基于數(shù)學(xué)邏輯一致性設(shè)計(jì)前后連貫的課堂教學(xué)

吳海燕 吳增生

摘? 要：數(shù)學(xué)具有整體性，數(shù)學(xué)內(nèi)容之間具有內(nèi)在的邏輯一致性. 這種邏輯一致性引領(lǐng)著知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程. 在冪的乘方運(yùn)算中，其構(gòu)成要素（底數(shù)和指數(shù)）的變化規(guī)律來(lái)源于乘方的定義和乘法運(yùn)算律，這就是冪的乘方運(yùn)算法則發(fā)生、發(fā)展的數(shù)學(xué)內(nèi)在邏輯. 依據(jù)這種數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的內(nèi)在邏輯的一致性，可以設(shè)計(jì)出具有數(shù)學(xué)整體性、前后連貫、邏輯一致的教學(xué)過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生自然、合理地發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題，進(jìn)行邏輯連貫的數(shù)學(xué)思考與表達(dá). 文章以積的乘方運(yùn)算的教學(xué)為例，研究如何利用這種數(shù)學(xué)的邏輯一致性進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).

關(guān)鍵詞：積的乘方；教學(xué)研究；邏輯一致性

作者簡(jiǎn)介：吳海燕（1983— ），女，一級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究；

吳增生 （1962— ），男，正高級(jí)教師，浙江省特級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育研究.

正整數(shù)指數(shù)冪的乘法運(yùn)算是整式乘法運(yùn)算法則的邏輯出發(fā)點(diǎn)，而正整數(shù)指數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則是基于乘方的定義及乘法交換律和結(jié)合律. 冪的乘法運(yùn)算研究的內(nèi)容是同底數(shù)冪相乘，研究的是底數(shù)相同的冪的乘法運(yùn)算中指數(shù)的變化規(guī)律，它的邏輯基礎(chǔ)是乘方運(yùn)算的定義和乘法結(jié)合律. 冪的乘方運(yùn)算研究的是底數(shù)和指數(shù)都相同的冪的乘法運(yùn)算，表現(xiàn)出底數(shù)不變性和指數(shù)的變化規(guī)律，它來(lái)自于同底數(shù)冪相乘的運(yùn)算，更基礎(chǔ)地，還可以看作來(lái)源于乘方的定義和乘法結(jié)合律，是用歸納的方法得到的. 積的乘方運(yùn)算研究的是底數(shù)不同、指數(shù)相同的冪的乘法運(yùn)算（在冪的乘方運(yùn)算中用ab…d代替冪的乘方運(yùn)算中的am），這一性質(zhì)的邏輯基礎(chǔ)還是乘法運(yùn)算律（交換律、結(jié)合律）和乘方的定義，以及冪的乘法運(yùn)算.

其中，冪的乘法運(yùn)算為：

冪的乘方運(yùn)算為：

積的乘方運(yùn)算為：

事實(shí)上，這種冪的乘法運(yùn)算下的其構(gòu)成要素（底數(shù)和指數(shù)）的變化規(guī)律就是冪的乘法運(yùn)算的研究?jī)?nèi)容，而乘方運(yùn)算的定義和乘法運(yùn)算律則是它們發(fā)生發(fā)展的共同邏輯基礎(chǔ)，依據(jù)這種數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的內(nèi)在邏輯一致性，可以設(shè)計(jì)出具有數(shù)學(xué)整體性、前后連貫、邏輯一致的教學(xué)過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生自然、合理地發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題，進(jìn)行邏輯連貫的數(shù)學(xué)思考與表達(dá).

“14.1.3 積的乘方”是人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第14章“整式的乘法與因式分解”第1節(jié)最后一個(gè)課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容. 筆者嘗試從數(shù)學(xué)內(nèi)容的整體性和邏輯一致性出發(fā)設(shè)計(jì)教學(xué)，體現(xiàn)單元教學(xué)內(nèi)容中的整體性和前后連貫性.

一、分析教學(xué)內(nèi)容

整式的乘法是建立在冪的運(yùn)算性質(zhì)的基礎(chǔ)上，結(jié)合運(yùn)算律得到的，要研究整式的乘法運(yùn)算，必須先研究?jī)绲某朔ㄟ\(yùn)算. 從冪的構(gòu)成要素（底數(shù)和指數(shù)）角度看，同底數(shù)冪相乘是基于乘方的定義和乘法結(jié)合律研究若干個(gè)底數(shù)相同的冪的乘法運(yùn)算，如果這若干個(gè)冪的指數(shù)也相同，則就是冪的乘方；在冪的乘方中，如果把底數(shù)中的冪變成不同因數(shù)的積，就變成積的乘方. 因此，本節(jié)內(nèi)容是在同底數(shù)冪相乘和冪的乘方運(yùn)算的基礎(chǔ)上，融合兩者得到的. 基于這種數(shù)學(xué)內(nèi)在的邏輯一致性設(shè)計(jì)前后連貫的課堂教學(xué)，可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性，這是進(jìn)行單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)的有效方法.

因此，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：在研究積的乘方法則過(guò)程中，提出問(wèn)題，推導(dǎo)公式，通過(guò)這兩種數(shù)學(xué)活動(dòng)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力和推理能力，在法則應(yīng)用的過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)和運(yùn)算能力.

二、確定教學(xué)目標(biāo)

1. 教學(xué)目標(biāo)

（1）理解并準(zhǔn)確掌握積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，熟練應(yīng)用這一性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力.

（2）在發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)冪的運(yùn)算性質(zhì)的過(guò)程中，能把具體數(shù)的運(yùn)算和運(yùn)算律應(yīng)用于字母運(yùn)算，發(fā)展學(xué)生的抽象能力和歸納能力，體會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想和轉(zhuǎn)化思想.

（3）會(huì)反思和總結(jié)學(xué)習(xí)方法，體會(huì)代數(shù)性質(zhì)研究的一般觀念，通過(guò)合作交流分享觀點(diǎn)，總結(jié)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

2. 教學(xué)目標(biāo)解析

達(dá)成教學(xué)目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：能用積的乘方性質(zhì)進(jìn)行正確的運(yùn)算，并能辨別與同底數(shù)冪乘法及冪的乘方性質(zhì)的區(qū)別與聯(lián)系.

達(dá)成教學(xué)目標(biāo)（2）的標(biāo)志是：學(xué)生能類比冪的乘方性質(zhì)的推導(dǎo)過(guò)程嘗試推導(dǎo)出積的乘方性質(zhì)，能說(shuō)出推導(dǎo)的依據(jù)；能用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言準(zhǔn)確表述性質(zhì)的含義，并能抓住性質(zhì)的本質(zhì)，即改變運(yùn)算順序.

達(dá)成教學(xué)目標(biāo)（3）的標(biāo)志是：會(huì)總結(jié)研究的方法，會(huì)分析同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方及積的乘方三種運(yùn)算之間的邏輯關(guān)系.

三、確定教學(xué)難點(diǎn)

積的乘方性質(zhì)的得出需要經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題、分析與解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)活動(dòng). 總結(jié)前面學(xué)習(xí)的兩個(gè)冪的運(yùn)算性質(zhì)，如果從冪的結(jié)構(gòu)上分析，它們都是研究底數(shù)相同的冪進(jìn)行乘法運(yùn)算后，積的“底數(shù)”的不變性和“指數(shù)”的變化規(guī)律（同底數(shù)冪相乘——底數(shù)相同、指數(shù)不一定相同，冪的乘方——底數(shù)相同、指數(shù)相同）. 從數(shù)學(xué)的內(nèi)部發(fā)展來(lái)看，接下來(lái)我們要研究指數(shù)相同、底數(shù)不同的因式的變化規(guī)律，即把冪的乘方公式[amn=am · am · … · amn個(gè)am=amn]中的am用不同的底數(shù)ab…d代替，從而提出問(wèn)題“[ab…dn=]? ? ? ”. 如果學(xué)生對(duì)前面兩個(gè)性質(zhì)的學(xué)習(xí)不能從結(jié)構(gòu)上歸納是研究底數(shù)相同、指數(shù)變化的問(wèn)題，就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生提出問(wèn)題存在困難；在研究“[abn]=? ? ? ?”的過(guò)程中，學(xué)生能類比前面兩個(gè)冪的性質(zhì)的探究方式（通過(guò)舉例、歸納猜想、推導(dǎo)公式等方式），但是會(huì)在用語(yǔ)言描述積的乘方性質(zhì)及建立三個(gè)性質(zhì)的聯(lián)系時(shí)遇到困難. 解決這些困難依然需要從冪的構(gòu)成要素（底數(shù)、指數(shù)）上分析. 冪的乘法運(yùn)算的這三個(gè)公式不僅抽象，而且易混淆、出錯(cuò). 如果學(xué)生單純記憶這些公式，在運(yùn)算過(guò)程中極易混淆出錯(cuò). 因此，教師需要引導(dǎo)學(xué)生從冪的結(jié)構(gòu)來(lái)分析其底數(shù)和指數(shù)的變化規(guī)律，使學(xué)生理解每種運(yùn)算的意義，在此基礎(chǔ)上通過(guò)辨別和訓(xùn)練掌握這三個(gè)運(yùn)算的性質(zhì).

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：提出積的乘方的研究問(wèn)題，推導(dǎo)積的乘方的運(yùn)算公式，理解三個(gè)冪的運(yùn)算公式之間的區(qū)別與聯(lián)系.

四、設(shè)計(jì)教學(xué)整體框架

本節(jié)課的教學(xué)整體思路如下.

首先，引導(dǎo)學(xué)生回顧前兩節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容——同底數(shù)冪相乘和冪的乘方，分析它們之間的內(nèi)在聯(lián)系. 同底數(shù)冪相乘的公式為[am ? an]=[am+n]，進(jìn)一步特殊化，可得[am · am · … · amn個(gè)am=amn=amn;] 冪的乘方公式[amn]=[amn]的實(shí)質(zhì)是[a · a · …· am個(gè)an]=[amn]=[amn]. 在此基礎(chǔ)上提出問(wèn)題：若底數(shù)不同，該怎樣計(jì)算[ab…dm個(gè)ab…dn]呢？把底數(shù)簡(jiǎn)化為兩個(gè)不同的數(shù)，就可以提出我們本節(jié)課要研究的問(wèn)題，即“[abn]=? ? ?”，流程圖如圖1所示.

其次，運(yùn)用乘方的定義和乘法運(yùn)算律，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出積的乘方公式，并進(jìn)一步推廣到一般.

而后，在公式辨別的基礎(chǔ)上用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，讓學(xué)生說(shuō)算理、說(shuō)蘊(yùn)含的思想方法（轉(zhuǎn)化思想）.

最后，從本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容、研究過(guò)程和研究方法等角度引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)、分享.

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1. 復(fù)習(xí)導(dǎo)入，發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題

問(wèn)題1：本章我們著重研究整式的乘法運(yùn)算，前兩節(jié)課我們做了哪些準(zhǔn)備？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧同底數(shù)冪相乘及冪的乘方的性質(zhì)，并利用PPT展示如圖2所示的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過(guò)觀察與思考，發(fā)現(xiàn)同底數(shù)冪相乘的結(jié)果還是冪，體會(huì)數(shù)學(xué)運(yùn)算可以使結(jié)果更簡(jiǎn)潔，也為本節(jié)課積的性質(zhì)的探究作準(zhǔn)備.

問(wèn)題2：前面學(xué)習(xí)的兩個(gè)冪的性質(zhì)從冪的結(jié)構(gòu)角度進(jìn)行分析，都是研究底數(shù)相同的冪的相乘（指數(shù)不一定相同——同底數(shù)冪相乘，指數(shù)相同——冪的乘方）中，積的底數(shù)不變性和指數(shù)的變化規(guī)律. 從數(shù)學(xué)的內(nèi)部發(fā)展來(lái)說(shuō)，你覺(jué)得接下來(lái)要做什么樣的研究？

教師引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出：研究指數(shù)不變（相同）、底數(shù)不同時(shí)對(duì)運(yùn)算結(jié)果的影響.

追問(wèn)1：冪的乘方運(yùn)算（am）n中，當(dāng)指數(shù)不變時(shí)，從乘方的意義角度你能說(shuō)說(shuō)它的底數(shù)可以怎樣變化嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出：底數(shù)中的冪實(shí)質(zhì)上是幾個(gè)相同因式的乘積，即[a · a · …· am個(gè)an]，接下來(lái)應(yīng)該研究底數(shù)是不同因式的乘積的冪的運(yùn)算，如[ab…dn].

追問(wèn)2：數(shù)學(xué)的研究總是遵循從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的規(guī)律，你覺(jué)得我們應(yīng)該從幾個(gè)不同因式的積開(kāi)始研究？

師生活動(dòng)：學(xué)生能夠回答從兩個(gè)不同因式的積開(kāi)始研究. 教師板書課題——14.1.3 積的乘方.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)以上復(fù)習(xí)引入過(guò)程，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)內(nèi)部邏輯的發(fā)展指引著數(shù)學(xué)的研究方向，體會(huì)數(shù)學(xué)研究從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的發(fā)展過(guò)程.

2. 分析和解決問(wèn)題

問(wèn)題3：你能類比前面學(xué)習(xí)的兩個(gè)冪的性質(zhì)的探究過(guò)程，說(shuō)說(shuō)我們應(yīng)該怎樣研究積的乘方嗎？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生用類比的方法進(jìn)行探究. 先從冪的結(jié)構(gòu)出發(fā)，發(fā)現(xiàn)底數(shù)是兩個(gè)不同因式的積時(shí)，指數(shù)可以是任意數(shù). 指數(shù)n從最簡(jiǎn)單的、具體的數(shù)入手，如1，2，3，…通過(guò)列舉[5×31，] [5×32，] [2×43]等例子，讓學(xué)生基于數(shù)的運(yùn)算形成初步的直覺(jué).

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)的基本研究方法是從特殊到一般、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜.

追問(wèn)1：要把上述數(shù)的運(yùn)算的規(guī)律推廣到一般，通常要借助字母表示數(shù)，你能說(shuō)說(shuō)[ab2， ab3，][ ab4]的運(yùn)算結(jié)果嗎？得出這個(gè)結(jié)果的依據(jù)是什么？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生類比前兩個(gè)冪的性質(zhì)的研究，從乘方意義的角度來(lái)算一算. 師生一起完成[ab2]的運(yùn)算，學(xué)生獨(dú)立完成[ab3]= a3b3和[ab4]= a4b4的運(yùn)算.

[ab2]

= [ab · ab]（乘方的意義）

= [a · a · b · b]（乘法交換律，結(jié)合律）

= a2b2 （乘方的意義或同底數(shù)冪相乘的性質(zhì)）

追問(wèn)2：你能歸納、猜想[abn]的運(yùn)算結(jié)果嗎？

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生從式子的結(jié)構(gòu)分析、歸納共性，得出猜想 [abn] = anbn.

追問(wèn)3：你能推導(dǎo)出你的猜想嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生在練習(xí)本上完成公式推導(dǎo)，并說(shuō)出每一步的依據(jù).

推導(dǎo)過(guò)程如下：

追問(wèn)4：你能用文字語(yǔ)言描述得到的結(jié)論嗎？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生從式子的結(jié)構(gòu)出發(fā)用文字語(yǔ)言描述，進(jìn)一步明確公式中a，b，n的取值范圍.

積的乘方的性質(zhì)：積的乘方等于把積中每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘.

追問(wèn)5：你覺(jué)得這句話中哪些字、詞比較重要？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生解讀性質(zhì)，關(guān)注“每一個(gè)、分別、乘方”等詞. 從運(yùn)算的角度分析得出“積的乘方 = 乘方的積”，歸納這個(gè)公式的本質(zhì)，即改變了運(yùn)算的順序.

追問(wèn)6：我們已經(jīng)完成了兩個(gè)不同因式的積的乘方性質(zhì)的推導(dǎo)，你能推廣到一般，說(shuō)出幾個(gè)不同因式的積的情況嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生能夠獨(dú)立得到公式[ab…dn]= anbn…dn.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)以上過(guò)程讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的研究方法是從特殊到一般再進(jìn)行推廣. 性質(zhì)的得出需要借助推理，性質(zhì)的完備需要考慮各字母的取值范圍，性質(zhì)的理解需要逐字解讀、符號(hào)化表示、文字描述. 性質(zhì)的理解是應(yīng)用的前提.

問(wèn)題4：你能說(shuō)說(shuō)得出這一性質(zhì)經(jīng)歷了哪些過(guò)程嗎？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出本節(jié)課中研究積的乘方的過(guò)程，即“提出問(wèn)題—特殊化—邏輯推導(dǎo)—?dú)w納推廣—表達(dá)結(jié)論”.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題4引導(dǎo)學(xué)生提煉代數(shù)法則和公式研究的一般方法.

3. 辨別應(yīng)用，鞏固新知

問(wèn)題5：運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決例1，并思考“運(yùn)算時(shí)要注意什么？運(yùn)算性質(zhì)的本質(zhì)是什么？”

例1? 計(jì)算.

（1）[2a3; ] （2）[-5b3; ]

（3）[12xy22;] （4）[-2x34. ]

師生活動(dòng)：學(xué)生自行嘗試運(yùn)算，教師巡視并選擇出現(xiàn)代表性錯(cuò)誤的學(xué)生板演展示第（1）（2）小題的運(yùn)算過(guò)程.

師生分析、總結(jié)注意要點(diǎn)：數(shù)字因數(shù)容易漏乘；結(jié)果要化到最簡(jiǎn)形式；注意符號(hào).

第（3）（4）小題由教師示范分析和解答. 對(duì)于第（3）小題，教師需要強(qiáng)調(diào)：計(jì)算此類3個(gè)因式的積時(shí)，要注意數(shù)字因式，包含數(shù)字因式在內(nèi)的每個(gè)因式都要乘方. 在此基礎(chǔ)上，闡述運(yùn)算依據(jù)——乘方的定義和乘法運(yùn)算律；明確公式的本質(zhì)——改變運(yùn)算順序；明確指導(dǎo)思想——化繁為簡(jiǎn)，化新為舊.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過(guò)應(yīng)用性質(zhì)，思考應(yīng)用的條件，從而厘清性質(zhì)，突破疑惑，總結(jié)易錯(cuò)點(diǎn)和注意點(diǎn)，理解公式的本質(zhì)，以及應(yīng)用公式運(yùn)算過(guò)程中的轉(zhuǎn)化思想.

練習(xí)1：計(jì)算.

（1）[3b3;] （2）[-2x2y2;]

（3）[x+yx-y5;] （4）[-2×1022.]

師生活動(dòng)：學(xué)生在3分鐘內(nèi)獨(dú)立完成練習(xí)1. 教師巡視，當(dāng)多數(shù)學(xué)生完成時(shí)，開(kāi)始小組討論（限時(shí)3分鐘）. 要求每個(gè)小組通過(guò)對(duì)照、辨析將答案統(tǒng)一，并思考出現(xiàn)不同答案的原因.

教師預(yù)設(shè)：學(xué)生可能會(huì)對(duì)第（3）小題存在疑惑，整體思想存在偏差，可能會(huì)出現(xiàn)和的平方等于平方和的情況. 解決這些問(wèn)題的方法是看計(jì)算的每一步是否有依據(jù).

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)小組合作既可以討論出錯(cuò)的原因，又能使學(xué)生深入理解性質(zhì)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，培養(yǎng)合作精神. 教師要再次提醒學(xué)生解題要關(guān)注的注意點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生形成程序化的解題步驟，即識(shí)運(yùn)算、定順序、遵性質(zhì).

例2? 計(jì)算.

（1）[1510×510]； （2）[0.210×512].

師生活動(dòng)：當(dāng)學(xué)生解題遇到困難時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察底數(shù)之間存在倒數(shù)關(guān)系，思考是否能先將底數(shù)相乘，這需要改變運(yùn)算順序，從而自然想到運(yùn)用積的乘方公式，而且是逆用公式，再讓學(xué)生思考應(yīng)用積的乘方公式要滿足什么條件. 第（2）小題不滿足公式條件，需要先把指數(shù)化為相同的情況再進(jìn)行計(jì)算.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過(guò)逆向應(yīng)用積的乘方公式進(jìn)行運(yùn)算，發(fā)展逆向思維能力和運(yùn)算能力，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想.

例3? 如圖3（a），棱長(zhǎng)為a的正方體的體積為a3.

（1）如圖3（b），將棱長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的a倍，你能求出新的正方體的體積嗎？

（2）如圖3（c），將棱長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的b倍，你能求出新的正方體的體積嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】應(yīng)用積的乘方運(yùn)算解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).

問(wèn)題6：觀察例3的運(yùn)算過(guò)程，思考冪的乘方與積的乘方之間有什么關(guān)系？

師生活動(dòng)：如圖4，原正方體的體積計(jì)算應(yīng)用了乘方的定義，或者同底數(shù)冪乘法；第（1）小題中的算式是3個(gè)相同冪的積，應(yīng)用了積的乘方公式；第（2）小題中的算式是3個(gè)ab的積，也應(yīng)用了積的乘方公式. 進(jìn)一步地，引導(dǎo)學(xué)生把這種邏輯關(guān)系推廣到一般，即底數(shù)相同的冪相乘，就是同底數(shù)冪相乘，若每個(gè)冪的底數(shù)和指數(shù)分別相同，則是冪的乘方；當(dāng)冪的乘方中底數(shù)一般化，變成不同時(shí)，冪的乘方就轉(zhuǎn)化為積的乘方；而當(dāng)積的乘方中底數(shù)特殊化為相同時(shí)就是冪的乘方，結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)如圖5所示.

【設(shè)計(jì)意圖】將例3的結(jié)果進(jìn)一步拓展，使學(xué)生感受冪的運(yùn)算性質(zhì)既相互獨(dú)立又相互聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的整體性與邏輯一致性.

4. 綜合應(yīng)用，鞏固提升

練習(xí)2：計(jì)算[-a3b62+-a2b43.]

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成后，每組派一名學(xué)生板演. 之后師生總結(jié)運(yùn)算步驟，強(qiáng)調(diào)多種運(yùn)算綜合時(shí)要注意運(yùn)算順序.

【設(shè)計(jì)意圖】綜合應(yīng)用冪的運(yùn)算性質(zhì)和合并同類項(xiàng)法則進(jìn)行運(yùn)算，要求明確運(yùn)算對(duì)象，明確運(yùn)算目標(biāo)，選擇合理的算法，理解算理，考查學(xué)生運(yùn)用法則運(yùn)算的能力.

5. 反思提煉，課堂小結(jié)

（1）本節(jié)課中，我們學(xué)習(xí)了哪種冪的運(yùn)算？運(yùn)算時(shí)要注意什么？

（2）我們是怎樣得到這一法則的？

（3）冪的運(yùn)算性質(zhì)之間有什么聯(lián)系與區(qū)別？你覺(jué)得還能研究?jī)绲哪姆N運(yùn)算？

（4）為什么要研究?jī)绲倪\(yùn)算性質(zhì)？

師生活動(dòng)：通過(guò)以上幾個(gè)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的研究?jī)?nèi)容、研究思路及方法，形成如圖6所示的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生整理自己的收獲，相互交流，形成結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系.

六、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)

1. 判斷下列的計(jì)算是否正確，如果錯(cuò)誤，試加以改正.

（1）[ab23=ab6]； （2）[3xy3=9x3y3]；

（3）[--ab22=a2b4]； （4）[-2a22=-4a4].

2. 計(jì)算.

（1）[-3b5]； （2）[12ab4]；

（3）[-2xy3z24]； （4）[3x+y23;]

（5）812 × 0.12513.

3. 已知[xn=5，yn=3，] 求[x2y2n]的值.

4. 如果a ≠ b，且[ap3 · bp + q=a9b5]成立，求p，q的值.

【設(shè)計(jì)意圖】第1題考查學(xué)生對(duì)積的乘方運(yùn)算的意義的理解；第2題考查學(xué)生積的乘方運(yùn)算的性質(zhì)的應(yīng)用，促進(jìn)學(xué)生理解算理；第3題和第4題考查學(xué)生積的乘方運(yùn)算的性質(zhì)的應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力.

七、教學(xué)反思

本節(jié)課教學(xué)最顯著的特點(diǎn)是基于數(shù)學(xué)內(nèi)容的整體性和邏輯一致性設(shè)計(jì)連貫的教學(xué)活動(dòng). 首先，從冪的結(jié)構(gòu)角度分析同底數(shù)冪乘法、冪的乘方公式，底數(shù)相同時(shí)，研究指數(shù)的變化得到同底數(shù)冪相乘的公式，指數(shù)相同、底數(shù)也相同時(shí)的乘法是冪的乘方，在此基礎(chǔ)上提出底數(shù)是不同因式、指數(shù)相同時(shí)的冪的運(yùn)算的研究問(wèn)題——積的乘方運(yùn)算. 其次，學(xué)習(xí)方法上與前面兩個(gè)性質(zhì)的學(xué)習(xí)是一脈相承的，這體現(xiàn)了方法上的一致性. 通過(guò)辨析和實(shí)際應(yīng)用后的總結(jié)，分析了三個(gè)性質(zhì)之間的邏輯聯(lián)系，使學(xué)生理解三個(gè)性質(zhì)之間的邏輯一致性——都是研究?jī)绲某朔ㄟ\(yùn)算中底數(shù)和指數(shù)的變化規(guī)律，都是以乘方的定義和乘法運(yùn)算律為依據(jù)推導(dǎo)出來(lái)的. 通過(guò)這樣的教學(xué)，學(xué)生能在已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上自然、合理地發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，用相同的策略和方法分析和解決問(wèn)題，學(xué)習(xí)連貫的內(nèi)容. 在提出問(wèn)題的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的抽象能力；在積的乘方公式形成過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的抽象能力和推理能力；在應(yīng)用公式推理、計(jì)算的過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的推理能力和運(yùn)算能力. 通過(guò)這樣的教學(xué)，可以將發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)真正落實(shí)到課堂教學(xué)中.

參考文獻(xiàn)：

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