一種輕型仿人機械臂關節并聯機構設計

王文萍，劉偉潮

(廣州城市理工學院機械工程學院，廣東廣州 510000)

0 前言

機器人行業逐漸成為“中國制造2025”和“工業4.0”時代下代表一個國家科技創新和高端制造行業水平的行業。目前協作型機器人的類型主要有主動柔順控制型、被動柔順型和輕量化繩驅動型[1]。前兩種柔順型機器人通過人機交互過程進行柔順響應，仿人協作輕量繩驅動機械臂將成為未來協作型機器人的研究重點。文獻[2]提出一種新型的通過繩索驅動、壓縮彈簧支承的柔性并聯腕部康復機構，保證人體腕部生理運動空間處于機構有效工作空間之中。文獻[3]為獲得更好的柔性度，設計使用氣體動力肌肉模擬腕關節的康復機器人；文獻[4]設計一氣動腕關節外骨骼康復機器人，構建三自由度并聯機構；文獻[5]提出一種將動、靜平臺通過一個球副與繩索牽引實現腕關節的運動功能；文獻[6]提出一種3-RRR球面并聯機構，以機構的雅可比矩陣條件數為優化對象，進行遺傳算法設計；文獻[7]設計了一款繩索混合驅動并聯機構，并對并聯機構運動學進行分析，得出動平臺位姿與繩索長度的關系滿足運動學反解模型；文獻[8]提出一種繩驅動并聯機械臂位姿正解的Dogleg算法迭代方法；文獻[9]設計一種3-PRC并聯機構，并對該并聯機構進行MATLAB、ADAMS、Por/E多軟件聯合建模與運動學仿真；文獻[10]引用一種三維切片法用于分析并聯機構末端在實際工作空間中高度與偏轉角的運動性能。

根據人體上肢手臂腕關節的解剖學結構及運動特點，設計帶有多個支鏈連桿結構的腕關節并聯機構。利用MATLAB進行結構參數篩選優化，得出該并聯機構運動學模型，驗證該腕關節并聯機構的可行性與設計方法的合理性。

1 并聯機構結構設計

1.1 人體腕關節的結構特點

人體腕關節運動形式主要有前屈后伸與外展內收以及小范圍旋轉運動[11]。如圖1所示，從解剖學角度確定手腕轉動方向是通過將手掌自然伸展；手掌向大拇指的旋轉運動為橈屈，向小拇指方向的旋轉運動為尺屈，向手肘內側的旋轉運動為屈曲，向手肘外側的旋轉運動為背伸；同時手腕向身體內側與外側的旋轉運動分別為內旋與外旋。

圖1 腕關節的解剖學結構及運動特點

為使腕關節工作空間與人體手腕的工作空間相似，優化腕關節并聯機構工作可行性，設置與腕關節旋轉角度相似的設計要求，如表1所示。

表1 腕關節并聯機構的基本運動范圍

1.2 腕關節并聯機構主體設計

文中研究的并聯機構主要應用于輕量繩驅動協作機器人腕關節模塊的三自由度并聯機構，如圖2所示。腕關節并聯機構三維模型、簡化模型與機構簡圖分別如圖3、圖4與圖5所示。其中腕關節并聯機構的機械原理結構為三自由度的3-RRRR-(UPU)并聯機構，其中R表示轉動副，P表示移動副，U表示虎克鉸。腕關節并聯機構主體由動靜平臺、連接動靜平臺的4根弓形連桿、UPU連桿串聯機構、滑輪安裝架、驅動滑輪組與腕關節末端手爪安裝法蘭組成。同時為避免長時間使用后，繩索張力失效對腕關節并聯機構運動產生不良影響，本文作者在機械臂中設計了一套自適應繩索張緊裝置，如圖6所示。

圖2 輕型仿人繩驅動機械臂總體裝配

圖3 腕關節并聯機構整體三維模型

圖4 腕關節并聯機構簡化模型

圖5 腕關節并聯機構簡圖

圖6 繩索張緊機構模型示意

腕關節并聯機構靜平臺中的旋轉滑輪帶動UPU連桿實現腕關節并聯機構末端手爪法蘭繞腕關節末端坐標系的Z方向進行滾動運動，模擬人體手臂外旋/內旋運動特點；繩索連接動靜平臺，通過滑輪組一端固定于靜平臺，另一端固定于動平臺，通過牽引其中一端改變動靜平臺距離，改變腕關節末端動平臺位姿，實現末端機構繞X軸與Y軸滾動，完成模仿人體腕關節橈屈/尺屈、背伸/屈曲運動，實現末端平臺作球面純滾動，如圖7與圖8所示。弓形連桿與動靜平臺通過鉸鏈連接，隨動平臺、靜平臺位姿關系變化而轉動。通過繩索牽引實現對手爪的靈活控制，腕關節末端手爪法蘭的位姿狀態與機構運動形式可實現模仿人類手腕動作的仿生運動。

圖7 腕關節并聯機構末端動平臺橈屈/尺屈的運動仿真

圖8 腕關節并聯機構端動平臺背伸/屈曲運動仿真

根據Grubler-Kutzbach公式，計算腕關節并聯機構可動度：

(1)

設定當并聯機構靜平臺固定不動時，計算關節并聯機構的自由度數目。令n表示并聯機構中連桿的數量，g表示并聯機構中關節的數量，對于第i個關節，ui表示該關節約束數目；引入fi表示該關節自由度數目，空間結構中ui=6-fi。簡化式(1)，通過各個關節自由度之和以及關節數量與并聯機構自由度關系可知：

(2)

將n為14、g為16、機構中所有關節自由度數目之和為20，代入式(2)中得腕關節并聯機構自由度為2，滿足實現并聯機構繞X軸與Y軸的運動要求。腕關節并聯機構通過貫穿動靜平臺幾何中心的UPU連桿實現并聯機構繞Z軸轉動，增加1個可動度，整體并聯機構可動度為3，符合人體手腕三自由度的運動特征，滿足設計要求。

1.3 腕關節并聯機構原理分析與誤差優化

為簡化運動算法，同時便于控制以及提高定位精度，將曲形桿與并聯機構動靜平臺相連的鉸鏈均布于直徑為S的圓上。腕關節并聯機構的原理是通過相對兩根連桿相互交叉，并與并聯機構的靜平臺以及動平臺形成一個以動靜平臺為底邊、曲形桿為斜邊的直角三角形，構成直角三角形的斜邊兩兩相交，交點隨動平臺相對靜平臺作球面純滾動形成橢圓運動軌跡。圖中S為動靜平臺上鉸鏈均布圓的直徑，L為曲形桿鉸鏈中心連線長度且為直角三角形斜邊，R為動靜平臺幾何中心點距離，此時兩個直角三角形構成一個矩形，圖9虛線表示交點運動形成的橢圓形軌跡。

圖9 交點的運動軌跡

由于并聯機構動平臺末端運動軌跡形成橢圓，橢圓軌跡各點曲率變化導致末端隨著動平臺做球面滾動時出現ZW方向距離變化，驅動繩索的松緊度呈現非線性變化，引發張力失效。為實現驅動繩索平穩控制動平臺的運動角度與速度，擬以圓形運動軌跡逼近橢圓運動軌跡達到機械臂設計精度要求，減少誤差，同時降低對腕關節并聯機構的運動模擬難度，提高可控度。

如圖10所示，圖中點C為虛擬等效圓圓心，設置在距離坐標原點為D的Z軸負半軸。以點C到交點的距離為r做等效圓，假設由一直線經過點C并與橢圓相交于Pe，與等效圓相交于點Pc。由以上條件可知直線、等效圓與橢圓方程分別為

圖10 橢圓與虛擬圓示意

f(x)=tanA·x+D

(3)

x2+(z+D)2=r2

(4)

S2+R2=L2

(5)

(6)

公式(3)為過點C到并聯機構極限位置時的交點直線方程；公式(4)為以點C為圓心的虛擬圓方程表達式；公式(5)為S、R以及L的關系式；公式(6)為交點的橢圓軌跡方程。聯立以上方程可求直線分別同橢圓及等效圓的交點坐標。如圖10所示，可得橢圓與等效圓之間距離d：

d=f(x，z)=[(xc-xe)2+(zc-ze)2]1/2

(7)

d值接近于0時，并聯機構可形成繞等效圓的純滾動運動。考慮實際加工條件，可將d值誤差控制在0.03 mm以內或更低以獲得更高運動精度，文中擬設定誤差為0.03 mm。運用SoildWorks對d值條件進行編程仿真分析，模擬出不同S值下D值的變動對并聯機構的誤差d影響，SoildWorks與MATLAB聯合仿真。具體聯合仿真的數據采樣流程如圖11所示。

圖11 仿真數據采樣流程

仿真分析可知：當S取值為[30，55]mm，弓形連桿長度L的取值區間為[110，130]mm，可得滿足并聯機構設定誤差時D的數值分布。用MATLAB對采集數據進行插值優化處理，如圖12所示。仿真模擬可得兩點相交直線與Y軸之間角度A的分布圖，插值優化處理后如圖13所示。對仿真獲得數據進行插值優化可知：在腕關節并聯機構設計中，考慮機械零部件安裝及運動精度要求，將并聯機構S設定為40 mm，確定D數值為3.1 mm時，動靜平臺之間最大誤差值為0.02 mm，符合并聯機構設計及加工要求。

圖12 對D值的數據采集(a)及插值優化模型(b)

圖13 角度A的數據采集(a)及插值優化模型(b)

2 腕關節并聯機構運動學分析

2.1 腕關節模塊并聯機構正運動學分析

將腕關節模塊并聯機構分為上下兩個部分，并聯機構上部分為末端動平臺，并聯機構下部分為固定平臺即靜平臺，如圖14所示。

圖14 并聯機構運動學簡圖

以并聯機構固定平臺的轉動幾何中心點O為固定坐標系原點，X軸與Y軸設置在并聯機構靜平臺上，Z軸垂直于靜平臺平面。以動平臺幾何中心點O′為坐標系原點，X′軸與Y′軸設置在并聯機構動平臺平面上，使X′軸平行且同向于固定坐標系O-XYZ的X軸。連接點O與點O′，使θ1為垂直于并聯機構靜平臺方向上OO′投影與固定坐標系O-XYZ上X軸之間的夾角。θ2表示俯仰角即OO′相對固定坐標系Z軸的夾角。由此可知，并聯機構動平臺坐標系O′-X′Y′Z′相對于并聯機構靜平臺固定坐標系O-XYZ的空間位姿可用兩個角度與一個平移位移表示，即繞Z軸旋轉角度為θ1、繞當前Y軸旋轉角度θ2與沿坐標系Z軸平移距離h。旋轉-平移矩陣的齊次方程表達式為

其中：RZ(θ1)表示沿坐標系Z軸的旋轉矩陣的齊次表達式，具體為

(8)

RY(θ2)表示沿坐標系Y軸的旋轉矩陣齊次表達式，具體為

(9)

TZ(h)表示沿坐標系Z軸平移的齊次表達式，具體為

(10)

式中：Ci表示cosθi，Si表示sinθi。

將平移-旋轉的齊次矩陣表達式相乘得到：

(11)

2.2 腕關節并聯機構繩驅動運動學分析

使用N型繩驅動構型如圖15所示，使用單個驅動電機控制關節實現單自由度運動，N型繩驅動構型使用一條繩索作為驅動繩索，不考慮外界因素對繩索長度影響，繩索伸長量與收縮量相等[12]。

圖15 N型繩驅動構型

(12)

聯立公式(9)與(10)，結合繩索長度與末端動平臺空間變換齊次矩陣的轉換關系，得到繩索長度變化量與末端動平臺位姿關系的角度關系為

(13)

其中K與V分別代表末端動平臺繞X軸與Y軸的偏轉，將式(13)與式(11)代入矩陣可得

2.3 腕關節并聯機構逆運動學分析

圖16 腕關節并聯機構支鏈運動簡圖

(14)

通過第2.1節正運動分析得到LOO′、LCTi與LCTi+1為

其中：α1與α2為轉動副R11以及R21轉動角度。聯立式(14)得各個轉動副Ri轉動角度αi：

3 結論

根據人體上肢手臂腕關節解剖學結構及運動特點，設計一種有多個支鏈連桿結構的腕關節并聯機構。通過4條連桿支鏈以及4根繩索，形成并聯機構支撐與驅動結構，實現人體手臂腕關節2個可動度的仿生設計，最終通過UPU支鏈實現腕關節并聯機構三自由度運動。其腕關節并聯機構的運動可行性與可動度通過G-K公式進行驗算，驗算結果正確。

分析腕關節并聯機構運動軌跡，提出腕關節并聯機構動平臺的運動函數方程。分析方程，構建并聯機構誤差數學模型，基于SoildWorks與MATLAB進行聯合仿真與數據采集，插值法優化處理采集數據，獲得S與L的范圍及最優參數組合，結果顯示末端動平臺在運動角度為±90°時，D=3.1 mm時誤差最小。

腕關節并聯機構通過Denavit-Hartanberg分析，推導出末端動平臺坐標系與并聯機構靜平臺固定坐標系的變化關系數學表達式，完成并聯機構的正、逆運動學分析；基于運動分析結果，引入繩驅動關于末端動平臺位姿變化的繩索變化關系研究，推導出繩索伸縮量與末端位姿角度變化的函數表達式，進一步驗證腕關節并聯機構可行性與運動學分析的合理性。