例析運用三角不等式求解向量模的最值問題

浙江省寧波市寧波中學 (315100) 倪 蕾

浙江省寧波市效實中學 (315012) 童益民

運用不等式求最值的本質是通過已有的不等式,把一邊的變量轉化到另一邊的常量,并驗證等號能夠取到.運用三角不等式及其推論求解向量模的最值問題,綜合了三角不等式與向量模的兩個重要知識點,這是高考的熱點,具有較大的難度,是一個值得研究的問題.

1 定理及推論

定理(三角不等式) 在三角形中兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.

推論2(絕對值三角不等式) 對于任意兩個實數a,b,||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.當ab≥0時,|a+b|=|a|+|b|與||a|-|b||=|a-b|成立;當ab<0時,|a-b|=|a|+|b|與||a|-|b||=|a+b|成立.

2 運用定理及推論的實例分析

因此上述套用向量三角不等式,無功而返,只能尋找別的方法.比如可采用以下向量運算的求法:

以上只是運用三角不等式及其推論求解向量模最值問題的幾道實例,實際上,關于向量模的最值問題解題的方法很多,可以用向量運算,也可以用向量坐標運算,還可以根據向量的幾何表示,用幾何意義來解答,文中實例分析只是強調用三角不等式及其推論求解該類題目,往往起到事半功倍的效果,豐富了向量模最值問題的求法.