平整輸沙床面水流阻力研究

賀承明，張根廣，許曉陽

（西北農林科技大學水利與建筑工程學院，陜西 楊凌 712100）

0 引 言

水流阻力是河流運動力學領域重點研究的問題之一，對于研究水流結構和泥沙運動問題具有重要意義。影響水流阻力的因素較多，主要包括泥沙級配、水流條件、床面形態及邊界條件等。通常學者將水流阻力劃分為沙粒阻力、沙波阻力和邊壁阻力［1］，并建立了相應的阻力計算公式。對于明渠水流，床面阻力是水流阻力的主要組成部分，包括沙粒阻力和沙波阻力。當床面平整或是沙波發育不明顯時，沙波阻力可忽略不計。

在研究床面阻力時，許多學者常常采用床面粗糙高度Ks來表示床面粗糙程度。例如，尼古拉茲在研究管道壁面阻力時，通過在管道內壁黏附均勻沙粒得到了圓管中水流阻力系數與雷諾數的關系［1］；Engelund［2］取2.5 倍的均勻沙粒徑作為床面粗糙高度，即Ks=2.5d；Van Rijn［3］取3倍的d90作為非均勻床面的粗糙高度。趙連白［4］認為，對于非均勻沙而言，粗細泥沙顆粒對阻力的貢獻不同，粗顆粒的貢獻大于細顆粒。當d50≤0.2 mm時，取Ks=0.5d50；當0.2 mm＜d50＜6 mm 時，取Ks=d50；當d50≥6 mm 時，取Ks=2d50。喻國良［5］認為床面粗糙高度與泥沙不均勻性有關，并分析得到Ks=σg2d50，σg為床沙級配的非均勻性。還有一些學者研究了沙粒阻力與水流條件的關系。例如，黃才安［6］利用泥沙起動的Shields曲線與明渠阻力特性之間的相似性，結合實測泥沙起動資料得到了沙粒阻力系數只與床面坡度有關的結論。何文社［7］通過理論分析，提出了與泥沙起動水力條件及泥沙重度有關的泥沙等效粒徑的概念及其計算方法，并在此基礎上得到了粗化穩定床面的粗糙高度計算公式。陳學彪［8］基于阻力特性，綜合考慮水沙條件，建立了以泥沙中值粒徑、非均勻系數、水力半徑和床面坡度為變量的床面粗糙度計算公式。

在可動床面上，水流運動往往會引起泥沙輸移，因此將消耗水流的能量。推移質輸沙率越大，水流搬運泥沙所消耗的能量越多，水流受到的阻力也越大。Song［9］、Gao［10］通過定床清水和定床輸沙試驗發現，在推移質輸沙率較大時，輸沙阻力系數與床面總阻力系數的比值超過了0.3，可見推移質輸移引起的水流阻力增大比較顯著，不可忽略。bagnold［11，12］基于能量平衡原理在推導推移質輸沙率時認為，泥沙顆粒在運動過程中，因其重力作用及相互碰撞消耗一定能量，將使泥沙保持下沉，因此需要水流提供一定作用力維持其運動；并通過旋轉圓筒的顆粒碰撞剪切試驗，得到了水流搬運推移質泥沙所需做功的計算公式。黃才安［13］從挾沙水流的能量平衡原理出發，考慮泥沙運動對水流阻力的影響，結合bagnold 水流功率理論，給出了動平整床面挾沙水流阻力的計算公式。

綜上分析，平整床面水流阻力與床面泥沙條件、水流條件及輸沙情況等因素有關，前人的阻力計算公式較少考慮床面結構及輸沙阻力，且輸沙阻力計算公式大多是基于實驗資料的經驗公式或未對水流阻力進行劃分。因此，本文將動床阻力進行分割，擬討論床面粗化過程中床面粗化對床面沙粒阻力的影響，結合水流條件分析計算床面沙粒阻力，并通過分析滾動顆粒的運動特征，探討推移質能量消耗規律，最后建立平整輸沙床面的水流阻力公式。

1 阻力系數

床面阻力常常通過床面阻力系數或床面粗糙高度來反映［1］，其與水流結構的關系可表示為：

式中：f為床面阻力系數；U為斷面平均流速，m∕s；u*為摩阻流速，m∕s；R為水力半徑，m；χ為流態校正系數，在床面粗糙時，取χ= 1；Ks為床面粗糙高度，m。

在平整或沙波發育不明顯河床上，床面阻力可以劃分為沙粒阻力與輸沙阻力，沙粒阻力為床面上的泥沙顆粒對水流產生的表面阻力；輸沙阻力為水流為維持推移質運動所消耗能量對應的阻力，即：

式中：f0為沙粒阻力系數；fs為輸沙阻力系數。

1.1 沙粒阻力系數

由式（1）和式（2）可得床面沙粒阻力系數與床面沙粒阻力對應的床面粗糙高度的關系為：

式中：R'為床面沙粒阻力對應的水力半徑，m；Ks0為床面沙粒阻力對應的床面粗糙高度，m。

何文社［7］認為非均勻沙床面粗化穩定后，其粗糙高度可由起動粒徑dc計算：

式中：m為粗糙高度系數，當床面粗化穩定時，；γs為泥沙顆粒的容重，N∕m3；γ為水的容重，N∕m3；ρ為水的密度，kg∕m3；u'*為床面沙粒阻力對應的摩阻流速，；g為重力加速度，取9.8 m∕s2；J為床面坡度；θc為臨界Shields數。

黃才安［6］利用泥沙起動的Shields 曲線與明渠阻力特性之間的相似性，得到了均勻沙床面沙粒阻力系數計算公式，為：

聯立式（4）和式（7）可得均勻沙床面沙粒阻力對應的粗糙高度為：

式中：當過水斷面寬深比較大時，可取R'=h'。

由式（5）與式（8）可見，床面粗糙高度可由床面上泥沙的起動粒徑dc表示，起動粒徑反映了水流作用在床面上的剪切力。兩式不同之處僅為系數的差異，究其原因是兩式適用的床面條件不同，公式（5）適用于粗化完成后的非均勻沙床面，公式（8）適用于均勻沙床面。

在非均勻沙床面粗化完成前，床面粗化層伴隨著泥沙輸移而逐漸發展變化；在完成粗化后，床面粗細泥沙顆粒通過有規律的排列形成尺寸較大的局部穩定結構或顆粒簇［14］，增大了床面的粗糙度。而在均勻沙床面上，床面泥沙均勻，不能形成粗化結構。因此可見，在非均勻沙床面粗化過程中，床面泥沙粗化層結構伴隨著泥沙輸移逐漸形成，相應床面的粗糙高度是變化的，因此假定床面粗化過程中的床面粗糙高度可表示為：

式中：c為床面粗化程度系數；c與m的區別是，c為變量而非常數；其他符號意義同前。

為了確定床面粗糙高度系數c，作者對床面粗化過程進行分析認為，天然河流的床面往往是由非均勻沙組成，非均勻沙床面的輸沙過程也是床面的粗化過程，不同的水流條件塑造的床面粗化層也各不相同，其具體過程可簡述為，在水流條件變化之前，河道流量較小，床面表層已完成粗化，床面泥沙基本上處于個別起動狀態或靜止狀態，河流輸沙率接近于0；當河道流量增大，床面切應力也隨之增大，床面原有的粗化層被破壞，床面上可動泥沙逐漸增多，當粗化層被完全破壞時，床面泥沙近似松散排列，輸沙率達到最大，可以認為此時的河流輸沙率處于平衡狀態，其單寬推移質輸沙率為g'b0；隨著時間的推移，床面逐漸粗化，床面上聚集體結構增多，并對細顆粒泥沙產生隱蔽作用［15］，床面上可動泥沙減少，床面單寬推移質輸沙率g'b隨之減少；當床面條件與來流量完全匹配時，床面粗化完成，床面上基本沒有泥沙起動輸移，輸沙率接近于0。由此可見，床面粗化程度與輸沙率高度匹配，因此可由輸沙率相對變化過程來反映床面粗化程度，則床面粗化程度系數c可表示為：

式中：g'b0為以水下重量計的單寬推移質平衡輸沙率，N∕（m·s）；g'b為以水下重量計的單寬推移質輸沙率，N∕（m·s）。

g'b0可采用Meyer-Peter和Muller公式［1］計算

式中：θ為Shields 數；d50為床沙的中值粒徑，m；其他符號意義同前。

有關泥沙起動條件θc的取值。何文社［16］取顆粒完全暴露時的θc為0.02，適合于床面上沒有泥沙起動的臨界情況。孟震［17］在研究推移質輸沙率時建議，泥沙顆粒處于運動狀態，泥沙起動條件θc應取對應泥沙“個別動”起動條件的值，即θc=0.031。此外，其他一些學者采用的“個別”起動條件θc基本都在0.03 左右，如樂培九［18］取0.03、周雙［19］取0.032 等。因此，本文選取泥沙“個別”起動條件θc= 0.031。

聯立式（4）、式（9）及式（10）可得床面沙粒阻力系數f0為：

1.2 輸沙阻力系數

推移質泥沙在運動過程中會受到水流的剪切作用，使水流的部分能量轉化為推移質顆粒的動能，推移質輸沙率越大，消耗的水流能量越多。推移質受到的水流作用力與推移質泥沙顆粒在水流中的運動特征有關，而根據推移質運動形式的不同，推移質可以分為滾動推移質和躍移推移質［1］，其運動軌跡如圖1所示。

圖1 滾動和躍移推移質運動過程Fig.1 The movement of rolling and saltating bedload

由圖1可見，滾動泥沙顆粒始終在床面附近運動，軌跡幾乎為一條與床面平行的直線；躍移顆粒的運動軌跡為曲線，在垂直于水流方向，顆粒的運動范圍相對較大，躍高可達（4～5）d［20］。推移質顆粒在滾動和躍移運動時都會受到水下有效重力、水流拖曳力及上舉力：

泥沙顆粒水下有效重力G0：

水流拖曳力FD：

上舉力FL：

式中：CD為拖曳力系數；CL為上舉力系數；d為泥沙顆粒粒徑，m；u為水流作用流速，m∕s；us為推移質運動速度，m∕s。

根據周雙［19］的研究，水流作用在滾動推移質顆粒的作用流速可取為5.58u*，滾動推移質的運動速度為：

躍移推移質顆粒的運動軌跡為曲線，在垂直于水流方向，水流作用在顆粒上的流速與顆粒運動高度有關，因此，顆粒所受的上舉力和拖曳力不斷變化，bagnold［12］由躍移顆粒運動過程中的動量守恒得到躍移顆粒在沿水流運動方向受到的平均作用力為：

式中：α為摩擦角；對于天然泥沙，tanα可取為0.63［11］；其他符號意義同前。

然后基于水流功率理論推導得到單位時間水流搬運躍移推移質泥沙所需做的功為：

而滾動推移質顆粒在運動過程中還受到床面的滾動摩擦力：

式中：η為滾動摩擦系數，對于天然泥沙，通常取為0.63。

假定在水流運動方向，滾動推移質顆粒做勻速運動，則其在水流方向的受力平衡條件為：

綜上可知，由于滾動推移質和躍移推移質的運動軌跡不同，導致其受到的水流拖曳力和上舉力不同，在沿水流運動方向，滾動和躍移推移質顆粒受到的水流作用力分別為ˉFx和FD，因此，水流搬運滾動推移質和躍移推移質消耗的能量也應有所差異。

惠遇甲［20］利用高速攝影，通過水槽泥沙運動試驗，得到了推移質中滾動和躍移顆粒所占百分比與水流強度θ的關系式：

式中：P1、P2分別為滾動和躍移顆粒百分數；其他符號意義同前。

一些學者將躍移作為推移質運動的基本形式［1］，但由式（21）可見，在水流強度較低時，水流強度不足以使顆粒起躍，推移質以滾動為主；隨著水流強度的增大，滾動顆粒逐漸減少；當θ=0.6 時，推移質中滾動顆粒所占百分比為25%，滾動推移質對總的推移質能量消耗的影響不可忽略。因此，在計算水流搬運推移質所做的功時，需要分別考慮水流搬運滾動推移質和躍移推移質所做的功，則單位時間水流搬運推移質消耗的總能量可表示為：

式中：Es2為水流搬運滾動推移質所消耗的能量。

在水流泥沙運動方向，水流通過水流拖曳力對滾動泥沙做功，則單位時間單位面積床面上水流搬運滾動推移質泥沙所做的功可表示為：

式中：N為單位床面面積上滾動推移質顆粒數量；FDi、usi分別為第i顆滾動泥沙受到的水流拖曳力和顆粒的運動速度；其他符號意義同前。

將式（14）及式（16）代入式（24）可得：

因式中：

則式（25）可簡化為：

式中：滾動推移質在運動過程中受到床面的遮蔽作用較小，其拖曳力系數CD可取為1.306［21］；其他符號意義同前。

將式（15）、式（16）及式（20）代入式（24）可得單位時間單位面積床面上水流搬運滾動推移質泥沙所做的功也可表示為：

對比式（18）和式（28）可知，搬運滾動推移質消耗的能量還與水流上舉力有關，水流搬運滾動推移質和躍移推移質消耗的能量有所差異，因此，式（18）并不適用于計算搬運滾動推移質消耗的能量，水流搬運滾動推移質消耗的能量可由式（27）或式（28）計算。

將式（18）和式（27）代入式（23）可得水流搬運推移質消耗的能量為：

黃才安［13］根據能量平衡原理得到輸沙阻力系數為：

將式（29）代入式（30）可得輸沙阻力系數為：

將式（12）和式（31）代入式（3）可得床面總阻力系數為：

采用陸永軍［22-26］等人共136組非均勻沙推移質輸移試驗資料對式（32）做擬合處理，得到f(g'b∕g'b0) = 2.04g'b∕g'b0+ 0.42，其相關系數為0.83，則床面總阻力系數為：

2 公式驗證

采用William［27］整理的Casey、Chyn S D、Ho P 等人的286 組非均勻沙試驗資料分別按式（33）、黃才安公式［13］及何文社公式［7］計算床面阻力系數，并將計算結果代入阻力變換公式［式（1）］計算斷面平均流速，結果如圖2所示。可以看出，相比黃才安公式和何文社公式，本文公式與實測資料符合的更好。

圖2 計算結果驗證與對比Fig.2 Verification and comparison of calculation results

為分析上述公式的計算精度，采用均方根相對誤差（RMSRE）來評價公式的計算精度：

式中：RMSRE為實測值與計算值的均方根相對誤差；n為流速的樣本個數；Xi為流速的計算值；Yi為流速的實測值；RMSRE的值越小，說明計算公式的精度越高。

經過計算，本文公式的RMSRE為0.094，黃才安公式的RMSRE為0.151，何文社公式的RMSRE為0.124，本文公式的計算精度明顯更高。

3 結 論

研究綜合考慮床面泥沙、水流條件和輸沙情況，將水流阻力劃分為沙粒阻力和輸沙阻力，基于床面粗化過程中床面表層結構變化對水流阻力的影響，分析了推移質運動特征，得到了床面粗化程度與相對輸沙率的關系，完善了推移質輸移所消耗能量的計算公式，建立了平整輸沙床面的水流阻力計算公式。經實測資料驗證，并與其他學者的阻力計算公式分析對比表明，本文公式具有較高的精度，適用于有泥沙輸移的平整或沙波發育不明顯的天然沙非均勻床面。