基于特征值聚類的MUSIC算法

張明洋, 查淞元, 劉雨東

(上海船舶電子設備研究所, 上海 201108)

多重信號分類法(MUSIC)因其多信號同時測向、適用短數據情況、高精度測向等優點而被廣泛應用在方位估計中。但在實際工程中卻受到掣肘,主要是由于以下原因:對于相干信號的估計結果基本失去準確性;需進行特征值分解和譜峰搜索,計算量較大,無法滿足實時性;需預先知道目標信號源的個數,無法滿足實際情況。針對以上問題,相關學者開展了大量的研究,提出了各類改進方法。

針對計算復雜度較高這一問題,Root-MUSIC通過將譜峰搜索問題轉化為多項式求根問題,大大降低了復雜度,但當陣列規模不斷增大時,求根多項式階數提高,運算速度大幅降低[1-2]。Ren等[3]對Root-MUSIC進行了改進,通過重構新的數據向量將多項式的階數降至信號源個數,從而降低了算法的計算量,但這種算法降低了對目標的估計精度。佘黎煌等[4]針對低復雜度Root-MUSIC快速算法的精度較低問題,提出了一種具有精度補償的低復雜度Root-MUSIC算法。針對相干信號估計不準確這一問題,周小軍等[5]提出了IMMUSIC(improved MUSIC)算法,通過重構協方差矩陣使其具有Toeplitz特征,進而得到相干信源的DOA估計。Kamiya等[6]使用了2個循環相關矩陣和相應的循環后向矩陣(2MCC-CB),得到了較高的估計精度,大大提高了DOA估計的性能。針對實際信源個數未知這一問題,黃緊德等[7]將ICA和MUSIC算法相結合,提出了一種改進算法,在算法迭代的過程中不僅得到了信源的方位信息,還得到了未知信源的個數。陀秋艷等[8]應用全空間加權修正算法和投影分解修正算法,實現了信源數目未知時MUSIC算法的方位準確估計。

經典MUSIC算法在未知信源個數的條件下可通過接收信號協方差矩陣特征值的分解來進行估計,將特征值遠大于其他特征值的個數作為目標信源的個數,但是這種解決方法并不適用于低信噪比、快拍數小的情況,一旦信號源個數與估計結果不一致,將會使得MUSIC算法估計結果不可靠甚至完全失效。針對這一問題,本文通過聚類算法實現了較低信噪比下的目標源個數的估計,進而提高MUSIC算法的實用性。

1 傳統MUSIC算法

假設有M個陣元構成均勻直線陣,相鄰陣元間距d,每個陣元接收到D個獨立信號源的發射信號,則可以建立陣列信號的數學模型:

圖1 等距線列陣接收目標信號示意圖

第k個信號(k=1,2,…,D)到達第m個陣元的數學表達式為

xmk(t)=Ak(t-τmk)ejω(t-τmk)+n(t)

(1)

式中:xmk(t)下標表示第m個陣元接收第k個目標信號;Ak表示接收到的目標信號復包絡;ω表示目標信號角頻率,ω=2πf;n(t)表示陣元接收到的噪聲,假設為高斯白噪聲,且與信號不相關。τm是由于波程差產生的時間延遲,τmk=(m-1)dsin(θk)/c。

對于窄帶信號,有如下近似關系

Ak(t-τmk)≈Ak(t)

(2)

可以將(1)式寫為:xmk(t)=Ak(t)ejω(t-τmk)+n(t)。最終,可以得到第m個陣元接收到k個所有目標信號源的數學表達式

(3)

(4)

用矩陣的形式表示M個陣元接收到的快拍數據:

(5)

式中

(6)

矢量矩陣表示

X=AS+N

(7)

式中

MUSIC算法的基本思想:將接收到的信號數據求協方差矩陣,該協方差矩陣可以分解為噪聲子空間和信號子空間,最后構造空間譜函數,通過譜峰搜索對目標方位進行估計。

假設目標信號與高斯白噪聲完全不相關,且該噪聲的方差為σ2,所以

RXX=E(XXH)=ARSSAH+σ2I

(8)

RXX有M-D個值為σ2的最小特征值,對應為噪聲,稱為噪聲特征值;有D個大于σ2的特征值,對應于信號,稱為信號特征值

λ1≥λ2≥…≥λD+1=λD+2=…=λM=σ2

(9)

設λ1為RXX的噪聲特征值,vi為特征值λi對應的特征向量則有

λivi=RXXvi=(ARSSAH+σ2I)vi

(10)

根據前面分析,λ1=σ2,得到結果如下

ARSSAHvi=0

(11)

(12)

化簡后可得:

AHvi=0

(13)

至此已經證明,噪聲子空間和矩陣A的列向量(即導向矢量)相正交,而導向矢量中包含目標信號的方位信息。

假設將分解得到的噪聲特征值對應的特征向量構造為一個噪聲矩陣

Gn=[vD+1,vD+2,…,vM]

(14)

定義空間譜PMUSIC(θ)

(15)

(15)式中分母為導向矢量和噪聲矩陣的內積,當a(θ)與Gn的各列正交時,該分母為零,但由于噪聲存在,它實際是最小值,PMUSIC(θ)為一尖峰值,通過譜峰搜索可得到波達角。

2 未知信源個數下的改進MUSIC算法

2.1 全空間加權修正MUSIC算法

文獻[8]的全空間加權修正MUSIC算法使用了協方差矩陣全部的特征向量,但在構造噪聲矩陣時,通過對不同特征向量施加權不同的權重,以使不同特征向量對譜估計結果產生不同的作用。構造新的噪聲矩陣

(16)

式中:λi為協方差矩陣的特征值;α為調節指數用來調節加權的效果。因為信號特征值一般大于其他特征值,所以調節α能夠減弱信號特征向量對譜估計結果的影響。

算法流程:

1) 對接收數據的協方差矩陣進行特征值分解,得到M個特征值和特征向量。

2) 構造新的噪聲矩陣G。

3) 得到MUSIC譜估計結果

2.2 基于密度聚類的改進MUSIC算法

密度聚類是一種無監督學習算法,通過數據之間分布的緊密程度來對樣本進行分類。DBSCAN(density-based spatial clustering of applications with noise)算法是一種經典的密度聚類算法,通過一組鄰域來描述數據分布的緊密程度。給定數據集D={x1,x2,…,xm},下面給出算法相關的定義[9]:

ε-鄰域:對xj∈D,其ε-鄰域包含數據集D中與xj的距離不大于ε的數據。

核心對象:若xj的ε-鄰域至少包含PminPts個樣本,即|Nε(xj)|≥PminPts,則xj是核心對象。

密度直達:若xj位于xi的ε-鄰域中,且xi為核心對象,則稱xj由xi密度直達。

密度可達:對xi與xj,若存在樣本序列p1,p2,…,pn,其中p1=xi,pn=xj,且pi+1由pi密度直達,則稱xj由xi密度可達。

DBSCAN算法如下:

輸入:數據集,鄰域半徑REps,鄰域中數據對象數目閾值PminPts;

1) 從數據集中任意選取一個數據點p;

2) 如果對于參數REps和PminPts,所選取的數據點p為核心對象,則找出所有從p密度可達的數據點,形成一個簇;

3) 如果選取的數據點p是邊緣點,選取另一個數據點;

4) 重復步驟2)～3),直到所有點被處理

MUSIC算法中對目標源個數進行估計可以轉化為對協方差矩陣特征值的分類,可將特征值分為噪聲特征值和信號特征值。其中信號特征值明顯大于噪聲特征值,因此使用DBSCAN聚類算法可將信號特征值標記為噪音點,通過計算噪音點的個數來計算目標源的個數。

基于DBSCAN特征值聚類的MUSIC算法流程如下:

1) 令接收數據僅為噪聲數據,對協方差矩陣進行特征值分解。

2) 對M個噪聲特征值進行分析,給出DBSCAN算法的REps和PminPts參數取值。

3) 對含有回波信號數據的協方差矩陣進行特征值分解,得到M個特征值和特征向量。

4) 對M個特征值進行DBSCAN算法聚類,得到信源個數j。

5) 構造新的噪聲矩陣G=[v1,v2,…,vM-j]。

6) 得到MUSIC譜估計結果:

3 仿真分析

仿真參數選取時,選用陣元數為30的均勻直線陣,目標源數為3,目標源是中心頻率為10 kHz的窄帶信號,噪聲取均值為0、平均功率1的高斯白噪聲,快拍數為1 000。全空間加權修正算法中的調節指數α設為4,鄰域半徑為180,對象數目閾值為5。分析以上方法的性能。

實驗一:對3種方法的高分辨性能進行考察。假設存在3個目標源,其入射角度分別為48°,50°,52°;信噪比均設為15 dB。

從圖2可以看出Capon算法即使在信噪比為15 dB的強目標回波信號下也很難分辨出目標源的個數及其準確方位,算法的分辨率較低,估計效果差。而全空間加權MUSIC算法和基于特征值聚類的MUSIC算法則能夠明顯分辨出4°以內的多個目標,達到超分辨的效果。因此改進后的算法即使多個目標處在同一個波束內,依然能夠準確估計出多個目標的具體方位。

圖2 3種方法的分辨性能對比圖

實驗二:對DBSCAN算法低信噪比下的聚類效果進行考察。假設存在3個目標源,其入射角度分別為70°,50°,90°;信噪比設為0,-10,-15 dB。

為對聚類結果進行可視化,對特征值進行了處理,處理后的特征值為10*lg(真實特征值)。圖3中最大的特征值對應信噪比為 0 dB 的強目標回波信號,藍色標記最小的特征值對應信噪比為-20 dB的弱目標回波信號。從圖中可以看出,基于特征值聚類的MUSIC算法在強目標的掩蓋下依然能夠有效區分出弱目標的特征值,這說明在使用DBSCAN算法對特征值進行聚類時,其聚類結果不受異常值的影響,因此該算法對于不同目標強度的信源依然能夠取得較好的估計結果。

圖3 DBSCAN算法聚類結果示意圖

實驗三:在不同參數下,對DBSCAN算法的聚類效果進行分析。假設存在2個目標,其目標強度相同,使用該算法對目標個數進行1 000次估計,計算其正確估計的概率。

圖4和圖5分別給出了2種參數對聚類結果的影響。在選取鄰域半徑時,若半徑范圍選取較小,在低信噪比時,能夠取得較好的聚類效果,但對噪聲特征值很敏感,容易將噪聲特征值標記為信號特征值;若鄰域半徑選取較大,在低信噪比時,容易將信號特征值標記為噪聲特征值。在選取對象數目閾值時,較大的對象數目閾值在低信噪比下能夠取得較好的聚類效果,較小的閾值則在高信噪比下更適合。在實際應用中,應當根據實際的背景噪聲來確定參數的選取。

圖4 不同鄰域半徑REps對聚類結果的影響

圖5 不同對象數目閾值PminPts對聚類結果的影響

4 結 論

在目標信號源未知的情況下,本文提出了一種基于特征值聚類的改進型MUSIC算法,給出了算法的流程,然后通過仿真驗證了其超分辨性能,強目標下對弱目標特征值的聚類效果,最后給出不同參數對聚類效果的影響。應當指出的是,在對目標源個數進行判定時,漏判目標會導致將信號子空間當成噪聲子空間,此時對目標方位的估計將會產生錯誤;若多判目標將會減少噪聲子空間的個數,對目標方位估計的結果影響有限。因此在對DBSCAN算法選取參數時盡量將鄰域半徑選取在較小的水平。