構建同構式 感悟對稱美*

江蘇省揚州中學 (225007) 褚玉霞

江蘇省揚州市教育科學研究院 (225009) 戚有建

數學中的同構式指的是除了變量不同,而結構完全相同的兩個式子,同構式體現了數學的對稱美與和諧美．解題時若能從“同構”入手,不僅可以另辟蹊徑、出奇制勝,起到事半功倍的效果,同時還能夠賞析數學的結構之美和獨特魅力．同構式在求值、方程、不等式、數列、解幾等方面都有著很好的應用,下結合幾道例題加以說明．

一、在求值中的應用

例1 若2x2e2x+lnx=0,則2x+lnx=.

分析：本題是超越方程,不方便解出x0,可以從已知式的結構入手,挖掘式子中隱含的特征,對其變形,改寫成同構式,然后尋求解題思路.

二、在方程中的應用

點評：一般地,若實數a,b分別滿足f(a)=0,f(b)=0,則它們呈現同構特征,所以a,b可視為方程f(x)=0的兩個根,于是想到構建方程或函數,利用方程根的特征或函數的性質來解決問題．

三、在不等式中的應用

分析：本題如考慮分參則分不起來,若考慮構建差函數則差函數的導數會很繁雜.實際上,本題可以挖掘結構特征、構建同構式,轉化為單調性來處理,難點是如何改寫成同構式.

點評：如果不等式的兩側呈現的是同構特征,則可由相同的結構構建函數,進而轉化為函數的單調性問題,據此可用來比較變大小或解不等式．

四、在數列中的應用

例4 設各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn,且a1=1,(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1,n∈N*．

(1)若λ=1,求數列{an}的通項公式;

(2)求實數λ的值,使數列{an}是等差數列．

(2)先由a1,a2,a3成等差數列得λ=0,代入已知,再證明此時數列{an}是等差數列.

點評：兩小題都是通過變形,將遞推關系式改寫成“依序同構”的特征,從而構建“常數列”來解決問題.

五、在解幾中的應用

例5如圖1,過拋物線y=x2上的點A作圓M:x2+(y-2)2=1的兩條切線,分別交拋物線于B,C兩點,證明:直線BC與圓相切.

圖1

分析：由于三個點A,B,C的地位等同,所以三條直線AB,AC,BC的方程結構相同,所以可以構建同構式來處理.

點評：本例中三條直線AB,AC,BC方程的結構相同,所以可以挖掘同構式,構建一元二次方程,利用韋達定理讓問題順利解決.在解析幾何中,善用“同理”,可以提升整體運算能力,極大減少解幾的繁瑣運算．

通過上面幾道例題可以發現,利用同構思想來處理問題,求解的關鍵在于深入剖析代數式的結構特征,將代數式進行不斷的變形和轉化,直到出現結構完全相同的兩個式子,然后抽象出一個函數,借助該函數的單調性來尋求解題思路．利用同構思想來處理問題有利于培養學生敏銳的觀察能力、豐富的想象能力、靈活的構造能力和高超的創造能力．同構式體現了 “數學運算”與“數學抽象”兩大數學核心素養的完美融合,彰顯了數學的科學價值、應用價值和審美價值．