2022年新高考函數與導數試題評析與備考建議

洪銳敏

［摘 要］函數與導數是高考數學的必考內容。文章對2022年新高考Ⅰ卷函數與導數試題進行評析，結合近三年高考卷中的函數與導數試題，探究函數與導數高考試題的命題規律和創新點，并給出相應的備考建議。建議教師回歸課標，重視培養學生的數學學科核心素養；加強對涉及多知識點或融合不同知識板塊的試題的設計和訓練；夯實基礎并適當提升習題的難度，在變式訓練中揭示數學知識的本質和解題規律；引導學生理解和運用數學思想方法，實現知識遷移，做到舉一反三。

［關鍵詞］新高考；函數；導數；評析；備考建議

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）08-0032-03

在未實行新高考政策之前，高考數學的測評需要區分文理科，即教育部考試中心會命制兩套不同難度的試題，理科試題的難度稍大于文科試題。在實行新高考政策之后，高考數學的測評不再區分文理科，即文、理科生都用同樣的一份試題進行測評。2022年，是全國新高考Ⅰ卷作為大多數新高考政策地區的高考試題的第二個年頭，由于新高考試題的命題規律和創新點是高中數學一線教師和高中生較為關注的問題，且函數是高中數學的主線之一，貫穿于整個高中數學的始終。因此，有必要對2022年新高考Ⅰ卷函數與導數試題的命題規律和創新點進行探究并提出備考建議，為一線教師的教學提供參考。

一、2022年新高考函數與導數試題評析

（一）函數與導數的客觀題評析

評析：本題屬于綜合題，考查函數大小比較。通過建立函數模型，利用其導函數判斷函數的單調性進而比較函數大小，可通過構造函數[f（x）=ln（1+x）-x（x>-1）]和[g（x）=xex+ln（1-x）（0

評析：本題屬于基礎題，綜合考查利用導數判斷函數的單調性、對稱性、極值點、零點、切線方程等。利用極值點的定義可判斷A項，結合零點的定義、 [f（x）]的單調性可判斷B項，根據函數的奇偶性及平移可判斷C項，利用導數的幾何意義可判斷D項。本題涉及的知識點較多，選項的設置具有很高的辨析度，學生容易判斷選項的正誤，解題難度不大，考查了函數與方程思想、數形結合思想和數學運算、直觀想象等素養。

評析：本題屬于綜合題，難度較大，考查函數的奇偶性和對稱性，解題的關鍵在于將題設條件轉化為抽象函數的性質——奇偶性、對稱性，結合原函數與導函數圖象的關系，準確把握函數的性質。本題考查了數形結合思想、化歸思想，要求學生有較強的直觀想象和邏輯推理等素養。

題目4：（2022年新高考Ⅰ卷第15題）若曲線[y=（x+a）ex]有兩條過坐標原點的切線，則[a]的取值范圍是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

評析：本題屬于基礎題，考查函數的切線方程，可設出切點橫坐標為[x0]，利用導數的幾何意義求得切線方程，根據切線經過原點得到關于[x0]的方程，根據此方程應有兩個不同的實數根，求得[a]的取值范圍。本題考查了函數與方程思想、化歸思想以及數學運算、邏輯推理等素養。

（二）函數與導數的解答題評析

題目5：（2022年新高考Ⅰ卷第22題）已知函數[f（x）=ex-ax]和[g（x）=ax-lnx]有相同的最小值。

（1）求[a]；

（2）證明：存在直線[y=b]，其與兩條曲線[y=f（x）]和[y=g（x）]共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列。

評析：本題是壓軸題，難度偏大，考查了函數的單調性與最值、導數運算、指數與對數的互化、等差數列的概念等知識點。第（1）問利用函數的導數對函數的單調性進行分類討論，分別確定[f（x）]和[g（x）]的最小值，解關于[a]的方程，從而得到[a]的值。第（2）問先證明存在直線[y=b]與兩條曲線[y=f（x）]和[y=g（x）]共有三個不同的交點的情況，再證明從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列，設從左到右的三個交點橫坐標分別為[x1、x2、x3]，證明[x1+x3=2x2]即可。解題的關鍵在于將證明等差數列的問題轉化為求方程根的個數和公共根以及根的和差間的等量關系。本題是以極值點偏移為背景進行設計的，是典型的極值點偏移問題，考查內容以證明不等式為主，解題過程需要構造新的函數，這也是平時學生對函數與導數板塊解答題訓練的重點內容。但本題的不同之處在于不設置證明不等式的題目，而是要求證明直線與曲線交點橫坐標和差間的等量關系（[x1+x3=2x2]或[x2-x1=x3-x2]）。

二、近三年函數與導數的考點分析

為了更加全面地分析新高考政策前后函數與導數試題的命題情況，筆者對近三年高考卷中的函數與導數試題的考點與分值進行整理，并用表1呈現了2020年高考全國Ⅰ卷（文科）、2020年高考全國Ⅰ卷（理科）、2021年新高考Ⅰ卷、2022年新高考Ⅰ卷共4份試卷的函數與導數試題的考點與分值情況。

從表1可知，近三年高考卷中的函數與導數試題有如下特點。

（一）考查重難點內容，題型穩定，但體現出創新點

根據表1所呈現的數據可知，近三年高考卷中的函數與導數選擇題與填空題考查的重難點內容與2017—2019年高考全國Ⅰ卷基本保持一致，以函數大小比較，函數的切線方程，函數的單調性、奇偶性、對稱性為主。函數與導數解答題在第（1）小問必考函數的單調性，第（2）小問以不等式的證明為主。但2022年新高考Ⅰ卷考查了曲線交點橫坐標為等差數列的存在性證明，這是新高考政策實施以來首次將函數與導數解答題與數列結合起來進行考查，是2022年新高考Ⅰ卷在函數與導數板塊的第一個創新點。從形式上看比較新穎，是試題命制的靈活性和“引導學生把握數學內容的本質”這一課程基本理念的體現，對后續高考中函數與導數解答題的命制有一定的借鑒意義。新高考卷與傳統高考卷的區別是新增了多項選擇題，刪去選考解答題。綜合性考查是多項選擇題的命制特點和新高考卷對學生的能力要求，2022年新高考Ⅰ卷在函數與導數板塊的第二個創新點體現在多項選擇題第10題與第12題對函數的單調性、極值點、零點、對稱性、切線方程、奇偶性的綜合性考查上，要求學生具備較強的數學運算素養和邏輯推理素養。

（二）題量、分值、難度有上升趨勢

從表1可知，2020年高考全國Ⅰ卷（文科）和2020年高考全國Ⅰ卷（理科）都是考查了“一大兩小”，3道題共22分；2021年新高考Ⅰ卷考查了“一大三小”，4道題共27分；2022年新高考Ⅰ卷考查了“一大四小”，5道題共32分，題量和分值都有上升趨勢。2022年新高考Ⅰ卷共計32分，超過了整份試題總分的20%，體現出新高考Ⅰ卷越來越重視對函數與導數板塊的考查。2022年新高考Ⅰ卷函數與導數試題的解題運算量較大，學生容易出錯，其與傳統高考卷在題型上的區別在于減少了4道單項選擇題，增了4道多項選擇題（即用4道多項選擇題代替4道單項選擇題）。從題型命制的特點和解題難度來看，多項選擇題的難度比單項選擇題大。2022年新高考Ⅰ卷的4道多項選擇題中，有2道考查了函數與導數板塊，綜合性較強。綜上所述，2022年新高考Ⅰ卷函數與導數試題的難度比往年更大，題量、分值、難度均有上升趨勢。

三、備考建議

根據上述對2022年新高考Ⅰ卷函數與導數試題的評析，結合近三年高考卷中的函數與導數試題的命制特點，筆者提出以下四點備考建議。

（一）回歸課標，重視培養學科核心素養

函數與導數試題的解題要求學生在熟練掌握基礎知識的前提下，能夠靈活運用知識解決問題，屬于“多想多算”。《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》強調培養學生的數學學科核心素養，結合函數與導數板塊，體現在數學抽象是將實際問題轉化為數學問題的基本思想，邏輯推理是厘清條件和結論間的內在聯系的載體，數學運算是解題的“童子功”，貫穿于整個數學解題過程，直觀想象是提升學生數形結合能力的必備素養，數學建模是搭建函數模型的橋梁和實現數學應用的重要形式，數據分析有助于發現函數的變化規律。因此，教師在教學函數與導數板塊內容時應回歸課標，重視培養學生的數學學科核心素養，特別是邏輯推理、數學運算和直觀想象等素養。

（二）設計多知識點聯系的題目

由于2022年新高考Ⅰ卷的多項選擇題強調對多知識點的考查，函數與導數解答題與其他知識的結合更加密切，如第22題考查函數與導數和數列的結合，因此教師應加強對多知識點或不同知識板塊間的交叉試題的設計，指導學生進行針對性的訓練，做到既能引導學生深化不同知識點間的內在聯系，又能將不同板塊的知識串聯起來，形成知識網絡，加強學生對知識點的記憶，增強學生學習數學的自信心。

（三）夯實基礎，提升難度，變式訓練

一線教師應重點關注新高考卷函數與導數試題的題量、分值、難度有上升趨勢這一現象，在平時重視對函數與導數試題的研究。教師在新授課中要注重概念，注重夯實基礎，引導學生深入理解數學概念，體會數學概念的簡潔性和嚴謹性，依托數學概念揭示數學知識的本質，依托數學原理提煉解題規律。教師要在學生可接受的范圍內適當提升習題的難度，在變式訓練中揭示數學知識的本質和解題規律。

（四）運用數學思想，遷移知識，舉一反三

隨著新高考改革的深入和發揮高考對人才的選拔功能的迫切性需要，高考命題突顯創新性，學生面對的可能是平時未曾訓練過的創新性題型，進而一時無法準確找到解題思路。對此，教師可在平時的訓練過程中引導學生遷移知識、舉一反三。其中，化歸思想、方程與函數思想、數形結合思想等有助于學生解決函數與導數試題，這就要求教師不僅要教會學生規范解題，而且要引導學生歸納總結解題過程中體現出來的數學思想方法，總結出一類問題的解題思路，真正做到舉一反三。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 徐景超.探析極值點偏移證明問題的解決方法［J］.中學教學參考，2022（8）：26-28.

［2］? 宗欣妍.極值點偏移問題的常見解法：以2021年高考數學新高考Ⅰ卷第22題為例［J］.中學數學月刊，2022（5）：64-66.

［3］? 黎海燕.2019年高考全國Ⅰ卷函數與導數試題分析與備考建議［J］.中學數學研究（華南師范大學版），2019（17）：46-50.

［4］? 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

（責任編輯 黃桂堅）