對一道圓錐曲線模擬題的探究與發現*

福建師范大學附屬福清德旺中學 (350319) 周 寧 倪 娜

1 試題與標答呈現

本題是2023屆溫州一模數學第21題,主要考查直線與雙曲線的位置關系等基礎知識,考查推理論證能力和運算求解能力,考查邏輯推理、數學運算和直觀想象素養,體現基礎性、綜合性與創新性．

筆者對以上第2問的解析有以下兩個疑惑:

(2)題設已明確直線PF1,PF2斜率分別為k1與k2,為什么參考解析在解決第二問中反而用x型直線形式去解決,是因為運算的效率比較高嗎?

2 疑惑與解法剖析

疑惑1的剖析

圖1

疑惑2的剖析

用條件中的k1,k2解決第2問可以得到如下解法:

再審視目標式的結構,發現這是經典的斜率結構,因此還可以考慮進行齊次化,轉化為關于斜率的一元二次方程進行求解.

3 溯源及本質賞析

本題是源于2010年山東卷文科數學第22題的改編:

圖2

(1)求橢圓的標準方程;(2)設直線PF1,PF2的斜率分別為k1,k2．

對上述兩個試題的第2問進行比較分析,可以發現二者問題背后的本質是一致的:即過橢圓(或雙曲線)的一個焦點作兩條割線交于四個點,若這四個點與原點的連線的斜率和為0,則這兩條割線的斜率和為0或斜率乘積為定值．同時,若過另一個焦點作其中一條割線的平行線,則與另一條割線的交點的軌跡是某條坐標軸且不包含原點(當斜率和為0時)或雙曲線(或橢圓)(當斜率乘積為定值時),即有如下的結論:

證明類似,留給讀者完成．

4 結語

運算能力是解析幾何考查的重點內容,但“幾何的眼光”才是首要考查的對象．通過分析幾何圖形的要素及其性質,借助“形”的直觀思考“數”的表達,結合圖形的幾何特征感知數量關系及本質屬性,有助于理解問題,尋求問題解決的思路,這才是合理的解決解析幾何問題的思維邏輯．