基于函數(shù)關系研究函數(shù)圖象，促進學生深度學習

崔佳佳 王亞婷 范興亞

摘? 要：函數(shù)圖象是研究函數(shù)性質(zhì)的基礎，基本初等函數(shù)的性質(zhì)也是研究新函數(shù)的基礎. 通過代數(shù)推理研究函數(shù)性質(zhì)，可以幫助學生發(fā)現(xiàn)新函數(shù)圖象的發(fā)展趨勢；通過描繪一些關鍵點，能夠幫助學生獲得新函數(shù)圖象. 以研究函數(shù)[y=ax+b][a≠0]為例，通過設置一系列逐層遞進的問題，分析函數(shù)解析式的特點，發(fā)現(xiàn)函數(shù)之間的關系，形成“結(jié)合性質(zhì)畫函數(shù)圖象”的觀念，促進學生深度學習.

關鍵詞：函數(shù)關系；函數(shù)性質(zhì)；函數(shù)圖象

基金項目：北京市教育學會“十四五”教育科研課題——大概念視角下初中函數(shù)單元教學實踐研究（ZXSXYB2021—025）.

作者簡介：崔佳佳（1977— ），女，高級教師，主要從事中學數(shù)學教育教學研究；

王亞婷（1996— ），女，二級教師，主要從事中學數(shù)學教學研究；

范興亞（1981— ），男，高級教師，主要從事數(shù)學教育及代數(shù)學研究.

函數(shù)是描述客觀世界中變量關系和規(guī)律的基本數(shù)學語言和工具，是初中階段的核心內(nèi)容之一. 在對函數(shù)的研究中，函數(shù)圖象扮演著重要角色，往往通過觀察和分析函數(shù)圖象的特征得到函數(shù)的一些性質(zhì). 在教學中，學生習慣于通過列表、描點、連線來畫函數(shù)圖象，通過觀察函數(shù)圖象得出函數(shù)性質(zhì). 這種處理能發(fā)揮函數(shù)圖象的幾何直觀作用，但也會給學生造成一些負遷移. 一些學生會形成“有了函數(shù)圖象才有函數(shù)性質(zhì)”“函數(shù)性質(zhì)是由函數(shù)圖象得到的”等錯誤觀念. 因此，如何在教學中有意識地滲透從函數(shù)解析式的角度利用代數(shù)推理研究函數(shù)的性質(zhì)，使得學生在積累了一定的知識后形成“結(jié)合性質(zhì)畫函數(shù)圖象”的觀念，成為擺在我們面前的一個重要問題. 以下是基于函數(shù)關系的函數(shù)圖象教學實踐研究，以及產(chǎn)生的一些思考.

一、一節(jié)研究課引發(fā)的思考

在學習了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)后，一位教師結(jié)合學生遇到的問題“[y=-x2+2x-1]是不是二次函數(shù)？”設計了一節(jié)研究課，開展對這類函數(shù)的研究. 筆者發(fā)現(xiàn)，當解決“如何得到函數(shù)[y=-x2+2x-1]的圖象？”這一問題時，大部分學生仍采用列表、描點、連線的方法畫圖象. 在教師的引導下，一部分學生關注到了該函數(shù)與已學過的函數(shù)之間有一定的聯(lián)系，如函數(shù)[y=ax2]就是函數(shù)[y=ax2]；還有一部分學生想到類比[y=-x-12=-x-12，? ?x≥0，-x+12，? ?x<0] 將函數(shù)[y=-x2+2x-1]轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，其圖象由兩個二次函數(shù)的部分圖象組成……在聽課過程中，隨著學生對函數(shù)[y=-x2+][2x-1]的研究的展開，筆者也產(chǎn)生了一些疑問.

疑問1：初中學生對畫函數(shù)圖象積累了哪些經(jīng)驗？這些經(jīng)驗是如何獲得的？

疑問2：采用列表、描點、連線的方法畫函數(shù)圖象時，學生如何確定應該選取哪些點？這有限個點是否具有代表性？有了這有限個點，學生如何連線？

疑問3：如果將圖象上的點密度加大，甚至使用畫圖軟件或圖形計算器直接畫出函數(shù)圖象，有什么優(yōu)勢和弊端？

疑問4：在學習完一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)這三類函數(shù)之后，學生已經(jīng)經(jīng)歷了三次用列表、描點、連線的方法畫函數(shù)圖象并觀察圖象得到性質(zhì)（由形到數(shù)）的過程，奠定了函數(shù)圖象是函數(shù)性質(zhì)的基礎的觀念. 但是，學生對如何取點、如何連線及如何描述函數(shù)的性質(zhì)還缺乏系統(tǒng)的經(jīng)驗. 為了給高中階段后續(xù)學習打下堅實的基礎，有必要思考是否能通過分析函數(shù)性質(zhì)“倒推”得出函數(shù)的大致圖象（由數(shù)得形）.

筆者認為，研究函數(shù)性質(zhì)應強調(diào)數(shù)形結(jié)合，即綜合運用代數(shù)運算和函數(shù)圖象. 初中階段，學生主要通過函數(shù)圖象直觀得出函數(shù)性質(zhì)的定性描述，是比較粗糙的. 高中階段，學生在圖象直觀的基礎上通過代數(shù)運算得到函數(shù)性質(zhì)的定量刻畫，是更加準確的. 初中階段研究函數(shù)性質(zhì)的基礎是圖象，但準確畫出圖象的大致特征是難點. 如果我們將列表、描點、連線作圖象的方法叫做基本描點作圖法，將利用函數(shù)性質(zhì)倒推出函數(shù)圖象的方法叫做結(jié)合性質(zhì)描點作圖法，顯然，畫出一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象時，用基本描點作圖法一般需要描出多個點，而結(jié)合性質(zhì)描點作圖法畫一次函數(shù)圖象只需描出兩個點，畫二次函數(shù)圖象可能只需要畫出頂點和圖象與坐標軸的交點等關鍵點，結(jié)合對稱性就能展示出函數(shù)圖象的大致特征.

基本描點作圖法是獲得一個函數(shù)圖象的基本方法，也是必備方法. 當學生第一次接觸某種基本初等函數(shù)時，因為知識有限，一般用基本描點作圖法就能得到函數(shù)的圖象. 這種方法的優(yōu)勢是直觀，缺點是煩瑣，如果描繪的點不夠多可能會缺失圖象的一些關鍵點. 利用結(jié)合性質(zhì)描點作圖法畫圖象，需要學生調(diào)動已學的函數(shù)知識，通過觀察函數(shù)解析式的特點，建立函數(shù)與已學函數(shù)之間的聯(lián)系，通過代數(shù)推理分析函數(shù)圖象的大致特征，進而數(shù)形結(jié)合地畫出函數(shù)圖象. 這種作圖方法的優(yōu)勢是能快速、準確地表達關鍵信息，幫助學生調(diào)用、遷移已有函數(shù)學習經(jīng)驗，發(fā)展學生的抽象能力和推理能力，為后續(xù)高中階段相關知識的學習打下良好的基礎. 其缺點是對學生的綜合能力要求較高，部分學生會有較大的認知負擔.

二、基于函數(shù)關系的函數(shù)圖象教學實踐

根據(jù)皮亞杰的建構(gòu)主義理論，教學是激發(fā)學生建構(gòu)知識的過程，是創(chuàng)設或者利用各種情境幫助學生利用先前習得的知識與已有的經(jīng)驗，在當前情境中進行學習和認知. 結(jié)合性質(zhì)描點作圖法并不一定要到九年級復習課或高中函數(shù)學習時才可以應用，實際上，我們可以在簡單的教學素材基礎上滲透該方法. 為了激發(fā)學生主動建構(gòu)函數(shù)關系中的函數(shù)圖象的相關知識，筆者在講完一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)后，帶領學生對函數(shù)[y=ax+b][a≠0]進行研究. 本節(jié)課旨在通過創(chuàng)設研究一次絕對值函數(shù)的新情境，幫助學生利用已有的一次函數(shù)知識和經(jīng)驗，在對函數(shù)[y=ax+b][a≠0]的研究中鞏固基本描點作圖法，主動建立一次絕對值函數(shù)與一次函數(shù)之間的聯(lián)系，掌握兩者之間的轉(zhuǎn)化方法，提升對函數(shù)圖象的認識. 具體的教學過程如下.

環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設情境，引入新知.

教師通過提問引導學生回顧畫函數(shù)y = 2x的圖象的方法.

問題1：怎么畫函數(shù)y = 2x的圖象？

追問1：需要描幾個點呢？

追問2：為什么描兩個點就可以畫出它的圖象？

追問3：列表時，兩個點中有沒有特殊點？

師生活動：學生在回顧了正比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)后，畫出函數(shù)[y=2x]的圖象.

問題2：將解析式右邊的式子加上絕對值符號，得到了新的函數(shù)[y=2x]，它是一次函數(shù)嗎？為什么？

師生活動：教師引導學生嘗試從解析式和圖象兩個角度思考，并說明函數(shù)[y=2x]是否是一次函數(shù).

【設計意圖】從學生熟悉的正比例函數(shù)y = 2x入手，引出新的研究對象——函數(shù)[y=2x]，在學生思維的最近發(fā)展區(qū)創(chuàng)設有認知沖突的情境，激發(fā)學生研究新函數(shù)的興趣.

環(huán)節(jié)2：調(diào)動經(jīng)驗，探究新知.

活動1：研究函數(shù)[y=2x].

師生活動：學生獨立思考，嘗試畫出函數(shù)[y=2x]的圖象. 教師組織學生進行展示和評價交流.

一些學生利用基本描點作圖法畫函數(shù)[y=2x]的圖象，也有一些學生運用代數(shù)知識將[y=2x]轉(zhuǎn)化為[y=2x]和[y=-2x]，畫出兩條直線，但是忽略了轉(zhuǎn)化的前提條件在圖象中的體現(xiàn). 教師組織學生相互評價、解釋說明. 有的學生認為，根據(jù)y的取值范圍，函數(shù)[y=2x]的圖象不應該在x軸的下方.

首先，教師引導學生嘗試從解析式的角度分析函數(shù)[y=2x]的性質(zhì)，并將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象，使學生體會數(shù)形結(jié)合思想. 例如，當自變量取相反數(shù)時，得到的函數(shù)值相等，即其函數(shù)圖象關于y軸對稱.

其次，學生借助分析得到的函數(shù)性質(zhì)和圖象特征改進自己所畫的圖象，并判斷得出函數(shù)[y=2x]不是一次函數(shù)，同時體會到[y=2x]與一次函數(shù)[y=2x]的關系緊密.

最后，師生共同總結(jié)函數(shù)[y=2x]及其圖象的性質(zhì).

【設計意圖】通過畫函數(shù)圖象認識函數(shù)是研究函數(shù)的基本思路，而基本描點作圖法是畫函數(shù)圖象的基本方法. 學習了一些基本初等函數(shù)后，除了直接用基本描點作圖法畫函數(shù)的圖象，還應關注新函數(shù)是否與已學函數(shù)有聯(lián)系，引導學生體會通過對解析式的分析得到函數(shù)及其圖象的一些特征，從而更快速、準確地畫出函數(shù)圖象. 通過評價交流，培養(yǎng)學生批判質(zhì)疑的精神，提升學生的代數(shù)推理和數(shù)學表達能力.

活動2：研究函數(shù)[y=2x-1].

師生活動：學生借鑒從活動1中獲得的經(jīng)驗，嘗試獨立畫出函數(shù)[y=2x-1]的圖象，之后交流成果，師生共同點評.

有的學生采用基本描點作圖法畫函數(shù)[y=2x-1]的圖象，但列表時x的取值都是整數(shù)，忽略了[x=12]這個關鍵值，連線時出現(xiàn)錯誤. 有的學生借鑒活動1的經(jīng)驗，采用結(jié)合性質(zhì)描點作圖法畫圖象，分別采用兩點法畫出函數(shù)[y=2x-1]和[y=-2x+1]的圖象，然后去掉x軸下方的部分，得到函數(shù)[y=2x-1]的圖象. 教師指出用不同方法畫圖象時的注意事項，幫助學生積累解決問題的經(jīng)驗.

追問1：如何由函數(shù)[y=2x-1]的圖象得到函數(shù)[y=2x-1]的圖象？

師生活動：學生觀察這兩個函數(shù)的圖象，從圖象變換的角度建立兩個函數(shù)圖象間的聯(lián)系，并嘗試從絕對值運算、關于x軸對稱的點的特征的角度，數(shù)形結(jié)合地加以解釋和理解.

追問2：對比函數(shù)[y=2x]與函數(shù)[y=2x-1]的圖象，有什么相同點和不同點？

師生活動：學生觀察圖象，從形狀特征、最低點、對稱軸等角度進行概括.

【設計意圖】利用對函數(shù)[y=2x-1]的研究，引導學生主動將在活動1中獲得的經(jīng)驗遷移至對新函數(shù)的研究中，鞏固基本描點作圖法和結(jié)合性質(zhì)描點作圖法，指出兩種方法各自需要關注的要點. 在得到函數(shù)[y=2x-1]的圖象后，引導學生從圖象變換的角度建立函數(shù)圖象間的聯(lián)系；通過對比，概括這類函數(shù)圖象的特征，并運用代數(shù)知識加以分析、推理和解釋，豐富學生認識和研究問題的角度，促進學生對數(shù)形結(jié)合思想的理解和運用，發(fā)展學生的抽象能力和推理能力等.

活動3：研究函數(shù)[y=2x+3].

師生活動：學生利用從活動1和活動2中獲得的經(jīng)驗，從多個角度、用不同方法畫出函數(shù)[y=2x+3]的圖象.

學生可以從絕對值化簡的角度，將函數(shù)[y=2x+3]轉(zhuǎn)化為[y=2x+3，? x≥-32，-2x-3，? ?x<-32;]也可以從圖象變換的角度，建立函數(shù)[y=2x+3]與函數(shù)[y=2x+3]之間的聯(lián)系；還可以根據(jù)活動2中概括得到的這類函數(shù)圖象特征的規(guī)律探究新函數(shù)的圖象；等等.

追問：如何由函數(shù)[y=2x]的圖象得到函數(shù)[y=2x-1]和[y=2x+3]的圖象？

師生活動：教師帶領學生再次從圖象變換的角度發(fā)現(xiàn)和理解這三個函數(shù)圖象之間的關系.

【設計意圖】活動3為學生創(chuàng)設了充分利用習得的經(jīng)驗研究新問題的空間，鼓勵學生利用活動1和活動2的研究經(jīng)驗，思考如何靈活地畫出新函數(shù)的圖象. 通過對比三個含絕對值函數(shù)的圖象，引導學生從平移的角度再次認識函數(shù)圖象之間的關系，進一步促進學生對函數(shù)圖象關系的認識和經(jīng)驗積累.

環(huán)節(jié)3：逐步推廣，拓展應用.

思考：（1）如何畫函數(shù)[y=2x+b]（b為常數(shù)）的圖象？

（2）如何畫函數(shù)[y=kx+3]（k為常數(shù)，k ≠ 0）的圖象？

【設計意圖】思考題的設計是由具體函數(shù)向一般函數(shù)過渡，逐步推廣到研究一類函數(shù)，使思維活躍的學生能有更深的發(fā)展.

本節(jié)課通過對三個一次絕對值函數(shù)圖象的探究，既調(diào)動了學生研究的自主性，利用已有經(jīng)驗從不同的角度思考問題，利用不同的方法解決問題，又體現(xiàn)了教師的引領性，通過學生的展示、評價、交流，調(diào)整和完善學生解決問題的過程，歸納研究方法. 在基本描點作圖法的基礎上，滲透結(jié)合性質(zhì)描點作圖法，即利用函數(shù)性質(zhì)“倒推”出函數(shù)圖象的特征，豐富解決問題的途徑，引領學生高階思維的發(fā)展，增強學生對數(shù)學活動經(jīng)驗的積累和遷移，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

三、基于函數(shù)關系研究函數(shù)圖象的一般路徑

建立客觀世界中運動變化現(xiàn)象的函數(shù)模型，目的是利用數(shù)學知識和方法分析函數(shù)模型，由此發(fā)現(xiàn)事物的變化規(guī)律，進而精確地“預測未來”. 函數(shù)模型的性質(zhì)反映了現(xiàn)實世界中大量事物的變化規(guī)律，具有典型性、普遍性和一般性，所以探索和掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)無論是對現(xiàn)實事物的變化規(guī)律還是對進一步研究新函數(shù)（復雜函數(shù)）都有奠基作用. 高中階段學習的函數(shù)性質(zhì)主要有單調(diào)性、最值、奇偶性、周期性等. 雖然初中生還不能完全理解其嚴格的定義，但是教師可以讓學生嘗試用數(shù)學語言描述函數(shù)性質(zhì). 這里教師需要幫助學生解決“為什么要研究函數(shù)性質(zhì)？”“什么叫函數(shù)性質(zhì)？”“函數(shù)的性質(zhì)主要有哪些？”“如何發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)？”等問題.

教學時，教師可以通過具體例子向?qū)W生說明如下幾點.

（1）通過函數(shù)的變化規(guī)律可以把握客觀世界事物的變化規(guī)律，通過舊函數(shù)的圖象和變化規(guī)律可以推導出新函數(shù)的圖象和變化規(guī)律.

（2）函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)值隨自變量的變化而變化的規(guī)律，變化中的不變性、規(guī)律性就是性質(zhì)，如隨著自變量的增大函數(shù)值是增大還是減小（變化趨勢），有沒有最大值或最小值（特殊意義的取值），函數(shù)圖象有什么特征（主要是對稱性），有沒有其他特殊取值（如與坐標軸的交點），函數(shù)圖象的分布情況（如位于哪個象限），等等.

（3）數(shù)形結(jié)合是主要的研究方法. 如果能畫出函數(shù)的圖象，那么通過觀察和分析圖象的特征，可以得到函數(shù)的一些性質(zhì)；也可以利用代數(shù)知識，通過對函數(shù)表達式的分析和推理得出一些性質(zhì).

例如，對于函數(shù)[y=2x-1]，由絕對值的性質(zhì)可以得到如下結(jié)論.

（1）函數(shù)的零點是[12]；

（2）函數(shù)的圖象在x軸及x軸上方；

（3）函數(shù)[y=2x-1]的圖象可以由[y=2x-1]的圖象保持x軸上方圖象不變，下方圖象向上翻折得到；

（4）用[x-12]代替[y=2x]中的x，得到[y=2x-1]，說明函數(shù)[y=2x-1]的圖象可以由[y=2x]的圖象平移得到；

（5）由于將[12+x]和[12-x]分別代替x代入[y=2x-1]后，y值相等，說明函數(shù)關于直線[x=12]對稱；

……

需要注意的是，學生習慣于利用基本描點作圖法畫函數(shù)圖象、觀察圖象、得出性質(zhì)，在完成一定知識的積累后，教師要鼓勵學生嘗試從不同角度探索函數(shù)圖象，概括函數(shù)性質(zhì)，進一步理解圖象與性質(zhì)之間的聯(lián)系，提高學生歸納概括的能力，形成新的知識體系，并利用新的知識去解決問題. 圖1展示了應用結(jié)合性質(zhì)描點作圖法，利用舊函數(shù)研究新函數(shù)圖象的一般路徑.

四、教學反思與啟示

函數(shù)是初中階段數(shù)學學習的重要內(nèi)容，它是連接代數(shù)與幾何的紐帶. 按照教育家皮亞杰的認知發(fā)展階段劃分，初中生正處于形式運算階段，他們開始具有邏輯運算思維，對于函數(shù)的性質(zhì)探索必須建立在擁有具體圖象的基礎上，但是教師可以引導學生逐步應用函數(shù)的性質(zhì)自主畫出函數(shù)圖象. 而深度學習是要培養(yǎng)學生的高階思維能力，包括應用、分析、評價、創(chuàng)造. 在教學中，教師需要引導學生達成數(shù)學知識的關聯(lián)和抽象拓展建構(gòu)，優(yōu)化學生對數(shù)學方法的認知結(jié)構(gòu)，提高學生對數(shù)學方法的認知水平. 通過對基于函數(shù)關系的函數(shù)圖象教學的實踐，筆者獲得如下思考.

1. 教學內(nèi)容選取要低起點、能深化，貴在促進學生深度學習

深度學習是學生對核心知識的深度理解，以及在問題情境中應用這種理解的能力. 基于對學生的學情分析，設計一個恰當?shù)膯栴}情境，可以為學生創(chuàng)設利用已有知識探究新問題的空間，促進學生主動關注知識間的聯(lián)系，自覺運用相關知識思考、解決問題；通過相互評價、交流，發(fā)展學生的認知體系，提升學生解決問題的能力. 深度學習的載體不一定是一個十分復雜的問題. 在學習了一次函數(shù)之后，一次絕對值函數(shù)就是一個相對簡單又能引發(fā)學生思考的問題. 對這樣的新函數(shù)的研究既能讓學生鞏固一次函數(shù)的相關知識，又能促進學生主動將新問題進行轉(zhuǎn)化.

通過設置如圖2所示的層層深入的拓展性問題，引導學生主動運用和遷移已有學習經(jīng)驗解決新問題，學習新方法，增長新經(jīng)驗，從而促進學生持續(xù)建構(gòu)知識，拓展學生思維的深度和廣度.

在研究問題的過程中，教師既要尊重學生的自主性，給予學生獨立思考、發(fā)揮個性的探究空間，又要有所引領，通過生生、師生間的評價交流，肯定好的想法，完善存在不足的方法，介紹好的做法，加深學生對問題的認識，提高解決問題的效率，增強數(shù)學活動經(jīng)驗，促進學生發(fā)展自己的認知體系.

2. 教學設計要符合學生的認知規(guī)律，不要回避認知沖突

在對具體研究對象進行教學設計的過程中，教師要反復考量問題的設計意圖及其教學功能，既要符合學生的認知規(guī)律，也要具有一定的開放性. 本節(jié)課選取[y=2x-1]作為主要研究對象，其目的是對函數(shù)[y=2x]研究的繼續(xù)推進，多角度體現(xiàn)函數(shù)間的關系，既可以是與函數(shù)[y=2x-1]的聯(lián)系，也可以是與函數(shù)[y=2x]的聯(lián)系. 學生在已有認知基礎上，在對問題解決、反思的過程中，發(fā)現(xiàn)、理解和掌握結(jié)合性質(zhì)描點作圖法.

此外，在教學過程中，我們不能回避學生可能出現(xiàn)的錯誤，適當制造認知沖突對學生的學習有重要意義. 在新舊知識結(jié)合點上產(chǎn)生的問題，最能激發(fā)學生的認知沖突. 學生不知道新函數(shù)圖象的形狀，因此不知道如何取點，在連線過程中不知道應該畫直線還是曲線，最終呈現(xiàn)的圖象很可能各式各樣. 甚至因為所取的都是整數(shù)點，而忽略了[12，0]這個關鍵拐點. 我們不能為了讓學生回避錯誤用[y=2x-2]代替[y=2x-1]. 通過這樣有針對性地創(chuàng)設情境，巧妙設置思維障礙，讓學生經(jīng)歷思維上的挫折，引發(fā)認知沖突，從而激發(fā)學生的研究興趣，發(fā)展學生樂學、善學的素養(yǎng). 同時，能夠促進學生對方法的理解，提升學生正確、靈活運用方法的能力，豐富學生解決問題的經(jīng)驗.

3. 教學過程要以生為本，充分尊重不同層次學生的知識生成

在教學設計時，我們不能僅以新知識如何能被學生順利接受為目標進行教學設計，而要以學生的發(fā)展為本設計教學，準備不同的教學預案. 教學過程中，倡導以學生為主體的教學. 同樣的內(nèi)容在不同程度、不同特點的班級展開教學時，往往可能會呈現(xiàn)不同的教學節(jié)奏、過程和效果.

對于本文提到的一次絕對值函數(shù)的研究，在分層的A1班和A2班教學時，學生的課堂表現(xiàn)就有較大的區(qū)別. A1班學生思維活躍，在對不同方法的理解和運用、知識間聯(lián)系的梳理和建構(gòu)方面表現(xiàn)出較強的自主性. 學生能發(fā)現(xiàn)和建立函數(shù)間的聯(lián)系，探究的開始就采用了結(jié)合性質(zhì)描點作圖法，能準確把握“兩點確定一條直線”，總結(jié)出圖象具有“V”字型特點等. A2班學生在應用初級的基本描點作圖法過程中就存在比較多的漏洞. 教師需要理解學生學習的困難之處，夯實基礎知識.

在教學中，我們必須尊重學生間的差異性，確立不同的學習目標，使用不同的教學方法，提升教學的有效性. 不同班級的教學實踐表明，學生在自發(fā)使用新方法方面有較大的差異，我們要關注不同學生的學習特點和學習規(guī)律，設計恰當?shù)慕虒W內(nèi)容和教學過程，努力使不同的學生都得到不同的發(fā)展.

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［3］王春梅. 活動引領探究? 激發(fā)深度學習：以蘇科版八年級上“一次函數(shù)圖象（1）”為例［J］. 中學數(shù)學月刊，2021（8）：5-7，16.

［4］高瓊. 知識建構(gòu)? 方法遷移? 思想整合：以《二次函數(shù)圖象的應用》為例談深度教學［J］. 教學月刊·中學版（教學參考），2020（12）：26-28.

［5］曾志勇. 深度學習視野下的初中數(shù)學教學：以“反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)”教學為例［J］. 數(shù)學之友，2020（3）：48-51.