從“知識獲得”到“思維生長”
——以“商不變性質”的實證測評與教學改進為例

文|田小勤

一、研究緣由

2021 學年第一學期的區域四年級數學期末測試，編制了試題“400÷1①800÷22”，其命題意圖是“商不變性質”的應用，即被除數和除數同時乘2，商不變，從而判斷○里應填“=”。測評數據出乎意料，此題得分率僅為70.8%，明顯低于命題的難度預估。為了尋找其中緣由，以便更及時地進行教學改進，于是，在2021 學年第二學期期初就選擇四年級8 個班學生，組織了再次測評與分析。測評內容是①300÷1②150÷6，②50÷20○150÷60，③18÷8○9÷4。測試要求是“在○里填上＞、<或=，并說明理由（可以用計算、畫圖、文字等方式）”，測試強調了“說明理由”，試圖發現學生的思維過程，診斷學生的思維水平，以便探索更合理的學習路徑，促進學生的思維成長。

二、測評分析

1.基本測評數據

三道測試題的正確率分別是96%、37.6%、41%，主要思考方法有“先求商再比較”和“應用商不變性質”。

2.主要問題分析

三道題的正確率存在明顯差異，主要原因如下：第②題50÷20○150÷60 和第③題18÷8○9÷4，兩邊算式的計算結果都有余數，它們的余數不同，大部分學生就根據余數“10<30”來判斷填寫“<”，從而導致較高的錯誤率。而第①題300÷1②150÷6，兩個除法算式都是整除，無論是通過計算還是應用“商不變性質”，兩邊大小都相等，因此正確率較高。

上述分析表明：一是學生尚未形成主動觀察數據特點選擇合適運算方法的意識，表明數學核心素養之“運算能力”還有待提升。二是學生對“商不變性質”的理解停留在表面淺層，更多是形式化的模仿應用，缺少本質理解與深入研究。

3.思維水平診斷

（1）單點結構層次的思維水平

第一個作品——能用“列豎式計算”的方法，但不理解“余數”對結果的影響。無理由的忽略余數，填寫“=”只是一個巧合。

第二個作品——通過計算有余數除法，發現商不變，余數不同，就根據余數的大小判斷，沒有進一步思考余數與運算結果的關聯。

（2）多點結構層次的思維水平

第三個作品——訪談可知，學生可以確定兩邊相等，但用一般的有余數除法卻不能說清楚，就換一種計算方法，應用五年級的小數除法來說明相等關系。

第四個作品——學生能觀察兩邊算式的數據、分析被除數和除數都是“乘2”，由此判斷符合商不變性質，并作出判斷。

第五個作品——學生先通過兩種計算，得到不同的判斷結果，用小數表征是“=”，有余數除法計算是“<”；然后又考慮了商不變性質，得到的是“=”。因為三種方法無法相互支撐，又沒能力解釋其中的沖突，學生只能寫出兩個矛盾的答案。

（3）關聯結構層次的思維水平

第六個作品——通過計算，發現兩邊結果看起來不相同，但進一步思考“余數”的意義，遷移平均分物的經驗，“余下來的2 個平均分給8 人”和“余下來的1 個平均分給4 人”，其結果是相同的。

第七個作品——從算式大小比較，能聯系其運算意義，借助線段圖直觀表征兩幅圖之間的關聯，發現每份是同樣多的。

三、課堂教學改進實踐與策略

1.豐富教材學習材料，生成有挑戰的問題

人教版小學數學四年級教材在編排“商不變性質”時，提供的例題和所有相關的練習都是整除算式，缺少多視角理解商不變性質的本質，忽略除法算式中各部分之間的關聯，缺少認知的沖突與釋疑，缺失了高階思維的發展。

重新設計學習材料可以有三方面轉變：一是從單純的算式計算到真實問題解決。在研究中可創設一組有結構的問題解決，可以是“平均分物，誰多誰少”的問題，可以是“比較單價的購物問題”等等，既體現研究“商不變性質”的實際意義，又能借助實際情境理解商不變性質的合理性。二是在情境中有意識地設計包括整除和不能整除的數據，使形成的研究材料類型多元，利于引發強烈的問題沖突，激起對數學的好奇心和深入研究的求知欲。三是從教師（教材）提供到學生自主編制，這比較適用于學生已知“商不變性質”這樣的學習起點，放手讓學生自己尋找材料進行證明與闡釋。

2.聚焦真問題的研究，促進深度思考

學生面對如“18÷8○9÷4”，通過計算發現余數有大有小，通過應用商不變性質發現兩個算式相等，結論不同，但似乎又各自合理，學生陷入了“思維困境”！這樣的時刻正好是發展高階思維的契機，學生可能質疑審辯，追問“在有余數除法里，商不變性質還成立嗎”；可能有遷移應用，提出“如果把余下來的繼續平均分，結果會相同嗎”；可能有方式創新，回歸知識原點，從運算意義的視角給予直觀表征……

面對學生思維困境，教師不急著評價對錯，不急著提供答案，也不急著提問暗示。鼓勵學生采用“畫畫圖、結合生活實例想一想、舉個例子試一試”等基本數學思維方法。跟進課堂實踐發現：有學生借助生活“分月餅”情境，把18 個月餅平均分給8 人，每人2個，還剩2 個，把剩下的2 個再平均分給8 人，每人分到個；把9個月餅平均分給4 人，每人也是2個和個，兩者同樣多；也有學生自覺結合購物情境，通過人民幣單位換算，合情合理闡述兩邊相等的道理。隨著學習交流的推進，逐漸達成共識，即無論是整除還是不整除的算式，商不變性質都是成立的。

3.著眼問題解決全過程，提升思維品質

數學核心素養的基本內涵是發展學生思維，如類比、抽象、概括、轉化、歸納、推理等數學思維。如研究“18÷8○9÷4”，在計算前學生能否先觀察算式數據，思考有沒有更快捷合理的方法。當發現兩種方法的結果存在矛盾時，能否大膽質疑，提出“有余數除法里，被除數和除數同時乘或除以相同的數，結果變了嗎”極具思維含量的問題。當研究商不變性質后，會不會主動反思“我們是怎樣研究的、遭遇到什么疑惑以及解決的策略”，便于形成“發現規律—驗證規律—提煉規律—質疑規律—解釋規律—應用規律”的研究路徑。在驗證規律時，是否形成“要盡力舉出不同類的例子，并試圖去尋找反例，以便得到更確切、更具一般性的結論”的活動經驗。當研究商不變性質后，會不會類比推理“是否存在差（和）不變性質”，并在課外進行自主探索，形成學習報告。在后續學習“分數基本性質”“比的基本性質”時會不會自主遷移相關的研究路徑與方法……

總之，基于核心素養的教學，教師應抓住知識本質，創設合適的學習情境，促使學生積極地進行思考，逐步學會想得更清晰、更深入、更全面、更合理，從而提升思維品質。