高觀點視角下對一道高三聯考試題的溯源探究

福建省南平市高級中學 (353000) 江智如 蔡 珺

1 試題呈現

題目定義Tn(cosθ)=cosnθ,(n∈N*)．

(1)證明:Tn(cosθ)=2Tn-1(cosθ)cosθ-Tn-2(cosθ);

(2)解方程:8x5+10x3-x2-12x-2=0(x∈C)．

2 試題分析

本試題是雅禮十六校2023屆高三上學期第一次聯考第17題,是一道結構緊湊,背景豐富,綜合性強的試題．考查三角函數恒等變換、函數與方程、利用導數判斷函數零點等相關知識,考查化歸與轉化思想、推理論證能力和運算求解能力,試題具有區分與選拔功能．

2 解法探究

(1)由余弦函數兩角和差公式可得cosnθ=cos[(n-1)θ+θ]=cos(n-1)θcosθ-sin(n-1)θsinθ,cos(n-2)θ=cos[(n-1)θ-θ]=cos(n-1)θcosθ+sin(n-1)θsinθ,兩式聯立得,cosnθ=2cos(n-1)θcosθ-cos(n-2)θ,即Tn(cosθ)=2Tn-1(cosθ)cosθ-Tn-2(cosθ)．

在上述解析中,第(1)問考查三角恒等變化,考生根據已有的三角函數知識可以順利證明;而第(2)問的解析令人產生疑惑:①第一步的因式是如何分解出來?②方程的解為什么會是余弦值?著名數學大師F·克萊因(Klein)指出:“基礎數學的教師應該站在更高的視角(高等數學)來審視、理解初等數學問題,只有觀點高了,事物才會顯得明了簡單”[1]．為此,筆者追本溯源,從高觀點視角對本試題溯源探究．

3 背景溯源

溯源1 行列式的基本性質[2]:①行列式的某一行(列)中公因式可以提出去;②把行列式的某一行(列)的倍數加到另一行(列)上,行列式的值不變．

溯源3 第一類切比雪夫多項式:T0(x)=1,T1(x)=x,Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x),(n∈N*)．它是以俄國著名數學家切比雪夫(Tschebyscheff)名字命名的重要特殊函數,源起于多倍角余弦函數和正弦函數的展開式,是與棣美弗定理有關、以遞歸方式定義的多項式序列,是計算數學中的一類特殊函數[4]．

由于一元三次方程的求根公式比較復雜,所以在中學階段沒有介紹一般的求根公式,只涉及特殊形式的一元三次方程．《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課標(2020年修訂)》)要求:“對于多項式,能利用導數求不超過三次的一元多項式函數的單調區間,借助函數的圖象,運用二分法求解方程的近似解”[5]．因此,本試題通過構造函數f(x)=8x3-6x-1,確定方程的根均在區間(-1,1)中．然后由第(1)問的結論推導出cos3θ=4cos3θ-3cosθ,而方程8x3-6x-1=0中三次項與一次項的系數比恰好為4∶3,于是根據切比雪夫多項式,令方程的根為cosα,再通過余弦函數的恒等變換最終求出方程的解,這就是第(2)問解析中方程的最終解為余弦值形式的緣由．

4 高考鏈接

在歷年高考試卷中也出現切比雪夫多項式的身影,多以三角函數為載體,用以考查學生推理論證能力和運算求解能力．

題目1 (2010年高考江蘇卷第23題)已知△ABC的三邊長都是有理數．(1)求證:cosA是有理數;(2)求證:對任意正整數n,cosnA是有理數．

(2)當n=1時,cosA是有理數;當n=2時,cos2A=2cos2A-1也是有理數．

假設n≤k(k≥2,k∈N*)時,結論成立,則coskA,cos(k-1)A均是有理數,那么當n=k+1時,cos(k+1)A=2cosAcoskA-cos(k-1)A,由于cosA,coskA,cos(k-1)A均是有理數,故cos(k+1)A也是有理數,所以,當n=k+1時,結論成立．

綜上所述,對任意正整數n,cosnA是有理數．

評析:本試題第(1)小問考查余弦定理和有理數性質的相關知識,大部分考生可以利用余弦函數的恒等變換證明．第(2)小問運用數學歸納法進行證明,其中遞推公式:cos(k+1)A=2cosAcoskA-cos(k-1)A就是切比雪夫多項式,考生運用兩角和與差的余弦公式進行推導,并不會增加試題的難度,符合課程標準的考查內容和要求,考查考生推理論證能力和運算求解能力,促進邏輯推理素養與數學運算素養提升．

例2 (2010年高考福建卷文科第16題)觀察下列等式:

①cos2α=2cos2α-1;

②cos4α=8cos4α-8cos2α+1;

③cos6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1;

④cos8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1;

⑤cos10α=mcos10α-1280cos8α+1120cos6α+ncos4α+pcos2α-1.

可以推測,m-n+p=____________．

解法1:根據等式的規律:最高次項的系數為22k-1,故m=210-1=29=512;每個等式的二次項系數滿足(-1)n-1·(2k)·k,故p=(-1)5-1·(2·5)·5=50．又等式對任意的α均成立,故在等式⑤中令α=0,有1=m-1280+1120+n+p-1,解得n=-400,所以m-n+p=962．

解法2：由切比雪夫多項式構造函數Tn(cosα)=cosnα,(n∈N),那么有T0(cosα)=1,T1(cosα)=cosα,Tn+1(cosα)=2Tn(cosα)·cosα-Tn-1(cosα),(n∈N*)．于是T10(cosα)=2T9(cosα)·cosα-T8(cosα)=2cos9α·cosα-cos8α=2cos(8α+α)·cosα-cos8α=2cosα(cos8αcosα-sin8αsinα)-cos8α=2cos2αcos8α-cos8α-sin2αsin8α=2cos2αcos8α-cos8α-4sin22αcos2αcos4α=2cos2αcos8α-cos8α+4(4cos4α-4cos2α)(2cos2α-1)(8cos4α-8cos2α+1)=512cos10α-1280cos8α+1120cos6α-400cos4α+50cos2α-1.故m=512,n=-400,p=50,所以m-n+p=962．

評析：本試題以多倍角余弦函數的展開式為載體,考查考生推理論證能力．方法1引導考生觀察展開式中各項系數的規律,歸納猜想等式⑤展開式的各項系數,考查特殊與一般思想,符合考生的認知水平．方法2運用切比雪夫多項式直接推導出等式⑤的展開式,計算量比較大,要求考生有扎實的數學運算能力,激發數學學習潛能,體現《課標(2020年修訂)》的理念與要求,對日常教學有引導作用．

7 結語

近年來,運用高等數學知識、方法、思想等“高觀點”,去分析、研究高考數學問題的解題策略和方法,逐漸成為高考數學研究的趨勢和風向標,并取得大量的研究成果．“高觀點”是課程改革中的一種創新,對解決初等數學問題有獨特作用．高中數學課程具有基礎性、選擇性和發展性,為不同學生可持續發展和終身學習創造條件[5],培養學生具備進入高等學校進行專業學習和終身發展所需要的必備知識、關鍵能力和學科素養[6]．因此在日常的教學實踐中,教師可以結合高中數學知識要點學習、研究、思考,搜集相關高觀點文獻資料,精選教學案例,改進教學方式,吸引學生的學習興趣,拓寬學生思維視野,設計“精致練習”[7],啟發學生思考,領會變式、遷移等技巧,激發數學學習潛能,促進學生數學學科素養的提升．