對一道高考解析幾何試題的研究性學習*

福建省云霄實驗中學 (363300) 蔡國文

福建省漳州第一中學 (363000) 林志展

1 試題呈現

例1 在平面直角坐標系xOy中,已知點

本題是2021年全國新高考數學I卷第21題．考查雙曲線的定義及其標準方程,考查直線與雙曲線的位置關系,考查轉化與化歸能力、運算求解能力,屬于中檔題．

2 解法探究

3 變式探究

易知|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|與A、B、P、Q四點共圓等價．

思考1 逆命題成立嗎?

若直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和,則θ+β=π,所以|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,則A、B、P、Q四點共圓,所以命題1成立．

命題3 過不在圓錐曲線C上的一點T作兩條直線分別交C于A,B兩點和P,Q兩點,若A、B、P、Q四點共圓,則直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0．

4 點擊高考

(Ⅰ)求C的方程;

(Ⅱ)過F的直線l與C相交于A、B兩點,若AB的垂直平分線l′與C相交于M、N兩點,且A、M、B、N四點在同一圓上,求l的方程．

簡解：由上面命題3可知,若A、M、B、N四點在同一圓上,則直線l與直線MN的斜率之和為0,又直線l與直線MN垂直,所以直線l的斜率等于±1,又F(1,0)∈l,所以l方程為y=±(x-1)．

(Ⅰ)證明:點P在C上;

(Ⅱ)設點P關于點O的對稱點為Q,證明:A、P、B、Q四點在同一圓上.

5 教學啟示

著名數學教育家弗賴登塔爾說過:“反思是數學思維活動的核心動力,沒有反思,學生的理解就不可能從一個水平升華到更高的水平”． 著名數學家波利亞也指出:“數學問題的解決僅僅只是一半,而更重要的是解題之后的回顧與反思．”因為反思可以深化對問題的理解、優化思維過程、揭示問題本質、溝通知識間的相互、促進知識的同化和遷移、進而產生新的發現,是提高學生解題能力的重要途徑,所以在習題教學中要特別注重引導學生進行反思,使學生養成反思的習慣,使這種外部行為逐步轉化為學生的內部行為．例題講解后進行總結、提煉、加以顯化,讓學生回顧反思,總結思想方法和思維策略,使學生明白通過學習可以得到哪些有用的結論,找出哪些共有的規律,從而提高數學解題能力,優化數學思維品質．進而培養學生提出問題、分析與解決問題的能力,真正掌握解題的“金鑰匙”．這樣才能做到“以不變應萬變”,在高考中立于不敗之地．