“分數(shù)”那些事
——淺談數(shù)學新課標理念下的分數(shù)概念課教學

文|裴云姣

建構(gòu)主義觀點認為：學生的學習是基于原有的知識經(jīng)驗生成意義、構(gòu)建理解的過程。因此，當學生遇到分數(shù)板塊的內(nèi)容時，自然而然地會想到運用整數(shù)知識來進行解決。但是由于分數(shù)內(nèi)容概念形式眾多、意義表達寬泛、應(yīng)用聯(lián)系廣泛、概念表達與運算規(guī)律自成體系，學生很難借鑒整數(shù)的相關(guān)知識；同時由于很多小學教師本身對分數(shù)的相關(guān)知識理解不夠透徹，進一步造成了學生的學習困難，而分數(shù)板塊內(nèi)容的學習障礙還會持續(xù)影響學生后續(xù)的小數(shù)、百分數(shù)等概念和知識的理解與學習。所以，深入學習《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“新課標”），深刻領(lǐng)會新課標強調(diào)的“體會數(shù)是對數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性”就顯得極為重要。

一、新課標要求的現(xiàn)有教材分數(shù)概念單元體系分析

新課標按“內(nèi)容要求、學業(yè)要求、教學提示”三個方面呈現(xiàn)課程要求，表1 是分數(shù)板塊內(nèi)容新課標要求以及在現(xiàn)有教材中的編排特點（以北師大版教材為例）。

表1

從表格中我們發(fā)現(xiàn)，學生初步認識分數(shù)的起點能力雖然是平均分，但在初步認識分數(shù)后，分數(shù)的意義及其內(nèi)涵是今后伴隨學生學習分數(shù)相關(guān)知識的重要基礎(chǔ)，無論是分數(shù)的大小比較與分數(shù)運算，還是分數(shù)與其他知識的關(guān)聯(lián)應(yīng)用，都需要以分數(shù)的意義作為學習的起點。

二、新課標下分數(shù)概念內(nèi)涵的發(fā)展變化

隨著數(shù)學的運用與不斷發(fā)展，人們對分數(shù)本質(zhì)的認識也越來越深，同時學生對分數(shù)的理解也是一個不斷發(fā)展的過程。學生在二年級就學過了物或者圖形的“平均分”，知道了平均分以后的“一份或者幾份”；三年級開始學習分數(shù)的初步認識，著重在于分數(shù)的符號表示、分數(shù)單位（初步認識）、大小比較（同分母）；到了五年級進一步理解并探索分數(shù)的意義、感悟計數(shù)單位、發(fā)展數(shù)感及熟練運算。分數(shù)定義中最常用的是以“部分與整體”引入，但是最為本質(zhì)的應(yīng)該是“除法”的定義，最能引起數(shù)概念一致性體會的當是“度量”（用計數(shù)單位去測量）的定義。

（一）部分與整體的定義（份數(shù)定義）

現(xiàn)行的小學數(shù)學教材中，部分與整體的定義是：把一個或多個物體看作一個整體（或整體“1”），平均分成幾份（m），表示其中的一份或是幾份（n）的數(shù)就叫分數(shù)。這個概念的好處是對于真分數(shù)的引入形象、直觀、易懂，但是在“假分數(shù)”的教學中會形成認知障礙。

（二）除法（商）的定義

商的定義是分數(shù)最為本質(zhì)的定義：a、b兩個數(shù)（b≠0）相除的結(jié)果，如果整除就是整數(shù)，不能整除就是分數(shù)。在學生的前期認知中，平均分就意味著整數(shù)除法，而且是整除。因此從除法運算來引入分數(shù)概念，學生不僅易于接受，而且其他的分數(shù)“商不變性質(zhì)”、分數(shù)運算等就較為容易理解與掌握。

（三）度量的定義

（四）比的定義

從比的定義來看分數(shù)：分數(shù)是兩個整數(shù)的比（值）。從“比的定義”來看分數(shù)，也能勾連起相關(guān)定義的聯(lián)系。比如“份數(shù)定義”中就是“部分與整體之比”；從“商的定義”來看，商本質(zhì)上也是一種比，它可以表示“部分與整體之比”，也可以表示“部分與部分之比”，而且既然可以表示部分與部分之比，那么小于1、等于1、大于1 的分數(shù)均有可能出現(xiàn)。

三、分數(shù)概念學習的相關(guān)障礙及解決策略

隨著學習的不斷加深，分數(shù)概念的表現(xiàn)形式不斷增多，內(nèi)涵與外延也不斷拓展，教師是否一定要引導學生從不同定義向嚴格定義過渡？分數(shù)作為一個數(shù)概念，與整數(shù)、小數(shù)作為數(shù)概念的一致性表現(xiàn)在哪里？分數(shù)作為一種數(shù)，既表示一個絕對的量，又表示一個相對的量（率），量率意義在概念教學中應(yīng)如何把握？分數(shù)概念教學中要注意的關(guān)鍵問題又有哪些？

（一）概念教學要符合階段性、連續(xù)性和整體性相統(tǒng)一

概念教學過程要符合教師教學過程與學生學習過程的統(tǒng)一；符合兒童認知階段性與連續(xù)性的統(tǒng)一；使數(shù)學知識和技能的掌握與兒童的思維能力一致。因此，在分數(shù)的概念教學過程中，我們認為不必急于由不同定義而向嚴格定義（比如商的定義、度量定義）去統(tǒng)一，從學生思維發(fā)展的特點、階段性學習的特點來講，我們更應(yīng)該注意幫助學生在不同時期從不同的角度去理解分數(shù)概念，并在后期努力實現(xiàn)不同概念之間的互補與整合。同時我們看到，從三年級到五年級，從“單個物體看作一個整體”到“多個物體看作一個整體”到“分數(shù)的相對性”以至到“分數(shù)單位”的形成，教材的這一編排特點，使學生所學的知識由淺入深、循序漸進，每個年級既重點突出，又注意前后聯(lián)系。這樣的編排有利于學生從分數(shù)整體知識結(jié)構(gòu)上去把握知識內(nèi)容，因為這樣的知識結(jié)構(gòu)是螺旋上升且連續(xù)遞進而非斷裂的，學生在學習方法的形成上也不會“東一榔頭，西一棒槌”。

（二）深刻理解分數(shù)概念基于新課標表達的數(shù)概念的一致性

分數(shù)既然是一種數(shù)，它就天然具有數(shù)概念的本質(zhì)屬性。分數(shù)與整數(shù)和小數(shù)一樣，都是對數(shù)量或數(shù)量關(guān)系的抽象，它們都可以從計數(shù)單位和計數(shù)單位個數(shù)的角度來認識。人們對整數(shù)的認識，從“1”開始，先有1，再有2，再有10、100、1000……這是計數(shù)單位累加的過程。對小數(shù)的認識也是同樣的道理，先有“1”，才有0.1、0.01、0.001……分數(shù)繼承了自然數(shù)、小數(shù)的特點，將“1”不斷細分，產(chǎn)生新的分數(shù)單位，分數(shù)單位累加得到分數(shù)，5 個就是。當然，作為一種新的數(shù)，分數(shù)有自己特有的符號化表示、寫法、讀法，概念的內(nèi)涵和外延與整數(shù)、小數(shù)也不盡相同，這也是分數(shù)教學的難點所在，因此我們認為，分數(shù)概念的教學應(yīng)該在把握數(shù)概念一致性的前提下，認真研究它所具有的特殊性（比如表達形式不同、分數(shù)的連續(xù)性與離散性問題、等值分數(shù)的計數(shù)單位并不相同、每一個分數(shù)參與運算時，所要細化的分數(shù)單位不盡相同，而且不是十進制的、面臨分數(shù)“量”“率”一體的問題、分數(shù)的相對性問題等等）。

（三）分數(shù)概念的“量”“率”屬性教學應(yīng)該如何把握？

分數(shù)概念表達中無論是“量”（表示物體具體數(shù)量的多少）的意義還是“率”（表示部分是整體、一個量是另一個量的幾分之幾）的意義，都是分數(shù)意義的重要內(nèi)涵，都是建構(gòu)分數(shù)概念必不可少的環(huán)節(jié)。現(xiàn)行教材的編排以及教師實際的教學基本上以“率的意義”為重點來認識分數(shù)的概念，強調(diào)部分占整體的幾分之幾，初學到的分數(shù)都是真分數(shù)（三年級的分數(shù)概念）；但是，當學生在五年級上學期認識假分數(shù)、帶分數(shù)時，解決“每人要分到幾張餅”的問題，卻需要讓學生以“量”的形式認識假分數(shù)、帶分數(shù)。學生對分數(shù)表示“率”的意義已經(jīng)習以為常，對分數(shù)后面還能帶上單位表示不能接受。因此五年級的假分數(shù)、帶分數(shù)是學生學習分數(shù)概念的一個“攔路虎”。許多教師認為造成這一困境的原因：一是教材編排中一開始就著重強調(diào)“率”的意義，認識分數(shù)“量的意義”比重太少；二是分數(shù)概念“量”“率”問題本身自相矛盾，造成學生心中的二元對立，很難調(diào)和。怎么辦？張奠宙教授認為：在三年級的分數(shù)初步認識中，要先著重于分數(shù)“量”的功能，不要急于把學生引入到分數(shù)“率”的理解上。一塊蛋糕、一個蘋果平均分成3 份以后，應(yīng)該說明是平均分成“3 份大小”，因此，分數(shù)概念表述為：將一個整體平均分成若干份，表示這樣一份或若干份“大小”的數(shù)叫作分數(shù)。這樣學生就能夠理解分數(shù)是一種“新的數(shù)”，有大小，可比較。這樣的表述易于與整數(shù)、整除聯(lián)系，因為不能整除，所以產(chǎn)生了一個新的數(shù)，我們稱之為分數(shù)，寫作，讀作三分之一。在后期則應(yīng)該明確“商的定義”，分數(shù)就是兩個自然數(shù)相除（除數(shù)不為0），“份數(shù)定義”只是一個過渡，“比的定義”是“商的定義的延伸”，從這些概念出發(fā)，“率”的意義將會更加明顯。新課標則在分數(shù)板塊自始至終強調(diào)要感悟“計數(shù)單位”，因此從度量角度出發(fā)，從“計數(shù)單位”及計數(shù)單位個數(shù)累加來統(tǒng)整整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)數(shù)概念的一致性教學，則是給與了分數(shù)概念產(chǎn)生的新的附著點與發(fā)展的生命力。

（四）在分數(shù)概念的教學中要強化可視化模型的作用

在分數(shù)概念教學過程中，可視化模型有助于學生在頭腦中建立起抽象模型而真正理解分數(shù)。

面積模型（紙片、大餅）。現(xiàn)行教材運用的比較多的是面積模型，從初步認識的折紙到假分數(shù)的分大餅。一般來說，面積模型能夠很好地說明均分問題，在反映部分與整體及部分與部分關(guān)系時比較簡潔直觀，這種單一的模型在研究分數(shù)本質(zhì)問題以及復雜分數(shù)問題時就顯得力不從心。

長度模型在幫助學生理解分數(shù)模型時非常重要。在利用度量方式（分數(shù)單位）詮釋分數(shù)概念時，它可以是具有度量單位的測量紙條（如圖1）。在解釋復雜的分數(shù)相對性時，它可以是規(guī)范的數(shù)線（如圖2），在數(shù)線上標注分數(shù)，學生能夠真正懂得分數(shù)是一個“數(shù)”，有大小、可比較；而且在數(shù)線上也能幫助學生直觀明了地理解分數(shù)的連續(xù)與離散性質(zhì)；同時在數(shù)線上更能體會分數(shù)的相對性。即整體不同，分數(shù)值相同，得到的部分量就不同；整體不同，分數(shù)值不同，得到的部分量卻有可能相同。這一模型在現(xiàn)實教學中運用較少、強調(diào)不夠。

圖1

圖2

在集合模型中，要強調(diào)把所有的個體看作一個整體，且所有的個體都是集合的元素，地位均等一致。因此，子集可與全集相比較、子集可與子集相比較，也就能夠出現(xiàn)小于1、等于1、大于1 的分數(shù)。同時，集合模型從強化“均分”（分的一樣大小）的分餅到集合模型的個體元素的地位均等，摒棄了集合元素外在的“顏色、大小、形狀”特點而聚焦集合元素的地位均等一致上，這樣就能更加深刻地理解“平均分”。比如：將一個班里所有的學生看作整體1（一個集合），那集合元素特征就是“具有班里學生的身份”，這樣“男女、高矮、胖瘦、長發(fā)短發(fā)、戴不戴眼鏡”就不是這個集合元素的特征量，但如果子集是“所有戴眼鏡的學生”，那“戴眼鏡”就是這個子集元素的特征量。當然，小學生在理解運用集合模型時會產(chǎn)生一些困難，但是集合模型能幫助他們在分數(shù)、比例以及眾多相關(guān)現(xiàn)實情境之間建立重要聯(lián)系。