對(duì)一道橢圓聯(lián)考題的解法與延伸探究

湖南省長(zhǎng)沙市南雅中學(xué) (410027) 朱 彬

湖南省長(zhǎng)沙市雨花區(qū)雅境中學(xué) (410014) 胡曉靜

1 試題呈現(xiàn)

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過點(diǎn)F(1,0)作兩條斜率都存在且不為0的互相垂直的直線l1、l2,直線l1、l2與橢圓相交于四點(diǎn)為A1、A2、B1、B2,求四邊形A1A2B1B2的面積S的最小值.

2 解法探究

下面重點(diǎn)探究第(2)小題的解法.

思路1:處理直線與橢圓線(圓錐曲線)的交點(diǎn)問題,可設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1),(x2,y2),同時(shí)聯(lián)立直線與橢圓(圓錐曲線)的方程,得x1+x2(或y1+y2),x1x2(或y1y2),再把相關(guān)弦長(zhǎng)用x1,x2(或y1,y2)表示出來,并將x1+x2(或y1+y2)及x1x2(或y1y2)整體代入,進(jìn)而解得問題.這就是“設(shè)而不求”的方法.該解題過程充分體現(xiàn)將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,即通過代數(shù)運(yùn)算研究幾何圖形性質(zhì),圖形問題代數(shù)化的解析幾何的本質(zhì).

點(diǎn)評(píng)：解法1取直線斜率的“倒數(shù)”t為參數(shù),設(shè)出直線的“橫斜截式”方程并與橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用“設(shè)而不求”和均值不等式解答.“設(shè)而不求”是一種重要的解題手段,常能避開因盲目演算而導(dǎo)致無益的循環(huán)運(yùn)算,達(dá)到簡(jiǎn)捷、準(zhǔn)確的解題效果.另外,解法1中還用到了對(duì)角線互相垂直的四邊形面積的一個(gè)結(jié)論:“對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于它的兩條對(duì)角線長(zhǎng)的乘積的一半”.

思路2:解答涉及到焦點(diǎn)的橢圓(圓錐曲線)問題時(shí),靈活運(yùn)用橢圓(圓錐曲線)定義,既可以深化對(duì)橢圓(圓錐曲線)這一數(shù)學(xué)概念的理解,也能提高學(xué)生運(yùn)用定義去分析和解決問題的能力,開拓思維視野.

圖1

點(diǎn)評(píng)：解法2取直線的傾斜角為參數(shù),在運(yùn)用橢圓的第二定義的基礎(chǔ)上,利用幾何圖形轉(zhuǎn)化為角的弦函數(shù)關(guān)系,進(jìn)而利用三角函數(shù)同角平方關(guān)系、三角恒等變換及弦函數(shù)的有界性求解,充分體現(xiàn)了“回歸定義”的重要性.

3 延伸探究

3.1 試題延伸

問題1 我們能否將試題第(2)小題的結(jié)論延伸到橢圓的一般情形?答案是肯定的.

3.2 類比延伸

問題2 我們知道,圓錐曲線之間有許多相互類似的性質(zhì)或結(jié)論,能否將橢圓的一般結(jié)論(即結(jié)論1)分別類比到雙曲線和拋物線,得到類似的結(jié)論?答案同樣是肯定的!

結(jié)論3 過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作兩條斜率都存在且不為0的互相垂直的直線l1、l2,直線l1、l2與拋物線相交于四點(diǎn)為A1、A2、B1、B2,則四邊形A1A2B1B2的面積S有最小值為8p2.

結(jié)語(yǔ):我們平時(shí)的解題過程中,要適時(shí)地將問題推廣延伸為一般性的結(jié)論用于解決相關(guān)問題.久而久之,就能逐步培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的思維品質(zhì),培養(yǎng)其探索精神和創(chuàng)新意識(shí),從而真正把對(duì)能力的培養(yǎng)落到實(shí)處,提高其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).