Can-Hang不等式的加權推廣及引申

山東省鄒平雙語學校 (256200) 姜坤崇 代民德

文[1]給出了如下的Can-Hang不等式:

本文給出不等式(1)的三種加權推廣及引申.

考慮到1≤λ≤4,由(5)、(6)式可得(λ-1)∑x4+(4-λ)∑x2y2-3∑x2yz≥[(λ-1)+(4-λ)-3]∑x2yz=0,即(4)式成立,從而不等式(3)成立,因此不等式(2)得證.

用同樣的證明方法可證明以下兩個命題(證明均從略):

顯然,在不等式(2)、(7)、(8)中令λ=1即得不等式(1),因此,不等式(2)、(7)、(8)均為不等式(1)的加權推廣.

由命題1中的不等式又可得如下命題4、5中的不等式:

同樣的,由命題2中的不等式可得如下命題6、7中的不等式:

命題6 設x,y,z>0,λ≥1,則

命題7 設x,y,z>0,λ≥1,則

由命題3中的不等式可得如下命題8、9中的不等式:

命題8 設x,y,z>0,0<λ≤1,則

以上4個命題的證明從略.

最后需說明的是,在不等式(9)、(11)、(12)中令x=a,y=b,z=c,λ=1,即得《數學通報》2009年第10期數學問題1818:

因此,不等式(9)、(11)、(12)均為不等式(13)的加權推廣.