三角形角平分線夾角的一組性質及其應用

【摘 要】 在近年中高考中，對角平分線的相關知識及性質的考查經常出現，尤其是三角形內角及外角角平分線是命題的重點.以一道經典的動點例題，引出三角形角平分線夾角的一組性質，最終直觀地建立起三角形角平分線夾角之間的聯系，突破難點，建構三角形角平分線夾角模型.

【關鍵字】 三角形；角平分線；夾角

0 引言

角平分線是人教版數學教材八年級上冊的學習內容，是平面幾何中最基礎、最重要的內容之一，《幾何原本》第九命題就是介紹如何用尺規作圖法作出角平分線的.在更深入學習平面幾何的知識前，角平分線的內容是繞不過去的坎.初、高中考查角平分線知識及性質的命題中有相當多是放在三角形中的，其中有一部分是對三角形中角平分線夾角的考查.本文針對這一內容，總結歸納，探究其中的聯系，加深對三角形及其角平分線的認識與理解，幫助解題人明晰思路，巡蹤探跡.

1 原題呈現

如圖1，ABCD為平行四邊形，點M是AD上的一個動點，從點A向點D移動（不與A、D重合），BA、CM的延長線交于點O，若∠O=α，分別作∠BAD與∠BCM的角平分線，兩條角平分線所在的直線交于點P，請用含α的代數式表示∠APC的大小.

分析 看到這個題，首先要明確這是一個動點問題，當點M從點A向點D移動時，點O，P的位置是在發生變化的，∠O與∠APC的大小也在發生變化.要求角的大小，一般要把所要求的角放到多邊形中來看，如三角形、四邊形等.在這個題目中，∠O與∠APC最直觀的聯系是都為四邊形APCO的一個內角，很容易想到利用四邊形的內角和為 360 °來計算，又已知∠O=α，那么只要求出其余兩個角就可以了.在這個題目中我們可以試著用∠B來表示它們.

根據平行四邊形的性質可知：

∠OAP=∠OAM+∠MAP=∠B+12∠BAD=∠B+12180°-∠B=90°+12∠B.

根據△OBC的內角和等于180°，可知：

∠OCP=12（180°-∠B-α），

可以得到：

∠APC=360°-∠O-∠OAP-∠OCP=360°-α-90°+12∠B-12180°-∠B-α=180°-12α.

這個題目不難，只需要理清關系，再進行一些運算就可以了，但是這個題目能反映出一些更基礎、更有趣的性質——三角形角平分線夾角的性質.通過觀察，CP，AP分別為△OCB與ABCD的角平分線.假若通過平移將其轉變為一個三角形中的不同角的角平分線，便可以將此問題轉化為三角形角平分線夾角的問題.在此題中，我們過B點作AP的平行線，交直線CP于點Q，參見圖2，那么BQ為△OBC的外角的角平分線，于是只需要計算△OCB的角平分線CP與外角平分線BQ的夾角.假若可以解決三角形內外角角平分線夾角的問題，此題便可迎刃而解.我們下面來介紹一些優美的性質，幫助大家建立起一些幾何直觀.

2 三角形角平分線夾角的一組性質

定理1 三角形任一角的內角角平分線與外角角平分線互相垂直.

說明 參見圖3，利用平角和角平分線的定義即可證明.

定理2 三角形兩個內角角平分線的夾角等于第三個角的一半加 90 ° [1] .

說明 如圖4，在△ABC中，BP，CQ分別為∠ABC和∠ACB的角平分線，交點為O，那么有

∠BOC= 90 °+12∠A.

證明 設△ABC中BP，CQ分別為∠ABC和∠ACB的角平分線，且交于O.根據三角形內角和為 180 °可知在△OBC中，∠BOC= 180 °-12∠B-12∠C.又因為在△ABC中，∠B+∠C= 180 °-∠A，所以

∠BOC= 180 °-12∠B-12∠C

= 180 °-12∠B+∠C

= 180 °-12 180 °-∠A

= 90 °+12∠A.

定理3 三角形一個內角角平分線與另一角外角的角平分線的夾角為第三角的一半 [2] .

說明 如圖5，在△ABC中，BP，CQ分別為內角∠ABC和外角∠ACD的角平分線，交點為O，那么有

∠BOC=12∠A.

證明 設△ABC中BP，CQ分別為∠ABC和∠ACD的角平分線，且交于O.因為三角形內角和為 180 °，所以在△OBC中∠BOC= 180 °-12∠B-∠C-12∠ACD.又因為∠ACD= 180 °-∠C，所以，∠BOC= 180 °-12∠B-∠C-12 180 °-∠C= 90 °-12∠B-12∠C.又因為在△ABC中，∠B+∠C= 180 °-∠A，所以

∠BOC= 90 °-12∠B-12∠C

= 90 °-12∠B+∠C

= 90 °-12 180 °-∠A

=12∠A.

定理4 三角形兩個角的外角角平分線的夾角等于 90 °減第三角的一半.

說明 如圖6，在△ABC中，BP，CQ分別為外角∠EBC和外角∠BCD的角平分線，交點為O，那么有

∠BOC= 90 °-12∠A.

證明 設△ABC中BP，CQ分別為∠CBE和∠BCD的角平分線，且交于O.根據三角形內角和為 180 °，所以在△OBC中，∠BOC= 180 °-12∠CBE-12∠BCD.又因為∠CBE= 180 °-∠B，∠BCD= 180 °-∠C，所以∠BOC= 180 °-12 180 °-∠B-12 180 °-∠C=12∠B+12∠C.又因為在△ABC中，∠B+∠C= 180 °-∠A，所以

∠BOC=12∠B+12∠C=

90 °-12∠A.

這四個夾角并不是相互獨立的，可以用一個圖來表示這四個夾角之間的關系，如圖7.

我們也可以用一個統一的公式表示為

∠BOC= 180 °-∠BQC= 90 °+∠BPC= 90 °+12∠A.

3 回歸題目，拓展延伸

下面我們回到最開始的題目，因為所要求的∠APC是兩個角平分線的交角，我們可以考慮把它們移動到一個三角形中來解決它們，參見圖2，于是只需要計算△OBC的角平分線CP與外角平分線BQ的夾角.但是不要忽略了另一種情形，當M從點A向點D移動時，P點是可以跑到△OBC的外部的，如圖8.

畫清楚圖形是完成幾何題目的第一步，也是最重要一步，通過作圖，可以建立起初步的幾何直觀感受，比如圖2和圖8中所求的角∠APC，很明顯圖2中的要大一些，比α都要大，圖8中的很明顯要小一些，這就說明，對于不同的情況，∠APC的含α代數表達式有可能是不同的.

我們先看第一種情況——交點在△OBC的內部，∠APC是△OBC外角角平分線與另一角的角平分線夾角的補角.所以通過定理3，可以得到∠APC=180°-12α.

第二種情況——交點在△OBC的外部，∠APC是△OBC外角角平分線與另一角的角平分線的夾角，更簡單一些，直接利用定理3，可以得到∠APC=12α.

例題拓展1 如圖9，在△ABC中，點P在BC邊上，∠BAP= 100 °，∠ABC的角平分線交AC于點O，過點O作OQ⊥AB，交BA的延長線于點Q，且∠AOQ= 50 °，連接PO，求∠BOP [3] .

解析 在Rt△AOQ中，由于∠AOQ= 50 °，可以得到∠QAO= 40 °，所以可以知道直線AO為△ABP外角的角平分線，又因為直線BO為△ABP的角平分線，所以點O為△ABP的旁心，所以直線PO為△ABP外角的角平分線，利用定理3，可以解得∠BOP= 50 °.

例題拓展2 如圖10，在△ABC中，線BO、CO分別為∠B和∠C的四等分線，即∠OBC=14∠B，∠OCB=14∠C，若∠BOC= 145 °，求∠A.

解析 可以作輔助線幫助理解，作∠B、∠C的角平分線，交于點P，可以利用兩次定理2，可知∠BPC=12∠A+ 90 °及∠BOC=12∠BPC+ 90 °，聯立兩式，可以解得∠A= 40 °.

參考文獻

[1]陳雨燕.對三角形角平分線夾角問題的探究[J].語數外學習（初中版），2020（07）：23-25.

[2]邰俊淑.兩條角平分線夾角探秘[J].中學數學，2020（18）：51-52.

[3]趙瑞，吳玉倩.基于單元整體教學背景下初中數學復習課教學研究[J].中學數學，2022（16）：37-38.

作者簡介 李菲菲（1982—），女，山東濰坊人，中學一級教師，曲阜市優秀班主任，曲阜市師德模范、優秀教師;主要從事中學數學教學研究;發表論文多篇.