基于單溫度傳感器的數(shù)控機床主軸熱誤差建模方法研究

林偉鋮，尹玲，張斐，呂崢

(1.東莞理工學院計算機科學與技術學院，廣東東莞 523808；2.東莞理工學院中法聯(lián)合學院，廣東東莞 523808；3.湖南科技大學機械設備健康維護湖南省重點實驗室，湖南湘潭 411201；4.東莞理工學院機械工程學院，廣東東莞 523808)

0 前言

數(shù)控機床熱誤差是機床主要誤差源，占機床總誤差的40%～70%[1-3]。近年來，眾多學者將人工智能算法引入到熱誤差建模中，提高熱誤差模型的預測精度。

王子涵等[4]提出一種基于貝葉斯神經(jīng)網(wǎng)絡的熱誤差建模方法。GUO 等[5]采用基于人工智能的神經(jīng)網(wǎng)絡建立熱誤差模型。神經(jīng)網(wǎng)絡模型解決了溫度與熱誤差的非線性映射問題，提高了預測精度，但基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡的模型易陷入局部極值[6]。

為了解決模型陷入局部極值問題，一些學者將具有強大非線性映射能力的神經(jīng)網(wǎng)絡結合智能優(yōu)化算法的全局尋優(yōu)能力，建立熱誤差模型。例如，遺傳算法優(yōu)化反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡[7]、基于雞群算法的徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡[8]、遺傳算法優(yōu)化Elman神經(jīng)網(wǎng)絡[9]和遺傳算法結合小波基神經(jīng)網(wǎng)絡[10]等建模方法。但這類模型的輸入通常為多個溫度測量點的數(shù)據(jù)，模型內(nèi)部的參數(shù)與溫度測量點的個數(shù)呈倍數(shù)關系，不利于嵌入到機床的數(shù)控系統(tǒng)進行應用。

美國學者M A DONMEY等提出主軸熱變形誤差通用模型[11]：

ΔEi=a0+a1ΔTi+a2(ΔTi)2+a3(ΔTi)3

(1)

式中：ΔEi為i時刻的熱誤差變化量的預測值；a0、a1、a2、a3為參數(shù)；ΔTi為i時刻的溫度變化量。

該模型為熱誤差的補償建模提供了一種思路，它是冪函數(shù)的近似逼近。且該模型只需單個溫度傳感器數(shù)據(jù)，其內(nèi)部參數(shù)僅有4個，易于嵌入數(shù)控系統(tǒng)，但該模型為三階冪函數(shù)，泛化能力較差，其輸入的溫度數(shù)據(jù)取決于當前時刻的溫度數(shù)據(jù)，沒有考慮機床熱特性和熱滯后等問題。

為了解決該模型上述問題，本文作者修正該模型，將三階冪函數(shù)修改成變階冪函數(shù)，使得模型的泛化能力更好，結合滿兵等人[12]和屈力剛等[13]對溫度數(shù)據(jù)的優(yōu)化分析，將模型的輸入增加前一時刻的溫度數(shù)據(jù)，一定程度上解決了熱滯后問題，同時，保留該模型只需單個溫度傳感器數(shù)據(jù)的特點。

文中修正模型(T模型)結合智能優(yōu)化算法，利用智能優(yōu)化的遺傳算法全局尋優(yōu)，避免模型陷入局部極值，設計混合編碼使得遺傳算法能同步辨識T模型的所有參數(shù)，加快建模效率。基于上述思想，提出一種遺傳算法優(yōu)化T模型的主軸熱誤差辨識模型(GA-T主軸熱誤差辨識模型)。

1 GA-T主軸熱誤差辨識模型

1.1 修正模型(T模型)分析

將提到的通用模型加入前一時刻的溫度變化量，將三階冪函數(shù)修正為變階冪函數(shù)，其修正模型如下：

(2)

式中：αj、βk、C為參數(shù)；ΔTi-1為i-1時刻的溫度變化量。T模型考慮了上一時刻的溫度變化量，能夠更好地處理機床熱滯后問題。

1.2 GA-T熱誤差建模分析

遺傳算法通過模擬自然進化的過程，根據(jù)自然界適者生存的機制，使種群不斷進化，從而得到全局最優(yōu)解或接近全局最優(yōu)解的解。其算法流程如圖1所示。

圖1 遺傳算法流程

從圖1可以看出：遺傳算法主要由4個操作(父代選擇、交叉、變異和更新種群)和1個收斂條件組成。其中每個操作都影響物種多樣性，物種多樣性保持得好，算法就不易于陷入局部極值，而收斂條件決定了算法的效率和精度。

如公式(2)所示，T模型只需要單個溫度傳感器數(shù)據(jù)即可預測主軸軸向熱誤差，模型內(nèi)部參數(shù)個數(shù)為n+m+3，能夠適用于寄存器較少的數(shù)控系統(tǒng)。

由公式(2)得知，T模型需要辨識的參數(shù)有正整數(shù)n、m，向量α、β和實數(shù)C。為了使遺傳算法和T模型結合，設計混合編碼作為遺傳算法的個體基因，定義為(n，m，α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βm，C)。

由圖1得知，進行父代選擇時，需要計算個體適應值。文中將預測的熱誤差變化量累加得到當前時刻機床主軸軸向熱誤差的預測值E，再將預測值E與實際值的最大殘差的倒數(shù)作為個體適應值，讓預測值與實際值的最大殘差降到最低，提高模型預測機床熱誤差的穩(wěn)定性，從而提高機床平均加工精度。當前時刻的機床主軸軸向熱誤差預測值函數(shù)和遺傳算法的個體適應值函數(shù)如公式(3)和公式(4)所示：

(3)

式中：Ej為j時刻機床主軸軸向熱誤差的預測值。

(4)

式中：fk為個體k的適應值；ek{N}為個體k的所有預測殘差。

遺傳算法的種群經(jīng)過若干代進化后，選擇最佳個體(個體適應值最大的個體)，解碼后作為T模型的參數(shù)，其流程如圖2所示。

圖2 GA-T模型流程

1.3 GA-T熱誤差建模優(yōu)化

為了使GA-T模型的精度更高，建模速度更快，文中對遺傳算法進一步優(yōu)化。

圖2所示的GA-T模型中，交叉操作是影響模型精度的關鍵因素，而收斂條件對模型的效率和精度都有直接影響。文中優(yōu)化交叉操作以及收斂條件的設置。

1.3.1 基于物種多樣性保持的交叉操作優(yōu)化方法

在交叉操作中，應保持物種多樣性，避免收斂到局部最優(yōu)。本文作者設計了基于物種多樣性保持的交叉操作優(yōu)化方法，根據(jù)個體適應值進行父代選擇，得到兩個父代個體，并進行隨機交叉生成兩個子代個體，使兩個子代個體基因的并集等于兩個父代個體基因的并集，保持了物種多樣性，再計算兩個子代個體的適應值，選出較優(yōu)的子代個體作為下一代。其流程如圖3所示。

圖3 交叉操作流程

圖中，由選擇操作得到兩個父代個體，對兩個父代個體的每位基因進行隨機交叉，生成子代個體。

1.3.2 自適應收斂條件

收斂條件決定了遺傳算法的進化次數(shù)。通常，將固定進化次數(shù)作為遺傳算法的收斂條件，但由于無法判斷算法何時收斂，故只能適當增加進化次數(shù)，提高模型精度。

文中設計自適應收斂條件，即當種群連續(xù)進化若干代后，仍未有更好的個體(最佳適應值沒有更新)出現(xiàn)時，結束遺傳算法。

訓練自適應收斂條件的GA-T模型時，無需提前設置進化次數(shù)。對比固定進化次數(shù)的收斂條件，自適應收斂條件可以讓模型的效率變高，面對不同熱誤差數(shù)據(jù)時泛化性更強。

2 實驗與驗證

2.1 實驗環(huán)境搭建

以某型號三軸數(shù)控機床為研究對象，搭建了熱誤差建模與實驗驗證平臺。機床實切加工，將加工好的工件用三坐標測量儀測量加工誤差。利用溫度傳感器采集主軸前端溫度，如圖4、圖5所示。

圖4 加工工件

圖5 溫度傳感器布置位置

從圖4可知：工件每個凹槽有兩個深度，其中較深的深度標準值為7 mm，另一個為5 mm。

2.2 實驗數(shù)據(jù)采集

圖4所示的每個凹槽的加工時間為3 min，故每3 min記錄一次溫度數(shù)據(jù)，共加工123 min。機床加工結束后，將在三坐標測量儀測量整個工件每個凹槽的深度，再將測量數(shù)據(jù)整理成熱誤差數(shù)據(jù)。熱誤差數(shù)據(jù)和溫度數(shù)據(jù)如圖6所示。

圖6 機床溫度、熱誤差數(shù)據(jù)

圖6為機床實切采集的一組數(shù)據(jù)，溫度從23.7 ℃升溫到28.4 ℃，熱誤差從0 μm增長到59 μm。

2.3 GA-T熱誤差模型與神經(jīng)網(wǎng)絡模型訓練對比

2.3.1 GA-T熱誤差建模

GA-T模型里，遺傳算法種群規(guī)模為30，高斯分布初始化，變異率為0.1，收斂條件為自適應收斂條件。

為了評估模型，引入了平均絕對誤差(MAE)、最大絕對殘差(MAX)和擬合優(yōu)度(R2)。其公式如下：

(5)

eMAX=max (e{N})

(6)

式中：e{N}為絕對殘差集合。

(7)

訓練好的GA-T模型，其預測熱誤差與實際熱誤差的曲線如圖7所示。

圖7 GA-T模型預測值與實際值曲線

從圖7可知：GA-T模型的擬合能力很強，最大絕對殘差為3.41 μm，平均絕對誤差為1.57 μm。

2.3.2 神經(jīng)網(wǎng)絡熱誤差建模

神經(jīng)網(wǎng)絡采用2-10-1的網(wǎng)絡架構，訓練次數(shù)為1 000，進步率為0.01，采用Adam優(yōu)化器，訓練集與GA-T模型的訓練集一致，其預測熱誤差與實際熱誤差的曲線如圖8所示。

圖8中：神經(jīng)網(wǎng)絡模型的最大絕對殘差為14.28 μm，平均絕對誤差為9.45 μm。

2.3.3 兩個模型的訓練對比小結

由圖7和圖8可以看出：模型輸入為單溫度傳感器的數(shù)據(jù)時，GA-T模型的平均誤差和最大誤差皆小于神經(jīng)網(wǎng)絡模型，GA-T模型預測精度高，擬合能力強。

2.4 GA-T熱誤差模型與神經(jīng)網(wǎng)絡模型實切數(shù)據(jù)對比

在某型號三軸機床上，采集兩組工件實切數(shù)據(jù)，用上述訓練好的兩個模型做4組實驗。第1組和第2組使用第1組機床實切采集的溫度數(shù)據(jù)作為模型輸入，分別使用神經(jīng)網(wǎng)絡模型和GA-T模型預測機床熱誤差，計算實際值與預測值的MAE和MAX。第3組和第4組使用第2組機床實切采集的溫度數(shù)據(jù)作為模型輸入，其余與第1組和第2組一致。對比結果如表1所示。

表1 兩個模型測試對比 單位：μm

從表1可以看出：GA-T模型對機床主軸軸向熱誤差的預測遠優(yōu)于神經(jīng)網(wǎng)絡模型，GA-T模型最大預測誤差均在10 μm，而神經(jīng)網(wǎng)絡模型在20 μm左右。

3 總結

(1)針對基于單個溫度傳感器數(shù)據(jù)的熱誤差模型現(xiàn)存的問題，提出了GA-T模型。設計混合編碼，使遺傳算法和T模型相結合。該模型利用遺傳算法全局尋優(yōu)，更好地避免陷入局部最小值。設計基于物種多樣性保持的交叉操作優(yōu)化方法，提高模型精度。設計自適應收斂條件，加快建模效率。

(2)GA-T模型的輸入只需單個溫度傳感器數(shù)據(jù)，且模型自身的參數(shù)少，易于嵌入機床數(shù)控系統(tǒng)。

(3)通過某型號三軸機床熱誤差測試平臺搭建與實切實驗，針對機床主軸軸向熱誤差，進行實際建模分析與對比，GA-T模型各項性能指標均大幅領先神經(jīng)網(wǎng)絡模型，且具有泛化性強、建模時間短、參數(shù)可選范圍廣和預測精度高等優(yōu)點。