托爾斯泰小說中的數學故事

蔡天新

俄國大文豪列夫·托爾斯泰是一位數學愛好者，喜歡將數學問題融入文學創作。他寫過一篇《一個人需要多少土地》的小說，在文中巧妙地運用數學知識，對貪婪的主人公進行了絕妙的諷刺。讀到最后，還能感受到一絲悲劇的味道。

小說的主人公名叫帕霍姆，他遇到一個奇特的賣地者：不論是誰，只要交1000盧布，就可以在草原上，從日出走到太陽落山，只要在天黑之前回到出發點，他走過的路線所圍起來的土地就都屬于他。但如果沒回到出發點，那么他一點兒土地也得不到，1000盧布就打了水漂。

帕霍姆交了1000盧布后，天一亮就開始大步行走。他先沿著一條直線走了10俄里（1俄里約等于1.0668千米），然后垂直左轉，又走了相當一段距離，再次垂直左轉，走了兩俄里。這時他發現天色已經不早了，于是向著起點狂奔，跑了15俄里之后，他終于趕在日落時分回到了起點。帕霍姆雙腿一軟，栽倒在地，口吐鮮血，一命嗚呼了。

這篇小說實際上出了一道并不難的幾何題：帕霍姆走過的路線構成了一個上底為2、下底為10、斜腰為15（單位均為俄里）的直角梯形，這個梯形的周長是多少？面積又是多大？學過勾股定理的讀者應該會計算梯形的高和面積。如果帕霍姆活著，他就可以得到約86.6平方千米的土地！

有趣的是，如果我們計算一下這個直角梯形的周長，就會得到39.7俄里的結果，約為42千米，這與馬拉松賽跑的距離大致相等！公元前490年，古希臘士兵菲迪皮茨在他們戰勝波斯帝國的軍隊以后，從馬拉松跑回雅典傳捷報，結果喊了一聲“我們勝利了”，就倒地而亡，帕霍姆也是在完成這樣一段距離后累死的。這就是貪婪者的下場。

看來托爾斯泰不僅構思巧妙，數學修養也不賴。如果帕霍姆不跑直角梯形，而是采取別的什么路線，應該可以少走很多路而得到同樣大小的土地。答案是圓。類似的問題有，用什么形狀的容器可以容納盡可能多的液體或氣體？答案是，球。還有，如果帕霍姆當初走的路線是一個圓，那么圈住86.6平方千米土地只需要走33千米左右，他可能不會被累死。

（常鑫摘自《數學的故事》 圖/雨田）