基于挑戰(zhàn)性任務的初中數(shù)學拓展課教學研究

【摘 要】教育的本質(zhì)是促進每一個學生的發(fā)展。本文在挑戰(zhàn)性任務的相關理論支持下，分析與構(gòu)建具有可操作性的初中數(shù)學拓展課差異化教學方案，并以“漢諾塔傳說”為例，詳細闡釋方案中的核心要素、邏輯關系及具體流程，旨在滿足學生的個性化需求，促進學生全身心參與數(shù)學研究，構(gòu)建學生的數(shù)學思考，進而發(fā)展核心素養(yǎng)。

【關鍵詞】數(shù)學挑戰(zhàn)性任務；數(shù)學拓展課；差異化教學；漢諾塔

為了積極回應當今時代日益增長的不確定性對多樣化人才的迫切需求，拓展性課程逐漸成為中小學課程的重要組成部分。［1-2］隨著拓展性課程相關研究的不斷深入，包括數(shù)學在內(nèi)的學科類拓展性課程成為研究者關注的焦點。學科類拓展性課程屬于知識拓展類課程，旨在拓展學生的知識面，激發(fā)學生的學習興趣。［3］但已有的課程實踐研究表明，知識類拓展性課程易異化為基礎性課程內(nèi)容的練習鞏固與延伸。［1-2］拓展性課程著力于實施因材施教和個性化教育，提高學生的綜合素質(zhì)［3］，因而知識拓展類課程的建設更要以核心素養(yǎng)為導向，滿足學生的個性化學習需求。初中數(shù)學拓展課是發(fā)展學生核心素養(yǎng)的有效載體，也是落實生本理念的重要窗口。在初中數(shù)學拓展課的教學設計與實施過程中，如何保證所有學生的全身心參與，讓學生獲得良好的數(shù)學體驗？如何構(gòu)建每位學生的數(shù)學思考，發(fā)展學生的核心素養(yǎng)？本文以課例為載體，設計并說明挑戰(zhàn)性任務指導下的初中數(shù)學拓展課差異化教學方案，以期為初中數(shù)學拓展課教學的設計與實施提供線索。

一、基于挑戰(zhàn)性任務的初中數(shù)學拓展課教學方案

拓展性課程具有差異性、綜合性等特征［4］，一方面體現(xiàn)在學生根據(jù)自身興趣自主選擇課程，促進個性發(fā)展；另一方面體現(xiàn)在教師尊重個人選擇，開發(fā)具有層次性的課程內(nèi)容以滿足學生的不同需求，發(fā)展學生的核心素養(yǎng)。數(shù)學核心素養(yǎng)本質(zhì)上是學生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學習主題，通過獨立思考、互動交流逐漸形成的思維品質(zhì)。［5］因此，在初中數(shù)學拓展課的設計與實施過程中，一方面要構(gòu)建學生的數(shù)學思考，引導學生進行持續(xù)、深入的探究；另一方面，要給予學生更大的學習自主權(quán)和學習空間，允許個性化、差異化的學習進度的生成。已有研究表明，數(shù)學挑戰(zhàn)性任務為構(gòu)建學生數(shù)學思考和處理學生數(shù)學學習差異提供了一定思路。數(shù)學挑戰(zhàn)性任務是一種具有高水平認知需求的數(shù)學任務，至少滿足以下5個特征：（1）解決方案的多重可能性；（2）包含多個數(shù)學步驟；（3）開發(fā)提示性任務和拓展性任務；（4）既吸引人，又被大多數(shù)學生視為具有挑戰(zhàn)性；（5）需花費較多時間完成任務。［6］基于此，根據(jù)對數(shù)學拓展課教學特征的認識［4］，以基于挑戰(zhàn)性任務的數(shù)學問題鏈教學研究為基礎［6］，融合劉美鳳等關于差異化教學的研究成果［7］，本文構(gòu)建了基于挑戰(zhàn)性任務的初中數(shù)學拓展課差異化教學方案，如圖1所示。

基于挑戰(zhàn)性任務的初中數(shù)學拓展課差異化教學方案共十一個基本環(huán)節(jié)，涵蓋教學的設計、實施和評價三個方面。

在設計階段，“主題選取與創(chuàng)設”和“學生差異性分析”是設計的起點。“主題選取與創(chuàng)設”是影響學生學習動機與學習投入的重要因素，主要基于初中生學情及義務教育數(shù)學課程目標，選取某個知識點并創(chuàng)設恰當?shù)闹黝}，由此衍生出對學生而言具有一定挑戰(zhàn)性的學習活動。“學生差異性分析”為差異化的目標確定、內(nèi)容安排提供依據(jù)。學生個體具有復雜性，學生之間的差異也是多元的，所以影響數(shù)學學習的主要差異在于認知水平、學習興趣和學習能力三個方面：認知水平是指學生已掌握的知識技能；學習興趣包含學生對數(shù)學本身及學習情境兩個方面的興趣，后者包括學習的主題以及學習任務的組織和呈現(xiàn)方式等；學習能力是指學生完成學習活動的能力，包括認知技能、學習策略以及對學習過程的管理與監(jiān)控能力等。“內(nèi)容針對性設計”主要包含挑戰(zhàn)性任務的開發(fā)和提示性任務的設計：挑戰(zhàn)性任務的難度具有層次性，主要利用提示性任務提高挑戰(zhàn)水平與學生認知水平的匹配程度；提示性任務多樣化的抽象程度與呈現(xiàn)方式有利于提升學生的數(shù)學學習興趣，差異化的組織、指導、調(diào)控策略也為不同層次的學生提供學習支持。“目標層次化制訂”以核心素養(yǎng)為導向，對課程目標的精細化與學生的差異性進行分析，主要包括數(shù)學的眼光、數(shù)學的思維和數(shù)學的語言三個方面。在這里，內(nèi)容設計是目標制訂的基礎，同時目標也反過來檢驗內(nèi)容的合理性，兩者都旨在促使不同層次的學生得到充分且恰當?shù)奶魬?zhàn)。

在實施階段，“分層學習準備”一般發(fā)生在課前，一方面為學生提供不同層次與形式的預習內(nèi)容，另一方面開發(fā)個性化的學習任務以激發(fā)學生的學習興趣，為課中的各個環(huán)節(jié)奠定基礎。在課中，“挑戰(zhàn)性任務導入”的重點是激起學生的求知欲與探索激情，尤其關注較低層次學生的準備狀態(tài)與興趣水平，適時提供提示性任務，引導每位學生都順利進入學習活動。“多層次問題解決”與“多樣化觀點呈現(xiàn)”都在有設計的差異化關注中進行，促進學生開展主動、自主、有效的數(shù)學學習。“多層次問題解決”一方面提供多層次的提示性任務及情境，以幫助學生開展數(shù)學探索；另一方面對學生生成的多樣化學習問題與需求進行針對性指導，為學生提供獨立思考的空間與合作交流的機會，以建立同伴互助關系。“多樣化觀點呈現(xiàn)”以小組為單位，為學生提供對話的機會，促進學生進行自我反思。學生的數(shù)學思維通過這一過程得以重新梳理并利用語言加以外化，既為思維能力固化提供載體，又豐富活動的探究成果。“差異化評價總結(jié)”是指基于不一樣的標準鼓勵所有層次學生的學習成長，不僅對學習成果進行評價，還要加強學生對解決問題框架以及問題研究方法的關注。課后的“分層鞏固提升”是針對層次化的目標設計滿足學生多樣化需求的分層作業(yè)、彈性作業(yè)或個性化的開放性作業(yè)。

在評價階段，“多維度評價”兼顧過程與結(jié)果，既保障設計的合理性，又對實施效果進行反思：前者貫穿活動設計、實施的全過程，后者關注學生學習、師生關系、課堂文化等多個方面。

二、基于挑戰(zhàn)性任務的初中數(shù)學拓展課教學設計與實施

為了更好地闡釋上述教學方案的具體流程，以下以“漢諾塔傳說”為例展示拓展課教學的設計與實踐。

（一）教學設計

1.主題選取與創(chuàng)設

在過去的幾十年里，漢諾塔是眾多研究領域的研究對象，特別在數(shù)學、計算機科學和神經(jīng)心理學等方面得到相當深入的研究。漢諾塔源于印度的古老傳說，其中涉及數(shù)字變化規(guī)律等內(nèi)容，蘊含化歸、辯證等思想以及抽象、特殊化、邏輯推理、遞推循環(huán)等方法，可作為九年級數(shù)學拓展課的主題。

漢諾塔傳說源于印度：印度教主神梵天在創(chuàng)造世界時做了三根金剛石柱子，在其中一根柱子上從下往上按照大小順序摞著64個黃金圓盤，移動的規(guī)則是一次只移動一個圓盤，不管在哪根柱子上，小圓盤必須在大圓盤上面。這個傳說預言，當所有圓盤都從梵天穿好的柱子上移到另外一根柱子上時，世界就將在一聲霹靂中消滅，梵塔、廟宇和眾生都將同歸于盡。

2.學生差異性分析

筆者通過測試分析、課堂觀察、訪談等方法，發(fā)現(xiàn)學生之間的主要差異如表1所示。

基于上述分析，筆者將學生分成五組三個層次：兩組基礎層，兩組一般層，一組拓展層。基礎層的學生整體上對數(shù)字變化規(guī)律的掌握不夠牢固，且接受能力不強，大部分時間屬于被動學習，參與課堂討論的積極性不高，甚至對傳統(tǒng)的數(shù)學學習提不起很大的興趣。一般層的學生數(shù)學學習質(zhì)量一般，對于較為基礎的數(shù)字變化規(guī)律的掌握尚可，有一定的上進心，但創(chuàng)新意識不足，無法獨立解決較為開放、靈活的數(shù)學問題。拓展層的學生基礎知識扎實，具有較強的自主學習能力，數(shù)學學習興趣濃厚，求知欲望強烈，對于數(shù)學問題擁有獨到的見解。

3.內(nèi)容針對性設計

（1）任務層次：①從傳說中抽象出數(shù)學問題。為基礎層和一般層的學生開發(fā)提示性任務，提示性任務1為學生描述更明確的數(shù)學任務，提示性任務2引導學生簡化情境，辨別相關與無關信息，確認關鍵量。為拓展層的學生開發(fā)拓展性任務（拓展性任務a），引導學生從數(shù)學的角度提出問題并用多種形式進行數(shù)學表征。②根據(jù)移動法則探索數(shù)字規(guī)律：為基礎層和一般層的學生開發(fā)提示性任務（提示性任務3和4），引導學生通過減少圓盤個數(shù)來簡化數(shù)學問題，探究數(shù)學規(guī)律。為拓展層的學生開發(fā)拓展性任務（拓展性任務b），引導學生思考任意個數(shù)圓盤移動所需的時間，引發(fā)深度思考。③分享探究過程與思路并形成結(jié)論（不區(qū)分難度）。

（2）任務情境：設計相關視頻、圖片，提供漢諾塔玩具等吸引興趣低的學生。

（3）學習支持：靈活分組，建立同伴互助關系，創(chuàng)設自由的數(shù)學學習氛圍；教師進行針對性學習指導。

4.目標層次化制訂

（1）數(shù)學的眼光

基礎層的學生能基于更明確的數(shù)學任務提出數(shù)學問題，發(fā)現(xiàn)關鍵量。一般層的學生能簡單經(jīng)歷情境數(shù)學化，辨別相關與無關信息，確認關鍵量，從數(shù)學的角度提出問題。拓展層的學生能經(jīng)歷完整的情境數(shù)學化過程，從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，并用多樣化形式進行數(shù)學表征。

（2）數(shù)學的思維

基礎層的學生能通過對漢諾塔的實踐操作，采用圖表等方法進行規(guī)律探索，并通過分工合作、計算反思等過程提升思維能力。一般層的學生能通過簡化問題用數(shù)學的思維方法有邏輯地分析問題，通過獨立思考與合作交流解決問題，發(fā)展思維能力。拓展層的學生能利用化歸等數(shù)學方法有邏輯地綜合分析問題，經(jīng)歷數(shù)學建模的全過程，發(fā)展高階思維能力。

（3）數(shù)學的語言

學生都能基于不同的研究過程與方法分享成果與觀點，從而培養(yǎng)數(shù)學交流能力，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，提升數(shù)學情感。

（二）教學實施

1.分層學習準備

在課前，為學生設計不同難度的數(shù)式規(guī)律型練習以復習鞏固相關知識，并為拓展層的學生準備等比、等差數(shù)列的通項公式與求和公式，及其推導方法與過程等拓展性知識。

2.挑戰(zhàn)性任務導入

課上，首先通過視頻呈現(xiàn)數(shù)學挑戰(zhàn)性任務，適時為不同層次學生提供提示性任務。

【挑戰(zhàn)性任務】大家覺得漢諾塔傳說中的預言可能成真嗎？這里蘊含著什么數(shù)學問題？

【提示性任務1】不考慮其他原因，預言中的世界毀滅與圓盤移動所需時間有關，那么計算圓盤完成移動所需的時間能夠幫我們判斷預言成真的可能性。時間會受到哪些因素的影響？

【提示性任務2】不考慮其他原因，為了判斷預言成真的可能性，我們要重點關注什么？它與哪些因素相關？

【拓展性任務a】你能用符號、公式、圖表等多種形式抽象出傳說中的數(shù)學問題嗎？

小組合作與師生交流同時進行，旨在從傳說中抽象出數(shù)學問題。學生通過討論發(fā)現(xiàn)，傳說中的世界毀滅與圓盤移動所需時間相關，圓盤的移動可以是混亂的，也可以是有序的，而有序的操作可以減少移動步數(shù)。結(jié)合多位學生的回答及修改意見，最終師生共同歸納出傳說中蘊含的數(shù)學問題——“64個圓盤按照規(guī)則完成移動至少需要多少步”。

3.多層次問題解決

學生以小組為單位進行思考、討論，發(fā)現(xiàn)解決問題的關鍵在于如何根據(jù)移動法則提煉數(shù)學規(guī)律。在這里，基礎層的學生容易出現(xiàn)“難以下手”的情況，教師要引導其從最簡單的情況（圓盤個數(shù)為1）著手，通過分工（操作、檢驗、記錄等）合作來完成任務并發(fā)現(xiàn)規(guī)律。對于一般層和拓展層的學生，教師要強調(diào)規(guī)律發(fā)現(xiàn)后的推理與反思，為觀點呈現(xiàn)做鋪墊。一般層的學生通過復盤、聚焦相鄰圓盤的關系，重新梳理思考過程，并以表格為載體明晰各環(huán)節(jié)間的關聯(lián)；拓展層的學生基于拓展知識，利用遞推關系求數(shù)列的通項，進而通過嚴謹?shù)拇鷶?shù)推理得到精確的數(shù)學結(jié)論。

【提示性任務3】為了簡化問題，我們可以減少圓盤的個數(shù)，從簡單的情況著手進行數(shù)學探索。你能利用漢諾塔玩具進行實踐操作活動，順利完成游戲任務并發(fā)現(xiàn)規(guī)律嗎？

游戲提示：在一次只能移動1個圓盤，大圓盤不能放在小圓盤上的操作規(guī)則下，借助過渡柱，把起始柱上的圓盤依次移到目標柱上。

【提示性任務4】64個圓盤太多了，你會如何處理？試著通過操作、觀察等方式來發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。

【拓展性任務b】你發(fā)現(xiàn)了怎樣的規(guī)律？它對于任意個數(shù)的圓盤都成立嗎？如何證明？

4.多樣化觀點呈現(xiàn)

各組發(fā)揮小組特色，分享問題解決的過程。學生不同的數(shù)學基礎使得探索規(guī)律的思路各異，教師應密切關注學生處理問題時的數(shù)學思維，及時做好總結(jié)，從而更好地呈現(xiàn)學生的觀點。

【觀點一】從1個圓盤入手，通過假設、推理、判斷、歸納等思維過程發(fā)現(xiàn)規(guī)律。移動1個圓盤只需1步，即將其移到目標柱上。當有2個圓盤時，第1個圓盤要先移到過渡柱上為第2個圓盤“讓路”，第2個圓盤順利到達目標柱后，再把第1個圓盤從過渡柱移到目標柱，共計3步。同理，當有3個圓盤時，第1、第2個圓盤都得“讓路”。圓盤個數(shù)與完成移動所需步數(shù)的關系如表2所示。通過“1，3，7，15，31，…”的數(shù)列尋找規(guī)律，并與圓盤個數(shù)一一對應，得到“完成64個圓盤的移動至少需要（264-1）步”的結(jié)論。

【觀點二】利用倒推法及整體的思想解決問題。先移動最大的圓盤到一根柱子上，將問題轉(zhuǎn)化為移動剩下圓盤需要的步數(shù)，得到遞推關系式，進而利用數(shù)列相關知識求解通項公式。其中，利用化歸思想理解圓盤個數(shù)與完成移動所需步數(shù)的關系。比如，思考n個圓盤完成移動所需步數(shù)時，考慮到最后一個圓盤需要移到目標柱（1步），那么前（n-1）個圓盤必定已移動到過渡柱上，最后把這（n-1）個圓盤從過渡柱移動到目標柱即可。這里蘊含著整體的思想，即把前（n-1）個圓盤看作一個整體。如果記（n-1）個圓盤完成移動所需步數(shù)為a_n-1，n個圓盤完成移動所需步數(shù)為a_n，那么a_n=1+2a_n-1，基于數(shù)列的相關知識解得a_n=2ⁿ-1。因此，當n=64時，得到“完成64個圓盤的移動至少需要（2⁶⁴-1）步”的結(jié)論。

基于歸納得到的規(guī)律，學生能從數(shù)學的角度剖析預言成真的可能性。假設移動1個圓盤需要1秒，那么移動64個圓盤至少需要（264-1）秒，即大約需要5849億年。教師適時總結(jié)，地球存在至今不過約45億年，太陽系的預期壽命也不過100億年，如果真的過了5849億年，地球上的一切生命都早已灰飛煙滅了。

5.差異化評價總結(jié)

師生以問答的形式對學習活動進行回顧、總結(jié)，重點關注數(shù)學問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決的過程。教師鼓勵所有學生的進步：對于基礎層的學生，教師從基礎知識的運用情況、學習態(tài)度等方面進行評價，幫助學生建立數(shù)學學習的自信心，提高數(shù)學學習興趣；對于一般層的學生，教師從知識的綜合運用能力、思維結(jié)構(gòu)層次等方面進行評價，引導學生優(yōu)化學習方法和過程；對于拓展層的學生，教師從數(shù)學思想與方法等方面進行評價，肯定學生在探究過程中的成果，激發(fā)學生數(shù)學學習的內(nèi)生動力。

6.分層鞏固提升

教師布置課后彈性作業(yè)和開放性作業(yè)，學生自主選擇并完成作業(yè)。

【彈性探究作業(yè)】（1）在保持其他規(guī)則不變的情況下，要求每次只能把圓盤移動到相鄰的柱子上，繼續(xù)探究漢諾塔問題。（2）在保持其他規(guī)則不變的情況下，增加一根柱子，繼續(xù)探究漢諾塔問題。（3）九連環(huán)是一種智力玩具，它由九個圓環(huán)相連成串，以解開為勝，請?zhí)骄拷忾_九連環(huán)所需的最少步數(shù)。

【彈性拓展作業(yè)】（1）觀看微視頻《用二進制來解漢諾塔問題》，加深對遞歸算法的理解。（2）了解、構(gòu)造并欣賞漢諾塔圖。（教師提供視頻及網(wǎng)絡資源）

【開放性作業(yè)】撰寫數(shù)學美文，可以參考以下主題：數(shù)學游戲的樂趣與情趣，有用的數(shù)學，數(shù)學的美觀、美好、美妙與完美，等等。

（三）教學評價

本節(jié)課在教學設計過程的各個環(huán)節(jié)都進行了差異設計合理性的反思，比如主題能否吸引學生主動進入學習活動，任務的設計能否滿足不同層次學生的需求，目標是否符合學生學情，不同層次的學生能否在學習活動中得到充分且恰當?shù)奶魬?zhàn)并達到目標。

對教學實踐的評價包括實施過程與實施效果兩個方面，主要綜合分析了課堂觀察、課后訪談以及學生的數(shù)學作文，旨在關注不同層次的學生在各個方面的表現(xiàn)。本節(jié)課采用分組的形式，開展了組內(nèi)互助活動，學習氛圍自由融洽；學生具有較高的學習興趣和活動參與度，大部分學生表示自己參與了合作學習，得到了教師的針對性指導，還大膽表達了自己的觀點，最終順利完成任務；教師將主動權(quán)交給學生，并通過針對性反饋指導不同層次的學生解決問題。此外，差異化的任務（提示性任務與拓展性任務）對于推進學習活動起到關鍵性作用，盡管少數(shù)學生指出活動前期存在一定的困惑，但提示性任務與游戲玩具在很大程度上幫助他們及時進入活動并成功完成任務。

三、結(jié)語

促進學生的個性化發(fā)展是現(xiàn)代教育的目標，而教學過程中如何處理好面向全體學生與關注學生個體差異的關系也一直是課程改革關注的重要問題之一。學生的數(shù)學學習能力、學習興趣、學習風格等存在差異，因此必然具有不同的發(fā)展需求，如何認識并發(fā)揮每個學生的潛力是數(shù)學教師應當關注的問題。本文在挑戰(zhàn)性任務的相關理論支持下，構(gòu)建了具有可操作性的初中數(shù)學拓展課差異化教學方案。在教學設計與實施的過程中，一方面促進每個學生的全身心參與，讓學生獲得良好的數(shù)學體驗，另一方面力圖構(gòu)建每個學生的數(shù)學思考，發(fā)展學生的核心素養(yǎng)。相信只要數(shù)學思考不停，學生就可以掌握適合自己的思維方法，獲得對數(shù)學本質(zhì)的認識，從“學會”走向“會學”，乃至“樂學”。

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（責任編輯：潘安）