，培養學生發現問題和提出問題的能力。

學生在解決問題的過程中，需要把文字語言、圖形語言和符號語言進行相互轉換。學生掌握畫圖的策略，要先學會畫圖，即把文字語言轉化為圖形語言；還要學會識圖，即掌握一些識圖技能，把圖形語言轉化為符號語言（數學模型），再用圖形分析數量關系并解決問題。用畫圖的策略來解決問題，其實質是考查學生對數學知識的多元表征能力。文字表征易于理解，圖表表征賦值清晰，圖形表征表現直觀。［5］不同的表征形式之間具有內在聯系，數與形是同一問題的不同側面。學生經歷“數”與“形”的相互轉換，可以把抽象的數量關系轉化為直觀圖形，由此發展思維能力。這是畫圖的策略所要達成的目標。

四、反思抽象，體驗策略本質

“建構數學知識的方式是活動和反思抽象。”［6］因此，在“畫圖的策略”教學中，教師要引導學生經歷自主畫圖的需求，體驗運用圖形描述及解決問題，在對畫圖的方法與價值有了較深認識的基礎上，通過反思將畫圖的方法抽象概括為解決問題的策略。體現反思抽象需要數學問題的引領。教師可以提問：數學中的“畫圖的策略”與一般的畫圖有什么區別？學生由此認識到，數學中的“畫圖的策略”要去除情境，力求體現數學元素，是用數、符號和圖形表示數量關系。它有一個“模式化過程”［7］，即一種“數形結合”的數學思考方法。那什么時候畫圖呢？當題目中的數量關系比較復雜時，可以通過畫圖使復雜問題變得直觀形象，它只是解決問題的一種手段。如果在解決問題時，學生能一邊讀題一邊在腦中把文字轉化為圖形，并能根據腦中的圖形進行思考，說明他已經掌握了畫圖的策略。這是畫圖策略要達成的終極目標。

學生在解決問題過程中生成的是方法，形成的是策略，吸收的是數學思想。而反思的價值在于，學生在“正式”學習畫圖策略之后，能站在新的高度——更上位的數學思想的角度，去反思自己的解題行為，回顧品味畫圖的思想與方法特點，以驗證畫圖策略的普遍性和掌握知識的靈活性，從而實質性領會畫圖策略所孕育的數學思想方法。

總之，策略教學一定要緊扣策略形成的內在規律進行教學設計，重視引導學生對策略形成的關鍵環節進行充分的體驗與感悟，使學生獲得豐富、深刻的領悟，形成策略意識。

參考文獻：

［1］加德納.未受過學科訓練的心智［M］.張開冰，譯.北京：學苑出版社，2020.

［2］李淑文，李清.在數學問題解決中知識、策略、元認知三者關系的實證研究［J］.上海教育科研，2005（11）：45-47.

［3］邵光華.作為教育任務的數學思想與方法［M］.上海：上海教育出版社，2009.

［4］徐文彬.數學“解決問題的策略”的理解、設計與教學［J］.課程·教材·教法，2009，29（1）：52-55.

［5］朱黎生，楊慧娟.PISA與中考試題中對“讀圖能力”的考察［J］.數學教育學報，2013，22（4）：39-42．

［6］趙瑞生.促進學生積累數學基本活動經驗的教學策略［J］.教育理論與實踐，2019，39（17）：63-64.

［7］鄭毓信.學校數學：必要的抽象［J］.人民教育，2006（3/4）：43-44.

（1.江蘇省南京市浦口區新浦實驗小學

2.江蘇省南京市浦口區新世紀小學）