一類絕對值雙重最值問題的追根溯源*

浙江省寧波市北侖區明港高級中學 (315800) 賀 旭

一、題引

(2)(2018年浙江競賽12)設a∈R,x∈[0,1],且對任意實數b均有max|x2+ax+b|≥1,求a的取值范圍.

上述三個題都是絕對值函數問題.含絕對值的最值問題一直是高考考查的熱點和難點,這類問題常常靈活多變、撲朔迷離,那么它是否高不可攀、令人望而生畏呢?當我們將這三個問題放在一起尋找它們的共性時,可以抽象得到它的基本形式是|f(x)-ax-b|,找到統一形式后,就方便我們深入研究.

二、追根溯源

例1 函數f(x)=|x-1|,x∈[-1,1]的最大值為________.

圖1

變式1 函數f(x)=|x-b|,x∈[-1,1],其中b∈R.記f(x)的最大值為g(b),當b變化時,g(b)的最小值為________.

圖2

圖3

變式2 已知函數f(x)=|x2-b|,x∈[-1,1],其中b∈R.記f(x)的最大值為g(b),則g(b)的最小值為________.

圖4

圖5

變式3 設函數f(x)=|x2-ax-b|,x∈[-1,1],其中a,b∈R.記f(x)的最大值為M(a,b),則M(a,b)的最小值為________.

變式4 設函數f(x)=|x2-ax-b|,x∈[0,1],其中a,b∈R.記f(x)的最大值為M(a,b),則M(a,b)的最小值為________.

圖6

圖7 圖8

對于以上4個變式,我們采用了統一的方法,利用絕對值的幾何意義,將最值問題轉化為圖形的距離問題.那么對于這類最大值的最小值問題,它是否能推廣到更一般的情形,這類問題背后的理論支撐又是什么呢?

三、理論基礎

絕對值雙重最值的實質是求最大值的最小值,將絕對值里的代數式看成兩個函數的差,數形結合,轉化為兩個函數的縱向距離,通過移動其中一條直線,尋找縱向距離的最值.

本文提供的三個題引中,參數有一個也有二個,有正向提問,也有反向提問,但本質都不變,考查的是minmax|f(x)-g(x)|.主要目的是培養數學抽象能力,及理性思維能力.

本文從“絕對值”的幾何意義出發,設計了環環相扣的問題鏈,從不含參的絕對值問題到含有一個參數的絕對值問題,再到含兩個參數的絕對值問題,從對稱曲線到不對稱曲線,最后提升到切比雪夫最佳逼近直線理論.整個過程自然、生動、明晰,挖掘問題的各個方面,一個完整的理論分析.