深研概念教學,厘清“來龍”和“去脈”

潘永斌

摘 要：本文以“函數的單調性”的教學設計為例，分析了在教學過程中，如何厘清數學概念的“來龍”與“去脈”，突破數學抽象的難點，以期為教師在后續教學中更好地開展概念教學和大單元教學提供思路與啟發.

關鍵詞：函數的單調性;數學抽象;教學設計；大單元數學

“函數的單調性”作為高中階段學生接觸并研究的第一個函數性質，通過函數單調遞增（減）、增（減）區間以及增（減）函數概念的生成，逐步完善了“函數的單調性”的知識體系.同時，在江蘇鳳凰教育出版社出版的《普通高中教科書·數學》必修一中，給出了利用數學抽象研究函數單調性的步驟與方法，為學生后續研究函數的奇偶性等性質以及具體的基本初等函數的性質提供了依據，在函數性質的研究方法層面上逐步形成系統.

筆者將以“函數的單調性”的教學設計為例，談一談對概念教學、大單元教學的粗淺理解，以及如何在獲得數學概念的數學抽象的過程中，厘清概念教學中的“來龍”與“去脈”，以便在后續教學中更好地開展概念教學和大單元教學.

1 數學抽象的作用和意義

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準（2017版）》）提出數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算與數據分析六大數學學科核心素養，其中數學抽象位居首位.數學抽象作為數學產生和發展的思維基礎，反映了數學的本質特征，是數學學科核心素養的重要組成部分.

數學抽象的作用和意義主要體現在如下幾個方面：（1） 獲得數學概念和規則是數學抽象的一個重要表現；（2） 提出數學命題和模型是數學抽象的一個重要過程；（3） 數學方法與思想是數學抽象的一個重要產物；（4） 認識數學結構與體系是數學抽象的一個更高水平.

2 獲得數學概念的數學抽象過程

根據抽象程度的不同，史寧中教授將數學抽象過程細分為三個階段：一是簡約階段，把握事物本質，把復雜問題簡單化并條理清晰地表達；二是符號階段，去掉事物的具體內容，利用符號和關系術語等表述已簡約化的事物；三是普適階段，通過假設和推理，建立法則或者模型，能在一般意義上描述具體事物的特征或規律.這三個階段相互連接，后一個階段建立在前一階段的基礎之上.

數學概念的獲得包括概念形成和概念同化兩種基本方式.數學概念的形成，通常會經歷以下三個階段：首先，從直觀的背景、具體的材料中抽離出事物的本質特征；其次，對抽象概括的對象給予一般表示，并且用符號進行表述；最后，根據符號階段得出的結論進行定義，形成概念系統進而應用.

函數單調性概念的建構過程充分體現了數學抽象的三個階段：

第一階段是抽離出事物的本質特征，建構函數單調性的具象意義，以圖形語言表征——在什么范圍內圖象是逐漸上升的，在什么范圍內圖象是逐漸下降的.

如圖，氣溫θ是關于時間t的函數，記為θ=f（t），觀察這個氣溫變化圖，說出氣溫在哪些時間段內是逐漸升高的，在哪些時間段內是逐漸下降的？

第二階段又可分為兩個層次：第一層次為自然語言表征——函數f（x）隨著x的增大而增大（減?。?

教師提出問題：觀察下列函數的圖象，指出函數圖象變化的趨勢.

學生提煉出自然語言表征：圖象的這種“升”（“降”）的規律反映了隨著自變量x的增大，函數值增大（減?。?

第二層次為符號語言表征——x1，x2∈I（其中ID，D為函數f（x）定義域），當x1＜x2時，都有f（x1）＜（＞）f（x2）.

第三階段是單調遞增（減）、增（減）區間、增（減）函數等概念的生成及應用.

3 函數單調性概念的數學抽象的難點

3.1 用符號語言表征函數的單調性的必要性

最直觀的、最簡單的得出函數單調性的方法當然是觀察函數圖象的上升或者下降的趨勢，這也就是單調性的圖形語言；要將圖形語言表示成自然語言，就是要判斷函數自變量增大時，函數值到底是增大還是減小，這是求函數極值和最值的關鍵；而用符號語言來表示自然語言，從而利用符號語言來判斷函數的單調性，是學習函數單調性的根本目的之一.不難看出，表征函數單調性從圖形語言到自然語言最后到符號語言的轉化過程，是一個難度逐漸加大的過程，也是單調性這個概念逐步深化的過程.因此，從教學的角度而言，從圖形語言到自然語言和符號語言的過渡是教學中的重點和難點.這一過渡，一般來說可以用“圖形反映出的這種變化趨勢用語言或數學符號該怎么描述”來完成，但是這樣的處理方式，容易讓學生產生“多此一舉”的想法——既然用圖形可以判斷，何必還要用自然語言或符號語言來表示呢？概念建構過程中要讓學生意識到用符號語言表征的必要性.

函數的單調性這一節的教學應當經歷數學抽象得出概念并應用概念的過程，讓學生看清楚數學知識的發生和發展過程.對于已知圖象或者可以畫出圖象的函數，可以借助函數的圖象直接予以判斷；可倘若已知函數解析式，卻出于某種原因暫時難以畫出甚至畫不出圖象，此時就需要借助新的代數方法對函數的單調性作出判斷，這就是用符號語言表征函數單調性的“來龍”之一——必要性.學習函數的單調性后，借助代數方法對函數的單調性作出判斷，然后大致畫出函數圖象的示意圖，進而直觀感受函數的特征，這就是用符號語言表征函數單調性的“去脈”之一.

3.2 函數單調性概念的數學抽象的難點及突破

通過對具體圖象的觀察得到變化趨勢的直觀感知，以圖形語言和自然語言進行表征，這個過程對思維要求較低.單調性概念的數學抽象主要難在用符號語言來形式化表征單調性時，如何最大限度尊重并引導學生建構“自己的表達”.筆者提供如下兩種設計思路，供同仁參考（以“函數f（x）隨著x的增大而增大”為例）.

設計一：利用極限無限逼近的辦法來刻畫x1、x2間的關系，實現從有限到無限的突破，再利用有限來表達無限.

而利用極限思想來分析問題、解決問題的能力在學習漸近線（函數圖象、雙曲線）、瞬時變化率、導數的概念時顯然是不可或缺的.

設計二：條分縷析，用符號語言來分步逐句翻譯、表征“函數f（x）隨著x的增大而增大”.

這其中又有兩大思維難點：其一是“x增大”和“f（x）增大”中的“增大”如何用符號語言進行表示；其二是對于“函數f（x）隨著x的增大而增大”，如何用符號語言表示“隨著”.

3.2.1 如何用符號語言表示“增大”？

“增大”意味著需要比較兩個量，“增大”表現的是持續的變化狀態，顯然不可以用具體數值來刻畫“持續”，由于字母具有一般性，可用字母表示數.這樣逐步引出用不等式和字母來進行表達，即“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）”.

3.2.2 如何將“隨”符號化？

當x1＜x2時，有f（x1）＜f（x2）.

用符號語言來分步逐句翻譯、表征自然語言，是每位學生學好數學的基本功，是后續對稱性、周期性等內容學習的基礎.

能否引導學生從有限→無限→所有→任意或者從靜態→動態→所有→任意不斷實現跨越，能否確保每一次過渡做到水到渠成不生硬，除了要看教師是否具備良好的教學基本功和能否較為合理地設問外，有沒有“來龍”同樣至關重要.

事實上，江蘇鳳凰教育出版社出版的《普通高中教科書·數學》必修一第二章《簡單邏輯用語》第三節全稱量詞命題和存在量詞命題中是這樣定義的：“所有”“任意”“每一個”等表示全體的詞在邏輯學中稱為全稱量詞（Universal Quantifier），通常用符號“x”表示“任意x”.全稱量詞命題：x∈M，p（x）.

任意x1，x2的“來龍”正在于此，這也正是突破單調性概念的數學抽象的最難點的“來龍”.

4 深研概念教學，厘清“來龍”與“去脈”

在高觀點下對知識進行系統梳理以及完整描述某個數學領域的知識體系，可以讓學生理解通過數學抽象獲得知識的重要性及必要性，進而展現數學抽象的獨特魅力.

能熟練地進行圖形語言、自然語言和符號語言之間的相互轉化是數學學習和研究的基本功.多種語言形式的相互表征，也為后續學習對稱性（奇偶性）、周期性、線面垂直的判定、瞬時變化率、導數等提供了知識和方法上的準備.

函數單調性概念的數學抽象過程中的難點和關鍵之處既是全稱量詞與存在量詞命題的“去脈”，又是對稱性（奇偶性）、周期性、線面垂直的判定、瞬時變化率、導數等學習的“來龍”.

整個函數的單調性概念的數學抽象過程展現出數學知識的“來龍”“去脈”以及知識結構的延續與升華，其中所包含的由有限到無限再化無限為有限的思想也充分展現了數學的哲學內涵.

抽象的步驟、方法可以運用到新的問題研究中去，抽象出來的知識可以運用到實際生活和實踐中.同時，在這個過程中，數學抽象的魅力也體現在可以化無限為有限，通過有限的對象來替代無限的對象，進而簡化研究問題.極限思想的啟蒙，為后續導數概念的生成奠定了基礎.而這些，都是抽象的“去脈”.

了解數學理論體系及完善過程，理順不同知識模塊、研究領域之間的聯系與統一性，并對數學結構與體系進行抽象有助于我們看清知識的“來龍”與“去脈”.在整個高中數學結構與體系中，這樣的“來龍”與“去脈”還有很多.教師只有深入挖掘、深刻領會，才能在大單元教學中，厘清概念教學中的“來龍”與“去脈”，進而幫助學生厘清高中數學學習中概念知識生成、思想方法習得的“來龍”與“去脈”.

參考文獻：

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